九年级数学上册《综合与实践：生活中的优化问题》课件

生活中的优化问题R·九年级上册知识框架优化问题：最值问题距离最短角度最大用料最省成本最小利润最大活动一分析快递货车上标准包裹箱的数量一辆快递货车穿行在A城、B城之间，中间有若干集散点.在货车从A城驶往B城的过程中，每停靠一个集散点，要卸下前面各集散点发给该集散点的标准包裹箱各1个，同时又要装上该集散点发往以后各集散点的标准包裹箱各1个.任务1若A城、B城之间有10个集散点（包括A城、B城），快递货车最多可装16个标准包裹箱，这辆货车能完成这次快递任务吗？解：我们将10个集散点依次编号为P1，P2,…,P10，其中P1，是A城，P10是B城，分析如下：由表可知，快递货车驶到P3点时，车上需要装21个包裹箱，超过快递货车最大装载包裹箱数，所以这辆货车不能完成这次快递任务.任务2把任务1中的问题一般化，假设A城、B城之间有n个集散点（包括A城、B城），货车经过各集散点时，其装载的标准包裹箱数量如何变化？货车上至少有多少个标准包裹箱的空间才能完成快递任务？离开哪个集散点时，货车上标准包裹箱的数量最多？为什么?解：我们将n个集散点依次编号为S1,S2,…,Sn，其中S1是A城，Sn是B城，分析如下：

活动二寻找最大射门角度足球场上，球员进行直线带球过程中的射门训练，射门时球员与球门两端会形成一个角度，什么时候这个射门角度最大?我们把这个问题简化，只考虑足球沿草坪直线运动的情况.射门角度最大的问题可以简化为“直线上的点在什么位置时，其与线段两个端点的连线形成的角度最大？”的问题.ABCl图1ABCDm图2任务1如图1，当球员带球行进的路线l与球门（线段AB）所在的直线平行时，直线l上是否存在点C，使∠ACB最大？为什么？如果存在这样的点C.如何确定点C的位置?ABCl图1ED

任务2如图2，当球员带球行进的路线m与球门所在的直线垂直时，直线m上是否存在点C，使∠ACB最大？为什么？如果存在这样的点C，如何确定点C的位置？提示：要考虑直线m与线段AB相交、与线段AB的延长线相交两种情形.ABCDm图2C′解：存在.当直线m与线段AB相交时，交点C即为所求.此时∠ACB=180°，但此种情况通常不考虑；当直线m与线段AB的延长线相交时，过AB两点作圆，使圆与直线m相切，切点即为点C.(在圆外任意找一点C'，由任务1可知∠C'<∠C）任务3如图3,当球员带球行进的路线n与球门所在的直线相交但不垂直时,直线n上是否存在点C,使∠ACB最大？为什么？如果存在这样的点C,如何确定点C

的位置?提示：与任务2类似，仍然考虑直线n与线段AB相交、与线段AB的延长线相交两种情形.ABCDn图3解：存在.当直线n与线段AB相交时，交点C即为所求，此时∠ACB=180°，但此种情况通常不考虑；当直线n与线段AB的延长线相交时，过AB两点作圆，使圆与直线n相切,切点即为点C.(在圆外任意找一点C'，由任务1可知∠C'<∠C）C′任务4你还能提出类似上述问题的其他现实问题吗？活动三产品包装箱的设计生活中,我们会见到各种各样的产品包装箱,产品包装箱的纸张浪费和垃圾等问题,开始成为社会治理的新问题.如何用更少的包装纸来包装更多的商品,对于环境保护和商家的利益来讲都是非常重要的.接下来,我们以圆柱体和长方体形状产品的包装箱为例,从数学的角度探究产品包装箱用料最小问题.任务1当圆柱体产品单层排列时，研究使长方体包装箱表面积最小的排列方式.(1)当圆柱体产品底面半径r=60mm,高h=123mm,规格为12个/箱时,有几种齐排列方案？分别计算它们的包装箱表面积,哪种方案的包装箱表面积最小?(2)对于(1)中的圆柱体产品,按照错排列的方式,有几种方案?分别计算它们的包装箱表面积,哪种方案的包装箱表面积最小?(3)综合比较齐排列与错排列的方式,找出最省料的包装方式.解：(1)如下表，3×4(或4×3)的齐排列面积最小.

(3)这种齐排列的包装方式最省料.任务2当圆柱体产品多层排列时，研究使长方体包装箱表面积最小的排列方式.

当圆柱体产品底面半径r=60mm，高h=123mm，规格为12个/箱时，有几种齐排列方案？分别计算它们的包装箱的表面积，哪种方案的包装箱表面积最小?任务3类比上述解决圆柱体产品包装箱表面积最小问题的方法，研究长方体产品的包装箱表面积最小的问题.（选做）活动四提出问题并解决【问题背景】排队是生活中常见的场景。如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安检通道数之间的关系.【研究条件】条件1:观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数一已入场人数；条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人。【模型构建】若该演出前30min开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y=－x²+60x+100(0<x<30）.【模型应用】已知该演出主办方要求：①排队人数在安检开始10min内（包含10min)减少；②尽量少安排安检通道，以节省开支.若同时满足以上两个要求，可开放几条安检通道，请说明理由。

