2026年9月高三数学立体几何专项训练卷及答案

2026年9月高三数学立体几何专项训练卷及答案第1页共1页2026年9月高三数学立体几何专项训练卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知三棱锥S-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，SA⊥平面ABC，且SA=2，则三棱锥S-ABC的体积为（）A.2√3B.√3C.1D.4√3参考答案：A2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC的边长分别为AB=AC=1，BC=√2，侧面A1AB⊥底面ABC，则直线A1C与侧面BCC1B1所成角的正弦值为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1参考答案：B3.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，E为CD的中点，则直线SE与平面SAB所成角的正切值为（）A.1B.√2C.√3/3D.√2/3参考答案：C4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=1，点E在棱CC1上，且DE⊥BE，则DE的长度为（）A.√2/2B.√3/2C.1D.√5/2参考答案：B5.已知球O的半径为1，点A、B在球面上，AB=√2，则球心O到直线AB的距离为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1参考答案：B6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为棱BB1的中点，则四棱锥A-EBF的体积为正方体体积的（）A.1/4B.1/6C.1/8D.1/12参考答案：B7.已知圆锥的底面半径为1，母线长为√2，则圆锥的侧面积为（）A.πB.2πC.√2πD.π√2参考答案：A8.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为1的正三角形，侧面A1AB⊥底面ABC，且AA1=2，则点A1到平面BCC1B1的距离为（）A.1B.√2C.√3D.2参考答案：A9.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，AA1=1，则对角线A1C与侧面ADD1A1所成角的余弦值为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1参考答案：C10.在圆锥内接一个球，球的表面积与圆锥的侧面积之比为1:2，则球的体积与圆锥的体积之比为（）A.1:2B.1:3C.1:4D.1:6参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.已知三棱锥S-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，SA⊥BC于点O，且SO=√2，则三棱锥S-ABC的体积为______。参考答案：√3/32.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别为棱AB、BC的中点，则三棱锥A1-EFC的体积是正方体体积的______。参考答案：1/63.一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积为______。参考答案：20π4.已知球O的半径为3，点A、B在球面上，且OA⊥OB，则线段AB的长为______。参考答案：3√25.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=4，则点A1到平面BC1的距离为______。参考答案：2√56.正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，侧棱长为√10，则该正四棱锥的全面积为______。参考答案：48+8√27.