九年级数学上册《循环问题与销售问题》课件

25.3实际问题与一元二次方程第3课时循环问题与销售问题第二十五章一元二次方程R·九年级数学上册学习目标1.熟练掌握列一元二次方程解应用题.2.掌握循环、销售等问题的常见应用题解法.3.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型．复习回顾问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.组织者应邀请多少支球队参赛？解：设应邀请x

支球队参赛，根据题意可列得方程

整理并化简，得x2−x−56=0.解方程，得x1=8，x2=–7（不合题意，舍去）.答：组织者应邀请8支球队参赛.探索新知探究3若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？每两支球队之间比赛2场.分析：如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n–1).假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么n(n–1)=300.

由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数.因此，总场数不可能为300，这个人算得不对.变式训练1.某县团委倡导“我运动，我健康，我快乐”的生活方式，准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件限制，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少支足球队参赛？

变式训练2.n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人？【选自教材第23页练习第1题】

知识要点循环问题分为单循环问题（记数不重复）和双循环问题（记数重复），常见的循环问题如下：类型特点常见实际问题n个元素情况下的循环总次数单循环每两个元素之间算一次握手问题、签合同问题、照相问题、比赛问题（每两队之间赛一场）双循环每两个元素之间算两次互赠贺卡、比赛问题（每两队之间赛两场）n(n−1)探究4一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？分析：设每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为1200元.每件盈利/元销售数量/件获得利润/元原来402040×20现在40−x20+2x(40−x)(20+2x)每件盈利/元销售数量/件获得利润/元原来402040×20现在40−x20+2x(40−x)(20+2x)解：设当每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为1200元.根据题意，得(40−x)(20+2x)=1200.整理，得x2−30x+200=0.解得x1=10，x2=20.因为要求每件盈利不少于25元，所以40−x≥25，解得x≤15.所以x2=20应舍去.所以x=10.答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元.变式训练3.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在平台上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5

元，日销售量增加

10件.若日销售利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

知识要点

随堂练习1.生物兴趣小的学生组，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，全组共有_____名学生.2.已知平面上有n

个点，其中任意3个点都不在一条直线上.小王经过每两点画一条直线，共画了171条直线，则该平面上共有_____个点.14193.一个凸多边形共有

20条对角线，它是几边形？是否存在有

18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由.

【选自教材第23页练习第2题】4.某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（单位：元/个）与每天销售量y（单位：个）的对应值如下表：x（元/个）…52535455…y/个…760740720700…（1）求

y

关于

x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（2）当售价定为每个多少元时，每天的利润可达到6000元?x（元/个）…52535455…y/个…760740720700…

x（元/个）…52535455…y/个…760740720700…（2）根据题意，得(x−50)(−20x+1800)=6000.解得x1=60，x2=80（不符合题意，舍去）.答：当售价定为每个60元时，每天的利润可达到6000元.一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.下列方程是一元二次方程的是(

C

)B.

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

，

b

，

c

均为常数)C.(2

x

－1)(3

x

＋2)＝5D.(2

x

＋1)2＝4

x2－3C1234567891011121314151617181920

A.3B.－3C.±3D.无法确定【解析】由题意，得

m

－3≠0，

m2－7＝2，解得

m

＝－3.B12345678910111213141516171819203.若

m

，

n

分别是一元二次方程

x2－4

x

＋1＝0的两个根，则

m2－3

m

＋

n

的值为(

A

)A.3B.4C.5D.6【解析】∵

m

，

n

分别是一元二次方程

x2－4

x

＋1＝0的两个根，∴

m2－4

m

＋1＝0，

m

＋

n

＝4.∴

m2－4

m

＝－1.∴

m2－3

m

＋

n

＝

m2－4

m

＋

m

＋

n

＝－1＋4＝3.A12345678910111213141516171819204.方程

x2－4

x

＝7的根的情况是(

C

)A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.有一个实数根5.将

x2－6

x

－4＝0进行配方变形，下列正确的是(

C

)A.(

x

－6)2＝13B.(

x

－6)2＝9C.(

x

－3)2＝13D.(

x

－3)2＝9CC12345678910111213141516171819206.如果关于

x

的一元二次方程(

m

－3)

x2＋3

x

＋

m2－9＝0有一个解是0，

那么

m

的值是(

B

)A.3B.－3C.±3D.0或－3B12345678910111213141516171819207.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月

