九年级数学上册《切线的性质与判定》课件

R·九年级数学上册第三十章第1课时

切线的性质与判定1.理解并掌握圆的切线的判定定理，并能判定一条直线是否为圆的切线.2.掌握圆的切线的性质定理，能综合运用切线的判定和性质定理解决问题.学习目标情境导入转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否是圆的切线呢？直线与圆相切的判定：1.利用定义判定：直线和圆只有一个公共点时，直线与圆相切.2.利用直线与圆心距离判定：当圆心与直线的距离等于该圆的半径时，直线与圆相切.知识回顾OlOld=r知识点1切线的性质思考：⊙O的半径OA与过点A的切线l有什么关系？l.OA新知探究证明：如图，设P为直线l上不同于点A的点，因为直线l与⊙O只有一个公共点A，所以点P在⊙O外，从而OP>OA，即半径OA是圆心O与直线l上的点的最短连线.因此，半径OA与直线l垂直(根据垂线段最短).P切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。反证法证明切线的性质如图，直线l与⊙O相切于点A，求证：⊙O的半径OA与直线l垂直.证明：假设OA与l不垂直.过点O作一条直线垂直于l，垂足为P.则OP＜OA，即圆心到直线l的距离小于⊙O的半径，因此，l与⊙O相交.这与已知条件“直线l与⊙O相切”相矛盾；所以⊙O的半径OA与直线l垂直.l.OAP切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.∵直线l与⊙O相切于点A，∴OA⊥l几何符号表达：l.OA切线的性质：1.圆的切线和圆只有一个公共点.2.圆心到切线的距离等于半径.3.圆的切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.归纳总结l.OA知识点2切线的判定思考：若直线l过半径OA的外端点A,且l⊥OA，那么直线l是⊙O的切线吗？OAl（1）圆心O到直线

l的距离是多少？圆心O到直线l的距离d=半径r（2）直线l和⊙O有什么位置关系？相切OAl切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.∵OA是半径，OA⊥l于A∴l是⊙O的切线.几何符号表达：1.直线l经过半径r的外端点A.2.直线l

垂直于半径r.注意：r判断下列命题是否正确.⑴经过半径外端的直线是圆的切线.（）⑵垂直于半径的直线是圆的切线.（）⑶过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线.（）⑷和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（）⑸过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（）×利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可:(1)直线经过半径的外端；(2)直线与这半径垂直.××√√已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？l第一步：连接OA；第二步：过A点作OA的垂线l..O.A1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，直线与圆的相切.归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：OAlOAlOAldr3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径（即d=r）时，直线与圆相切.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.证明：连接OC.∵OA=OB，CA=CB，∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.∵OC是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线.OCA方法总结：有交点，连半径，证垂直.B证明：如图，连接OA，OB，OP.∵PA与⊙O相切于点A，∴PA⊥OA，即∠PAO=90°∵PA=PB,OA=OB,OP=OP∴△PAO≌△PBO.∴∠PBO=∠PAO=90°∴PB⊥OB.这样，PB经过⊙O的半径B的外端点B.并且垂直于半径OB，所以PB是⊙O的切线.

如图，AB是⊙O

的弦，PA是⊙O的切线，PA=PB.求证：PB是⊙O的切线.例2.OABP1.如图,AB是⊙O的直径,∠ABC=45°,AC=AB.求证：AC是⊙O的切线.【选自教材P152练习第1题】证明：∵AC=AB，∴∠C=∠ABC=45°，∴∠CAB=90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线AB.OC试一试2.如图，AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A，B是切点.

l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论.解：

l1∥l2.证明：∵直线l1，l2是⊙O的切线，∴AB⊥l1，∴AB⊥l2，∴

l1∥l2.AB.Ol2l1【选自教材P152练习第2题】3.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆相切，点P为切点.求证AP＝BP.

证明：连接OP.

∵AB切⊙O于点P，

∴OP⊥AB.

