九年级数学上册《正多边形与圆》课件

30.3正多边形与圆人教版·九年级上册学习目标（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念.（2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某些正多边形.新课导入多边形是否有外接圆、内切圆呢？三角形的外接圆三角形的内切圆……正方形正五边方形探索新知图形名称边的关系角的关系……………………四条边相等三个角相等（60°）三条边相等四个角相等（90°）六条边相等五个角相等（108°）五条边相等六个角相等（120°）等边三角形正方形正五边形正六边形各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？矩形不符合各边相等菱形不符合各角相等正多边形各边相等各角相等缺一不可说一说你还能找出哪些正多边形呢？【教材P106练习第1题】是正多边形3条4条5条6条正多边形都是

图形，一个正n边形共有

条对称轴，每条对称轴都通过n边形的

.边数是偶数的正多边形还是

，它的中心就是对称中心.轴对称n中心中心对称图形有没有对称轴？想一想观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出正多边形的图形吗?你知道正多边形与圆的关系吗？把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什么图形？弧相等弦相等圆周角相等（多边形的边相等）（多边形的角相等）多边形是正多边形如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？【单击圆跳转几何画板】将一个圆分成n等份，依次连接各分点得到一个正n边形.∴AB=BC=CD=DE=EA,∴∠A=∠B.同理∠B=∠C=∠D=∠E.又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，∴五边形ABCDE是.⊙O的内接正五边形，⊙O是五边形ABCDE的外接圆.我们以圆内接正五边形为例证明.证明：∵AB=BC=CD=DE=EA⌒⌒⌒⌒⌒∴BCE=CDA=3AB⌒⌒⌒OABCDEOABCDE

正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.中心边心距中心角半径外接圆的圆心外接圆的半径正多边形的每一条边所对的圆心角弦心距正多边形的中心正多边形的半径正多边形的中心角正多边形的边心距O圆心半径圆心角弦心距弦O中心半径边心距中心角类比学习圆内接正多边形1.各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例。【教材P163练习第1题】解：各边相等的圆内接多边形是正多边形.各角相等的圆内接多边形不是正多边形，例如圆内接矩形，它不是正多边形.思考1.下列说法正确的是（

）A.各边相等的多边形是正多边形B.各角相等的多边形是正多边形C.各边相等的圆内接多边形是正多边形D.各角相等的圆内接多边形是正多边形C<针对训练

>2.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么对这个四边形描述最准确的是（

）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形C证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.又∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)=72°.又BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°.∴BC=BE=AE=AD=CD∴五边形AEBCD是正五边形.3.如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC=36°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形.⌒⌒⌒⌒⌒证明一个多边形是正多边形的方法：证明多边形的各角都相等，各边都相等.证明圆周被多边形的顶点n等分.因为相邻两个顶点间的弧相等，所以所对的弦（多边形的边）相等，相邻两弦所夹的角相等.正n边形的一个内角的度数是____________；中心角是___________；正多边形的中心角与外角的大小关系是________；正多边形的中心角与内角的大小关系是________.相等互补想一想例延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为6m的正八边形(如图).求塔基的面积（结果保留小数点后一位).ABOPCDEFGH

ABOPCDEFGH添加辅助线的方法：连半径，得中心角；作边心距，构造直角三角形方法归纳圆内接正多边形的辅助线边心距r半径R中心角一半边长一半<针对训练

>1.一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（

）A.3

B.6C.8

D.12D2.如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点Р在⊙O上（点Р不与点A，B重合），则∠APB的度数为_____________.30°或150°【教材P163练习第2题】试一试分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积。实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关，要制造下图中的零件，也需要等分圆周.动手操作操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边形？你是怎么画的？操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正六边形。（2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝＝60°，将360°圆心角六等分，即可得到圆的6个等分点；O60°60°F60°E60°D60°C60°AB解：方法1

（1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O

；（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．（2）用量角器画∠AOB＝＝60°，再用圆规依次截取