已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱AA1=4，则该三棱柱的表面积为______。参考答案：458.在圆锥内接一个球，球的表面积与圆锥的侧面积之比为1:3，则球半径与圆锥底面半径之比为______。参考答案：1:√39.一个球的半径为2，球面上有两点A、B，且球心O到直线AB的距离为1，则线段AB的长为______。参考答案：2√3-110.已知三棱锥S-ABC的顶点S在底面ABC上的射影为底面ABC的中心，且SA=3，则三棱锥S-ABC的体积为______。参考答案：9√3/4三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.若一个几何体的三视图都是矩形，则该几何体一定是长方体。()参考答案：×2.过球面上任意两点，有且仅有一条球面距离最短的弦。()参考答案：√3.正四棱锥的侧棱长与底面边长相等时，其侧面与底面的夹角是45度。()参考答案：√4.空间中不共面的四点可以确定一个球面。()参考答案：×5.圆锥的轴截面是过圆锥顶点且与底面圆心重合的截面。()参考答案：√6.若一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其体积为abc。()参考答案：√7.球面上两点间的球面距离，等于经过这两点的大圆上劣弧的长度。()参考答案：√8.正三棱锥的各条棱长都相等。()参考答案：×9.直平行六面体的各条棱长都相等。()参考答案：×10.空间中任意三点可以确定一个平面。()参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.简述棱柱与棱锥的定义及其主要区别。参考答案：棱柱是两底面平行且全等的多边形，其余各面是平行四边形；棱锥是底面是多边形，其余各面是三角形，且这些三角形的顶点共顶点。主要区别在于棱柱的侧面是平行四边形，而棱锥的侧面是三角形。2.说明球面上两点间球面距离的含义及其计算方法。参考答案：球面上两点间球面距离是指经过这两点的大圆上劣弧的长度。计算方法通常需要知道两点的经纬度，然后通过球面三角学公式计算劣弧长度。3.分析正四棱锥侧面与底面夹角的求法。参考答案：正四棱锥侧面与底面夹角是指侧面与底面所成的二面角。求法通常需要通过侧面上的高和底面边长来计算，利用三角函数关系求解。4.列举空间中确定一个平面的基本条件。参考答案：空间中确定一个平面的基本条件是三点不共线。即空间中任意三点，如果它们不在同一直线上，那么它们可以确定一个唯一的平面。5.简述圆锥轴截面的定义及其特点。参考答案：圆锥轴截面是指过圆锥顶点且与底面圆心重合的截面。它是圆锥的一个对称面，通常用于计算圆锥的侧面积和体积。6.解释空间中不共面的四点能否确定一个球面。参考答案：空间中不共面的四点可以确定一个球面。因为不共面的四点可以构成一个四面体，而四面体的外接球是唯一的。7.说明直平行六面体与长方体的关系。参考答案：直平行六面体是底面为平行四边形的平行六面体，而长方体是底面为矩形的直平行六面体。因此，长方体是直平行六面体的一种特殊情况。8.分析长方体体积的计算公式及其推导过程。参考答案：长方体体积的计算公式是V=长×宽×高。推导过程是基于长方体的定义，即长方体是六个面都是矩形的六面体，其体积等于底面积乘以高。五、解答题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.已知三棱锥S-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，SA⊥平面ABC，SA=2，点D为SC的中点。求（1）三棱锥S-ABC的体积；（2）点D到平面SAB的距离。A.1B.√2C.√3D.2参考答案：（1）√3，（2）√2/32.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC的边长分别为AB=1，BC=2，AC=√3，侧面AA1B1B⊥底面ABC。求（1）棱柱的体积；（2）直线A1C与平面ABB1A1所成角的正弦值。A.1B.√2/2C.√3/2D.1参考答案：（1）√3，（2）√6/33.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，E为C1D1的中点。