根据公共点个数确定直线与圆的位置1.如图是“光盘行动”的宣传海报，图中筷子与餐盘可看成的直线和圆

的位置关系是(

B

)A.相切B.相交C.相离D.平行B123456789101112131415162.已知☉

O

的半径为3，点

O

到直线

m

的距离为

d

，若直线

m

与☉

O

公共

点的个数为2个，则

d

可取(

A

)A.2B.3C.3.5D.4【解析】∵直线

m

与☉

O

公共点的个数为2个，∴直线

m

与☉

O

相交.∴

d

＜半径3.A12345678910111213141516

根据数量关系判断直线与圆的位置3.已知☉

O

的半径等于3，圆心

O

到直线

l

的距离为5，那么直线

l

与☉

O

的位置关系是(

C

)A.相交B.相切C.相离D.无法确定【解析】∵☉

O

的半径等于3，圆心

O

到直线

l

的距离为5，且5＞3，

∴直线

l

与☉

O

的位置关系是相离.C123456789101112131415164.已知☉

O

的半径等于4，点

A

在直线

l

上，且

OA

＝5，则直线

l

与☉

O

的位置关系是(

D

)A.相离B.相交C.相切D.不确定【解析】∵☉

O

的半径为4，

OA

＝5，4＜5，∴点

A

在☉

O

外.∴点

O

到

直线

l

的距离

d

≤5.∴直线

l

与☉

O

相切或相交或相离.D123456789101112131415165.已知☉

O

的半径是6，点

O

到直线

l

的距离为5，则直线

l

与☉

O

的位置

关系是(

C

)A.相离B.相切C.相交D.无法判断C12345678910111213141516【解析】根据直线与圆的位置关系来判定：直线

l

和☉

O

相交，则

d

＜

r

；直线

l

和☉

O

相切，则

d

＝

r

；直线

l

和☉

O

相离，则

d

＞

r

(

d

为圆心

O

到直线

l

的距离，

r

为☉

O

的半径).∵☉

O

的半径为6，圆心

O

到直线

l

的距离

d

为5，∴6＞5，即

d

＜

r

.∴直线

l

与☉

O

的位置关系是相交.12345678910111213141516

根据直线与圆的位置关系判断数量关系6.已知☉

O

的半径为3，记圆心

O

到直线

l

的距离为

d

，若直线

l

与☉

O

没

有公共点，则

d

的取值范围是(

A

)A.

d

＞3B.

d

＜3C.

d

≤3D.

d

≥3【解析】∵直线

l

与☉

O

没有公共点，∴直线

l

和☉

O

相离.∵☉

O

的半径为3，∴圆心

O

到直线

l

的距离

d

的取值范围是

d

＞3.A123456789101112131415167.(张家口期中)已知☉

O

的直径为10，直线

l

与☉

O

相交，则圆心

O

到直线

l

的距离可能是(

A

)A.4B.5C.6D.8【解析】∵☉

O

的直径为10，∴☉

O

的半径为5.∵直线

l

与☉

O

相交，∴圆心

O

到直线

l

的距离

d

的取值范围是0≤

d

＜5，只有选项A符合题意.A123456789101112131415168.如图，在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AC

＝3，

BC

＝4，如果以点

C

为

圆心的圆与斜边

AB

有公共点，那么☉

C

的半径

r

的取值范围是(

C

)D.3≤

r

≤4C12345678910111213141516【解析】如图，过点

C

作

CD

⊥

AB

于点

D

.

∵∠

C

＝90°，

AC

＝3，

BC

＝4，

12345678910111213141516

9.(廊坊期中)在平面直角坐标系

xOy

中，以点

A

(1，3)为圆心，2为

半径作☉

A

，下列判断正确的是(

C

)A.☉

A

与

x

轴相交B.☉

A

与

y

轴相切C.点

O

在☉

A

外D.点(1，1)在☉

A

内C12345678910111213141516

1234567891011121314151610.

如图，在平面直角坐标系中，半径为2的☉

P

的圆心

P

的坐标

为(－3，0)，将☉

P

沿

x

轴的正方向平移，使得

y

轴与☉

P

相切，则平移

的距离为(

D

)A.1B.3或6C.3D.1或5D12345678910111213141516【解析】根据题意，可得

OP

＝3，☉

P

的半径为2，当☉

P

在

y

轴的左侧与

y

轴相切时，平移的距离为3－2＝1；当☉

P

在

y

轴的右侧与

y

轴相切时，平移的距离为3＋2＝5；故要使

y

轴与☉

P

相切，则平移的距离为1或5.

分☉

P

在

y

轴的左侧与

y

轴相切、☉

P

在

y

轴的右侧与

y

轴相切两种

情况，根据切线的判定定理解答即可求得.易错警示1234567891011121314151611.(唐山期中)如图，在矩形

ABCD

中，

BC

＝5，

AB

＝2，☉

O

是

以

BC

为直径的圆，则直线

AD

与☉

O

的位置关系是

⁠.

相交

1234567891011121314151613.【教材第96页练习改编】圆的半径为5cm，如果圆心到直线上一点

的距离为3cm，那么直线与圆公共点有

⁠.12.(石家庄第40中学期中)已知☉

O

的半径是一元二次方程

x2－2

x

－3＝0的一个根，圆心

O

到直线

l

的距离为4，则直线

l

与☉

O

有

⁠个

交点.【解析】解方程

x2－2

x

－3＝0，可得

x1＝3，

x2＝－1.∵☉

O

的半径是

一元二次方程

x2－2

x

－3＝0的一个根，∴

x

＝3，即☉

O

的半径为3.∵圆心

O

到直线

l

的距离为4，4＞3，∴直线

l

与☉

O

有0个交点.0

2个

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

∵☉

O

的半径为1，

12345678910111213141516

15.

☉

O

与直线

l

相离，

P

是☉

O

上的一个动点，设

圆心

O

到直线

l

的距离为

d

，☉

O

的半径为

r

，则点

P

到直线

l

的最小距

离是

，点

P

到直线

l

的最大距离是