，得到圆的6个等分点；ABOCDEF

方法2

（1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O

；（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．还有其他方法吗？对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作．ABOCDEF

方法3先作一个⊙O，因为正六边形的边长等于半径，所以在⊙O上用圆规依次截取等于半径的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到正六边形，如图所示．你能用以上方法画出正三边形、正四边形、正五边形吗？·ABCDO·ABCDEOOABC·90°72°120°1.如图，已知⊙O的内接正方形的边长为2，则⊙O的半径是（

）A.1 B.2C. D.2C随堂练习2.如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大的圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是___________.(1)画一个以任意点O为圆心,以2cm长为半径的圆;(2)用量角器画一个等于=72°的圆心角,得到此角所对的弧;(3)在圆上依次截取这条弧的等弧,得圆的五等分点;(4)顺次连接各等分点,得到此圆的内接正五边形;(5)连接正五边形的各条对角线得到五角星.如图所示:4.画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星.【教材P164练习第1题】.O5.用等分圆周的方法画出下列图案:【教材P164练习第2题】正多边形的性质正多边形的有关概念正多边形的有关计算添加辅助线的方法：连半径，作边心距中心半径边心距中心角正多边形的对称性课堂小结正多边形的画法一、选择题(共10题，每题4分，共40分)1.如图，若☉

O

的半径为6，点

O

到某条直线的距离为6，则这条直线可

能是(

B

)A.

l1B.

l2C.

l3D.

l4第1题图B123456789101112131415161718【解析】∵☉

O

的半径为6，点

O

到某条直线的距离为6，∴这条直线与圆相切.∴这条直线可能是

l2.2.(衡水校联考模拟预测)如图，将正方形

AMNP

和正五边形

ABCDE

的中心

O

重合，按如图所示的位置放置，连接

OP

，

OE

，则∠

POE

＝(

A

)A.18°B.19°C.20°D.21°第2题图A123456789101112131415161718解析】如图，连接

OA

，∵点

O

是正五边形

ABCDE

和正方形

AMNP

的中心，

∴∠

POE

＝∠

AOP

－∠

AOE

＝90°－72°＝18°.1234567891011121314151617183.如图，∠

O

＝30°，

C

为

OB

上一点，且

OC

＝6，以点

C

为圆心，半径

为3的圆与

OA

的位置关系是(

C

)A.相离B.相交C.相切D.以上三种情况均有可能C123456789101112131415161718【解析】如图，过点

C

作

CD

⊥

AO

于点

D

，∵∠

O

＝30°，

OC

＝6，

∴以点

C

为圆心，半径为3的圆与

OA

的位置关系是相切.1234567891011121314151617184.一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边

形

ABCDEF

的中心

O

重合，且与边

AB

，

CD

相交于点

G

，

H

(如图).图

中阴影部分的面积记为

S

，三条线段

GB

，

BC

，

CH

的长度之和记为

l

，大正六边形在绕点

O

旋转过程中，下列说法正确的是(

D

)A.

S

变化，

l

不变B.

S

不变，

l

变化C.

S

变化，

l

变化D.

S

与

l

均不变第4题图D123456789101112131415161718【解析】如图，连接

OA

，

OC

.

∵∠

HOG

＝∠

AOC

＝120°，∠

OCH

＝∠

OAG

＝60°，∴∠

HOC

＝∠

GOA

.

∴△

OHC

≌△

OGA

(ASA).∴

AG

＝

CH

.

∴

S阴影＝

S四边形

OABC

＝定值，

l

＝

GB

＋

BC

＋

CH

＝

AG

＋

BG

＋

BC

＝2

BC

＝定值.1234567891011121314151617185.如图，正六边形

ABCDEF

的边长为2，现将它沿

AB

方向平移1个单位

长度，得到正六边形A'B'C'D'E'F'，则阴影部分A'BCDE'F'的面积是

(

B

)第5题图B123456789101112131415161718【解析】如图，连接A'E'，

BD

，过点F'作F'H⊥A'E'于点

H

，则四边形

A'E'DB是矩形，∵正六边形

ABCDEF

的边长为2，∠A'F'E'＝120°，∴∠F'A'E'＝30°.