份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为

x

，则根据

题意可列方程(

D

)A.50(1＋

x

)2＝175B.50＋50(1＋

x

)2＝175C.50(1＋

x

)＋50(1＋

x

)2＝175D.50＋50(1＋

x

)＋50(1＋

x

)2＝175D12345678910111213141516171819208.已知

a

是一元二次方程

x2－

x

－1＝0较大的根，则下列对

a

的值估计

正确的是(

B

)A.2＜

a

＜3B.1.5＜

a

＜2C.1＜

a

＜1.5D.0＜

a

＜1B1234567891011121314151617181920

1234567891011121314151617181920

A.10B123456789101112131415161718192010.小刚在解关于

x

的方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)时，只抄对了

a

＝2，

c

＝1，解出其中一个根是

x

＝1.他核对时发现所抄的

b

值比原方程的

b

值

小1，则原方程的根的情况是(

A

)A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有另一个根是

x

＝－1D.有两个相等的实数根

A1234567891011121314151617181920

123456789101112131415161718192011.若关于

x

的一元二次方程

nx2－2

x

－1＝0无实数根，则一次函数

y

＝

(

n

＋1)

x

－

n

＋1的图象不经过(

C

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵关于

x

的一元二次方程

nx2－2

x

－1＝0无实数根，∴Δ＝4＋4

n

＜0，解得

n

＜－1，则－

n

＞1.此时

n

＋1＜0，－

n

＋1＞2，故一次函数

y

＝(

n

＋1)

x

－

n

＋1的图象不经过第三象限.C123456789101112131415161718192012.已知2是关于

x

的方程

x2－(5＋

m

)

x

＋5

m

＝0的一个根，并且这个方

程的两个根恰好是等腰三角形

ABC

的两条边长，则△

ABC

的周长为

(

B

)A.9B.12C.9或12D.6或12或15B1234567891011121314151617181920【解析】把

x

＝2代入方程

x2－(5＋

m

)

x

＋5

m

＝0，得4－2(5＋

m

)＋5

m

＝0，解得

m

＝2.方程可整理为

x2－7

x

＋10＝0，解得

x1＝2，

x2＝5.∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形

ABC

的两条边长，∴等腰三角形

ABC

的腰长为5，底边长为2.∴三角形

ABC

的周长为5＋5＋2＝12.1234567891011121314151617181920二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.一元二次方程3

x

(

x

－2)＝－4的一般形式是

⁠.14.若关于

x

的一元二次方程

kx2－

x

＋1＝0有实数根，则

k

可取的最大

整数值为

⁠.3

x2－6

x

＋4＝0

－1

123456789101112131415161718192015.为增强学生体质，培养学生正确的体育思想和团队意识，2024年初

某市开展了“篮球进园”活动.近日，该市篮球协会要组织初中学校的篮

球队进行一次联赛，要求每两队之间进行一场比赛，计划安排6天，每

天比赛6场，则参加比赛的球队数是

⁠.