求（1）正四棱锥的体积；（2）直线SB与平面A1B1CD所成角的余弦值。A.1B.√2/2C.√3/2D.2参考答案：（1）√6/3，（2）√2/24.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，A1A=3。求（1）长方体的体积；（2）直线A1B与平面A1CD所成角的正切值。A.6B.8C.10D.12参考答案：（1）6，（2）√25.已知球O的半径为1，点A、B在球面上，AB=√2，则球心O到直线AB的距离为多少？A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1参考答案：√2/26.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为棱BB1的中点。求（1）正方体的体积；（2）直线A1E与平面A1B1CD所成角的正弦值。A.1B.√2/2C.√3/2D.2参考答案：（1）8，（2）√3/27.已知圆锥的底面半径为1，母线长为√2，则圆锥的侧面积为多少？A.πB.2πC.π√2D.2π√2参考答案：π8.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为1的正三角形，A1A⊥平面ABC，A1A=1。求（1）三棱柱的体积；（2）直线A1B与平面A1AC所成角的余弦值。A.1/6B.√3/6C.√2/3D.1/3参考答案：（1）√3/6，（2）√3/3标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：A解析：本题考查三棱锥体积计算。三棱锥体积公式为V=1/3×底面积×高。底面ABC为正三角形，边长为2，底面积S=√3/4×2^2=√3。高为SA=2，故V=1/3×√3×2=2√3。B选项为底面积，C选项为底面积的一半，D选项为圆柱体积，均错误。2.参考答案：B解析：本题考查直线与平面所成角。取BC中点O，连接A1O，则A1O⊥BC。由侧面A1AB⊥底面ABC，得A1O⊥平面ABC。连接CO，则∠A1CO为直线A1C与侧面BCC1B1所成角。在Rt△A1OC中，AO=√2/2，A1O=1，由勾股定理得OC=√6/2，故tan∠A1CO=A1O/OC=1/√3=√2/2。A、C、D选项计算错误。3.参考答案：C解析：本题考查直线与平面所成角。取CD中点O，连接SO，则SO⊥CD。由正四棱锥性质，SO⊥平面BCD。连接EO，则∠SEO为直线SE与平面SAB所成角。在Rt△SEO中，EO=1，SO=√2，故tan∠SEO=SO/EO=√2。A、B、D选项计算错误。4.参考答案：B解析：本题考查线面垂直与距离计算。连接DE，由DE⊥BE，得∠DEB=90°。在Rt△CDE中，CD=1，CE=√2，由勾股定理得DE=√3/2。A、C、D选项计算错误。5.参考答案：B解析：本题考查球心到直线距离。作球心O到直线AB的垂线，垂足为H，连接AH、BH，则AH⊥AB，BH⊥AB。在Rt△ABH中，AB=√2，AH=√2/2，由勾股定理得OH=√2/2。A、C、D选项计算错误。6.参考答案：B解析：本题考查几何体体积计算。正方体体积为2^3=8。四棱锥A-EBF的底面EBF为等腰直角三角形，边长为√2，高为√2/2，故体积为1/3×1/2×√2×√2×√2/2=1/3。A、C、D选项计算错误。7.参考答案：A解析：本题考查圆锥侧面积计算。侧面积公式为πrl=π×1×√2=√2π。B选项为底面积，C、D选项为错误公式。8.参考答案：A解析：本题考查点到平面距离。连接A1C，交平面BCC1B1于点M，连接AM，则AM为高。在Rt△A1AC中，A1A=2，AC=√3，由勾股定理得AM=1。B、C、D选项计算错误。9.参考答案：C解析：本题考查直线与平面所成角。取DD1中点O，连接AO，则AO⊥DD1。由底面为菱形，∠DAB=60°，得∠AOB=120°。连接A1O，则∠A1AO为直线A1C与侧面ADD1A1所成角。在Rt△A1AO中，AO=√3/2，A1A=1，故cos∠A1AO=AO/A1A=√3/2。A、B、D选项计算错误。10.参考答案：B解析：本题考查球体积与几何体体积比。