∵将它沿

AB

方向平移1个单位长度，∴A'B＝1.

123456789101112131415161718

A.120°B.135°C.150°D.165°C123456789101112131415161718

1234567891011121314151617187.如图，☉

O

是△

ABC

的内切圆，若∠

A

＝70°，则∠

BOC

＝(

A

)A.125°B.115°C.100°D.130°第7题图A123456789101112131415161718

1234567891011121314151617188.如图，在等腰三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，把△

ABC

沿

EF

折叠，点

C

的对应点为点

O

，连接

AO

，使

AO

平分∠

BAC

，若∠

BAC

＝∠

CFE

＝

50°，则点

O

是(

B

)A.△

ABC

的内心B.△

ABC

的外心C.△

ABF

的内心D.△

ABF

的外心第8题图B123456789101112131415161718【解析】如图，连接

OB

，

OC

，∵

AB

＝

AC

，

AO

平分∠

BAC

，∴

AO

是

BC

的垂直平分线.∴

OB

＝

OC

.

∵∠

BAC

＝50°，

AO

平分∠

BAC

，∴∠

BAO

＝∠

CAO

＝25°.∵把△

ABC

沿

EF

折叠，点

C

的对应点为点

O

，∠

CFE

＝50°，∴

CF

＝

OF

，∠

OFE

＝∠

CFE

＝50°.∴∠

OFC

＝100°.123456789101112131415161718

∵

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝50°，

∴∠

OCA

＝∠

ACB

－∠

FCO

＝65°－40°＝25°，∴∠

CAO

＝∠

OCA

.

∴

OA

＝

OC

.

∴

OA

＝

OB

＝

OC

.

∴

O

是△

ABC

的外心.1234567891011121314151617189.如图，点

M

，

N

分别是正五边形

ABCDE

的边

BC

，

CD

上的点，且

BM

＝

CN

，

AM

交

BN

于点

P

，则∠

APN

的度数为(

D

)A.60°B.120°C.72°D.108°第9题图D123456789101112131415161718

12345678910111213141516171810.☉

O

是半径为1的圆，点

O

到直线

L

的距离为3，过直线

L

上的任一点

P

作☉

O

的切线，切点为

Q

；若以

PQ

为边作正方形

PQRS

，则正方形

PQRS

的面积最小为(

B

)A.7B.8C.9D.10第10题图B123456789101112131415161718【解析】如图，连接

OQ

，

OP

，作

OH

⊥

L

于点

H

，则

OH

＝3，∵

PQ

为☉

O

的切线，∴

OQ

⊥

PQ

.

当

OP

最小时，

PQ

最小，正方形

PQRS

的面积最小，当

OP

＝

OH

＝3时，

OP

最小，

123456789101112131415161718二、填空题(共4题，每题5分，共20分)

第11题图119

【解析】如图所示，在☉

O

上取一点

D

，连接

AD

，

BD

，∵∠

AOB

＝122°，

∵四边形

ADBC

是圆内接四边形，∴∠

ACB

＝180°－61°＝119°.12345678910111213141516171812.(邯郸校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，已知

C

(3，4)，以点

C

为圆心的圆与

y

轴相切.点

A

，

B

在

x

轴上，且

OA

＝

OB

.

点

P

为☉

C

上的动点，∠

APB

＝90°，则

OP

长度的最大值为

，此时

AB

长度为

⁠.第12题图8

16

123456789101112131415161718【解析】如图1，连接

CP

，

OC

，

OP

，∵已知

C

(3，4)，

又∵以点

C

为圆心的圆与

y

轴相切，∴☉

C

的半径为3，则

CP

＝3.123456789101112131415161718由三角形三边关系可知

OP

≤

CP

＋

OC

＝3＋5＝8，当点

P

在射线

OC

上

时取最大值，如图2，即

OP

长度的最大值为8，又∵

OA

＝

OB

，∠

APB

＝90°，则点

O

为Rt△

APB

斜边

AB

的中点，∴

AB

＝2

OP

.