解得

x1＝9，

x2＝－8(不符合题意，舍去).则参加比赛的球队数是9.9

1234567891011121314151617181920

x

＝－1

x1＝1，

x2＝－3

1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.(每题3分，共12分)解方程：(1)(2

x

＋3)2－25＝0；解：(1)(2

x

＋3)2－25＝0.移项，得(2

x

＋3)2＝25.∴2

x

＋3＝5或2

x

＋3＝－5.解得

x1＝1，

x2＝－4.1234567891011121314151617181920(2)2

x2－7

x

－2＝0；

1234567891011121314151617181920(3)(

x

＋2)2＝3(

x

＋2)；

解：(3)(

x

＋2)2＝3(

x

＋2).移项，得(

x

＋2)2－3(

x

＋2)＝0.因式分解，得(

x

＋2)(

x

＋2－3)＝0.∴

x

＋2＝0或

x

＋2－3＝0.解得

x1＝－2，

x2＝1.1234567891011121314151617181920(4)

x2－2

x

－3＝0.解：(4)

x2－2

x

－3＝0.移项，得

x2－2

x

＝3.配方，得

x2－2

x

＋1＝3＋1，即(

x

－1)2＝4.∴

x

－1＝2或

x

－1＝－2.解得

x1＝3，

x2＝－1.123456789101112131415161718192018.(6分)下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的

任务.解：2

x2＋4

x

－8＝0.二次项系数化为1，得

x2＋2

x

－4＝0.…第一步移项，得

x2＋2

x

＝4.…第二步配方，得

x2＋2

x

＋4＝4＋4，即(

x

＋2)2＝8.…第三步

(1)小明解题过程中，从第

⁠步开始出现错误；三

1234567891011121314151617181920(2)请给出正确的解题过程.

123456789101112131415161718192019.(8分)已知关于

x

的一元二次方程

x2＋2

x

－(

m

－2)＝0有实数根.(1)求

m

的取值范围；解：(1)∵关于

x

的一元二次方程

x2＋2

x

－(

m

－2)＝0有实数根，∴Δ＝

b2－4

ac

＝22－4×1×[－(

m

－2)]＝4

m

－4≥0，解得

m

≥1.(2)若方程有一个根为

x

＝1，求

m

的值及另一个根.解：(2)将

x

＝1代入原方程，得1＋2－(

m

－2)＝0，解得

m

＝5.∴原方程为

x2＋2

x

－3＝(

x

－1)(

x

＋3)＝0，解得

x1＝1，

x2＝－3，∴

m

的值为5，方程的另一个根为

x

＝－3.123456789101112131415161718192020.(8分)如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝21cm，

BC

＝8cm，动点

E

从

点

A

出发，以3cm/s的速度沿

AB

向点

B

运动，动点

F

从点

C

出发，以2

cm/s的速度沿着

CD

向点

D

运动，当点

E

到达点

B

时，点

E

，

F

同时停

止.则

EF

的长为10cm时点

E

的运动时间是多少秒？1234567891011121314151617181920解：如图所示，过点

E

作

EM

⊥

CD

于点

M

，由题意知，当运动时间为

t

秒时，

AE

＝3

t

，

CF

＝2

t

，

EM

＝

BC

＝8，∴

MF

＝

AB

－

AE

－

CF

＝21－5

t

.根据勾股定理，得

MF2＋

ME2＝

EF2，即(21－5

t

)2＋82＝102，整理，得5

t2－42

t

＋81＝0.

123456789101112131415161718192021.(8分)课本再现人教版初中数学教科书九年级上册第23页数学活动对三角点阵中前

n

行

的点数计算进行了探究.如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多

行，其中第1行有一个点，第2行有两个点……第

n

行有

n

个点……小明同学发现，前2行的点数和是1＋2＝3，前3行的点数和是1＋2＋3＝

6，前4行的点数和是1＋2＋3＋4＝10……前

n

行的点数和是1＋2＋3＋4

＋5＋…＋

n

，他有点疑惑，能不能用含

n

的式子把1＋2＋3＋4＋5＋…

＋

n

表示出来.2122小明同学通过阅读课本知道了答案，但他仍在问自己这个结果是怎么来

的.经过思考后，他发现：设

S

＝1＋2＋3＋4＋…＋(

n

－1)＋

n

，①则

S

＝

n

＋(

n

－1)＋…＋4＋3＋2＋1，②由①＋②，可得…(1)