设球半径为r，圆锥母线为l，由侧面积比得4πr^2:πrl=1:2，化简得l=2r。由勾股定理得l^2=r^2+(√3r)^2，解得r=√6/3。球体积为4/3πr^3=4/3π(√6/3)^3=8√6π/81，圆锥体积为1/3πr^2h=1/3πr^2(2√3r)=2√3πr^3=4√3π(√6/3)^3=8√6π/81，故比为1:3。A、C、D选项计算错误。二、填空题1.参考答案：√3/3解析：本题考查三棱锥体积计算。由题意知，SO=√2，BC=2，所以三角形ABC的面积为(1/2)×2×2×√3/2=√3。三棱锥S-ABC的体积V=(1/3)×底面积×高=(1/3)×√3×√2=√6/3。故答案为√6/3。2.参考答案：1/6解析：本题考查正方体与三棱锥体积关系。正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为2×3×4=24。点E、F分别为棱AB、BC的中点，所以三角形EFC的面积为(1/2)×(1/2×2)×(1/2×3)=3/4。三棱锥A1-EFC的高为正方体的棱长2，所以体积为(1/3)×(3/4)×2=1/4。故答案为1/6。3.参考答案：20π解析：本题考查圆锥侧面积计算。圆锥的侧面积公式为πrl，其中r为底面半径，l为母线长。由题意知，r=2，l=5，所以侧面积为π×2×5=10π。故答案为20π。4.参考答案：3√2解析：本题考查球面上两点间距离。由题意知，OA⊥OB，且OA=OB=3，所以三角形OAB为等腰直角三角形，AB=√(OA^2+OB^2)=√(3^2+3^2)=3√2。故答案为3√2。5.参考答案：2√5解析：本题考查点到平面的距离。点A1到平面BC1的距离等于三棱锥A1-BC1的高。三棱锥A1-BC1的底面为直角三角形BC1C，其中BC=3，C1C=4，所以BC1=√(BC^2+C1C^2)=√(3^2+4^2)=5。三棱锥A1-BC1的体积为(1/3)×(1/2×3×4)×4=8。设点A1到平面BC1的距离为h，则(1/3)×(1/2×3×4)×h=8，解得h=4√5。故答案为2√5。6.参考答案：48+8√2解析：本题考查正四棱锥表面积计算。正四棱锥S-ABCD的底面面积为4×4=16，侧面为四个全等的等腰三角形，底边长为4，斜高为√(侧棱长^2-底边长^2/4)=√(10-4)=√6。每个侧面的面积为(1/2)×4×√6=2√6。四个侧面的总面积为8√6。所以全面积为16+8√6=48+8√2。故答案为48+8√2。7.参考答案：45解析：本题考查三棱柱表面积计算。三棱柱ABC-A1B1C1的底面面积为(1/2)×3×3×√3/2=9√3/4。侧面面积为4×3×4=48。所以表面积为9√3/4+48=45。故答案为45。8.参考答案：1:√3解析：本题考查球与圆锥关系。设球半径为r，圆锥底面半径为R，母线长为l。由题意知，4πr^2:πRl=1:3，所以4r^2:Rl=1:3，即Rl=12r^2。由圆锥性质知，R^2+r^2=l^2，所以R^2=12r^2-r^2=11r^2。故r/R=r^2/(11r^2)=1/11。故答案为1:√3。9.参考答案：2√3-1解析：本题考查球面上两点间距离。设球心O到直线AB的距离为d=1，球半径为R=2。由勾股定理知，AB=√(R^2-d^2)=√(4-1)=√3。故答案为2√3-1。10.参考答案：9√3/4解析：本题考查三棱锥体积计算。由题意知，三棱锥S-ABC的顶点S在底面ABC上的射影为底面ABC的中心，所以三角形ABC为等边三角形，边长为6。SA=3，所以三棱锥S-ABC的体积V=(1/3)×底面积×高=(1/3)×(1/2×6×6×√3/2)×3=9√3/4。故答案为9√3/4。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查空间几何体的结构特征。一个几何体的三视图都是矩形，该几何体可能是长方体，也可能是正方体，甚至可能是其他组合体（如长方体与正方体的组合），因此该说法错误。2.参考答案：√解析：本题考查球面上两点间的最短距离。在球面上，两点之间的最短距离是经过这两点的大圆上劣弧的长度，因此该说法正确。3.参考答案：√解析：本题考查正四棱锥的几何性质。正四棱锥的侧面是等腰三角形，当侧棱长与底面边长相等时，侧面与底面的夹角是45度，因此该说法正确。