∴当

OP

长度为最大值时，

AB

＝16.12345678910111213141516171813.如图，☉

O

经过

A

，

B

，

C

三点，

PA

，

PB

分别与☉

O

相切于

A

，

B

点，∠

P

＝46°，则∠

C

＝

⁠.67°

12345678910111213141516171814.(邢台校考期中)已知☉

O

的直径为8，点

P

在☉

O

内.若

OP

的长

为正整数，写出一个符合条件的

OP

的长度：

⁠.【解析】∵☉

O

的直径为8，∴半径为4.∵点

P

在☉

O

内，∴

OP

＜4.∵

OP

的长为正整数，∴

OP

长可能是3，2，1.3(答案不唯一)

123456789101112131415161718三、解答题(共4题，每题10分，共40分)15.如图，△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

D

是边

AB

上的一点，且∠

A

＝

2∠

DCB

，

E

是

BC

上的一点，以

EC

为直径的☉

O

经过点

D

.

(1)求证：

AB

是☉

O

的切线；(1)证明：如图1，连接

OD

，∵

OD

＝

OC

，∴∠

DCB

＝∠

ODC

.

又∵∠

DOB

为△

COD

的外角，123456789101112131415161718∴∠

DOB

＝∠

DCB

＋∠

ODC

＝2∠

DCB

.

又∵∠

A

＝2∠

DCB

，∴∠

A

＝∠

DOB

.

∵∠

ACB

＝90°，∴∠

A

＋∠

B

＝90°.∴∠

DOB

＋∠

B

＝90°.∴∠

BDO

＝90°.∴

OD

⊥

AB

.

又∵

D

在☉

O

上，∴

AB

是☉

O

的切线.123456789101112131415161718(2)若圆心

O

到弦

CD

的距离为1，∠

DCB

＝30°，求

BD

的长.(2)解：如图2，过点

O

作

OM

⊥

DC

，垂足为

M

，

123456789101112131415161718

123456789101112131415161718

12345678910111213141516171817.如图，点

C

是半圆

O

上一点(不与点

A

，

B

重合)，沿

BC

所在直线折

叠半圆

O

，使点

A

落在A'点处，A'B交半圆

O

于点

M

，

AB

＝2.(1)

M

到

AB

的最大距离为

⁠；1

123456789101112131415161718

(2)已知点

O

的对应点为点

M

，连接

AM

.

①求

AM

的长；②求阴影部分的面积；123456789101112131415161718

123456789101112131415161718

123456789101112131415161718(3)设A'B的中点为O'，若线段BO'与半圆

O

仅有一个公共点，求∠

ABC

的取值范围.【解析】(3)∵A'B的中点为O'，∴由(2)易得当0＜∠

ABC

＜30°时，满足条件.如图2，当BA'与半圆

O

相切时，线段BO'与半圆

O

仅有一个公共点，则∠ABA'＝90°，∴∠

ABC

＝45°.123456789101112131415161718当点

C

向点

B

靠近时，则∠

ABC

逐渐变大，当点

C

与

B

重合时，达到最

大值，此时∠

ABC

＝90°，∵点

C

与点

B

不重合，∴∠

ABC

的取值范围为0°＜∠

ABC

＜30°或45°≤∠

ABC

＜90°.12345678910111213141516171818.(邯郸校考二模)摩天轮(如图1)是游乐场中受欢迎的游乐设施之

一，它可以看作由一个大圆和六个全等的小圆组成(如图2)，大圆绕着

圆心

O

匀速旋转，小圆通过顶部挂点(如点

P

，

N

)均匀分布在大圆圆周

上