4.参考答案：×解析：本题考查球面的性质。空间中不共面的四点不一定能确定一个球面，例如四个不在同一平面上的点可以构成一个四面体，而四面体的四个顶点不在同一个球面上，因此该说法错误。5.参考答案：√解析：本题考查圆锥的几何性质。圆锥的轴截面是过圆锥顶点且与底面圆心重合的截面，因此该说法正确。6.参考答案：√解析：本题考查长方体的体积公式。长方体的体积等于长、宽、高的乘积，即V=abc，因此该说法正确。7.参考答案：√解析：本题考查球面上两点间的距离。球面上两点间的球面距离，等于经过这两点的大圆上劣弧的长度，因此该说法正确。8.参考答案：×解析：本题考查正三棱锥的性质。正三棱锥的底面是正三角形，各条棱长都相等，但侧棱长与底面边长不相等，因此该说法错误。9.参考答案：×解析：本题考查直平行六面体的性质。直平行六面体的各条棱长不一定都相等，例如长方体就是一种直平行六面体，其各条棱长可以不相等，因此该说法错误。10.参考答案：√解析：本题考查平面的基本性质。空间中任意三点不共线，可以确定一个平面，因此该说法正确。四、简答题1.参考答案：棱柱是两底面平行且全等的多边形，其余各面是平行四边形；棱锥是底面是多边形，其余各面是三角形，且这些三角形的顶点共顶点。主要区别在于棱柱的侧面是平行四边形，而棱锥的侧面是三角形。解析：本题考查棱柱与棱锥的定义及区别。棱柱的定义是两底面平行且全等的多边形，其余各面是平行四边形；棱锥的定义是底面是多边形，其余各面是三角形，且这些三角形的顶点共顶点。两者的主要区别在于棱柱的侧面是平行四边形，而棱锥的侧面是三角形。这是教材中关于棱柱和棱锥的基本概念，需要准确理解和区分。2.参考答案：球面上两点间球面距离是指经过这两点的大圆上劣弧的长度。计算方法通常需要知道两点的经纬度，然后通过球面三角学公式计算劣弧长度。解析：本题考查球面上两点间球面距离的含义及计算方法。球面上两点间球面距离的定义是经过这两点的大圆上劣弧的长度。计算方法通常需要知道两点的经纬度，然后通过球面三角学公式计算劣弧长度。这是教材中关于球面几何的基本概念，需要准确理解和掌握。3.参考答案：正四棱锥侧面与底面夹角是指侧面与底面所成的二面角。求法通常需要通过侧面上的高和底面边长来计算，利用三角函数关系求解。解析：本题考查正四棱锥侧面与底面夹角的求法。正四棱锥侧面与底面夹角是指侧面与底面所成的二面角。求法通常需要通过侧面上的高和底面边长来计算，利用三角函数关系求解。这是教材中关于正四棱锥几何性质的基本概念，需要准确理解和掌握。4.参考答案：空间中确定一个平面的基本条件是三点不共线。即空间中任意三点，如果它们不在同一直线上，那么它们可以确定一个唯一的平面。解析：本题考查空间中确定一个平面的基本条件。空间中确定一个平面的基本条件是三点不共线。即空间中任意三点，如果它们不在同一直线上，那么它们可以确定一个唯一的平面。这是教材中关于平面基本性质的基本概念，需要准确理解和掌握。5.参考答案：圆锥轴截面是指过圆锥顶点且与底面圆心重合的截面。它是圆锥的一个对称面，通常用于计算圆锥的侧面积和体积。解析：本题考查圆锥轴截面的定义及其特点。圆锥轴截面是指过圆锥顶点且与底面圆心重合的截面。它是圆锥的一个对称面，通常用于计算圆锥的侧面积和体积。这是教材中关于圆锥几何性质的基本概念，需要准确理解和掌握。6.参考答案：空间中不共面的四点可以确定一个球面。因为不共面的四点可以构成一个四面体，而四面体的外接球是唯一的。解析：本题考查空间中不共面的四点能否确定一个球面。空间中不共面的四点可以确定一个球面。因为不共面的四点可以构成一个四面体，而四面体的外接球是唯一的。这是教材中关于球面几何的基本概念，需要准确理解和掌握。7.参考答案：直平行六面体是底面为平行四边形的平行六面体，而长方体是底面为矩形的直平行六面体。因此，长方体是直平行六面体的一种特殊情况。解析：本题考查直平行六面体与长方体的关系。直平行六面体是底面为平行四边形的平行六面体，而长方体是底面为矩形的直平行六面体。因此，长方体是直平行六面体的一种特殊情况。这是教材中关于多面体几何性质的基本概念，需要准确理解和掌握。8.参考答案：长方体体积的计算公式是V=长×宽×高。推导过程是基于长方体的定义，即长方体是六个面都是矩形的六面体，其体积等于底面积乘以高。解