∴AP=BP(垂径定理).OABP【选自教材P152练习第3题】随堂练习1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于()A.24°B.25°C.28°D.30°C2.如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的半径为8cm，AB=10cm，则OA的长为

cm.3.如图，AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE是⊙O的切线,交AC的延长线于点E.求证：DE⊥AC.证明：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠EAD=∠DAO.又∵OA=OD.∴∠DAO=∠ODA.∴∠ODA=∠EAD.∴OD∥AC.又∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90°.∴∠E=90°.即DE⊥AC.4.如图，利用刻度尺和三角尺可以测量圆形工件的直径，说明其中的道理.解：因为两个三角尺的一条直角边与圆相切，另一条直角边在一条直线上，所以两条切线互相平行.则连接两切点之间的线段就是圆的直径，利用图中刻度尺就可以测量出圆形工件的直径.课堂小结切线的判定方法定义法数量关系判定定理→1个公共点→d=r,相切经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线→切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径→一、选择题(共10题，每题4分，共40分)1.如图，若☉

O

的半径为6，点

O

到某条直线的距离为6，则这条直线可

能是(

B

)A.

l1B.

l2C.

l3D.

l4第1题图B123456789101112131415161718【解析】∵☉

O

的半径为6，点

O

到某条直线的距离为6，∴这条直线与圆相切.∴这条直线可能是

l2.2.(衡水校联考模拟预测)如图，将正方形

AMNP

和正五边形

ABCDE

的中心

O

重合，按如图所示的位置放置，连接

OP

，

OE

，则∠

POE

＝(

A

)A.18°B.19°C.20°D.21°第2题图A123456789101112131415161718解析】如图，连接

OA

，∵点

O

是正五边形

ABCDE

和正方形

AMNP

的中心，

∴∠

POE

＝∠

AOP

－∠

AOE

＝90°－72°＝18°.1234567891011121314151617183.如图，∠

O

＝30°，

C

为

OB

上一点，且

OC

＝6，以点

C

为圆心，半径

为3的圆与

OA

的位置关系是(

C

)A.相离B.相交C.相切D.以上三种情况均有可能C123456789101112131415161718【解析】如图，过点

C

作

CD

⊥

AO

于点

D

，∵∠

O

＝30°，

OC

＝6，

∴以点

C

为圆心，半径为3的圆与

OA

的位置关系是相切.1234567891011121314151617184.一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边

形

ABCDEF

的中心

O

重合，且与边

AB

，

CD

相交于点

G

，

H

(如图).图

中阴影部分的面积记为

S

，三条线段

GB

，

BC

，

CH

的长度之和记为

l

，大正六边形在绕点

O

旋转过程中，下列说法正确的是(

D

)A.

S

变化，

l

不变B.

S

不变，

l

变化C.

S

变化，

l

变化D.

S

与

l

均不变第4题图D123456789101112131415161718【解析】如图，连接

OA

，

OC

.

∵∠

HOG

＝∠

AOC

＝120°，∠

OCH

＝∠

OAG

＝60°，∴∠

HOC

＝∠

GOA

.

∴△

OHC

≌△

OGA

(ASA).∴

AG

＝

CH

.

∴

S阴影＝

S四边形

OABC

＝定值，

l

＝

GB

＋

BC

＋

CH

＝

AG

＋

BG

＋

BC

＝2

BC

＝定值.1234567891011121314151617185.如图，正六边形

ABCDEF

的边长为2，现将它沿

AB

方向平移1个单位

长度，得到正六边形A'B'C'D'E'F'，则阴影部分A'BCDE'F'的面积是

(

B

)第5题图B123456789101112131415161718【解析】如图，连接A'E'，

BD

，过点F'作F'H⊥A'E'于点

H

，则四边形

A'E'DB是矩形，∵正六边形

ABCDEF

的边长为2，∠A'F'E'＝120°，∴∠F'A'E'＝30°.

∵将它沿

AB

方向平移1个单位长度，∴A'B＝1.

123456789101112131415161718

A.120°B.135°C.150°D.165°C123456789101112131415161718

1234567891011121314151617187.如图，☉

O

是△

ABC

的内切圆，若∠

A

＝70°，则∠

BOC

＝(

A

)A.125°B.115°C.100°D.130°第7题图A123456789101112131415161718

1234567891011121314151617188.如图，在等腰三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，把△

ABC

沿

EF

折叠，点

C

的对应点为点

O

，连接

AO

，使

AO

平分∠

BAC

，若∠

BAC

＝∠

CFE

＝

50°，则点

O

是(

B

)A.△

ABC

的内心B.△

ABC

的外心C.△

ABF

的内心D.△

ABF

的外心第8题图B123456789101112131415161718【解析】如图，连接

OB

，

OC

，∵

AB

＝

AC

，

AO

平分∠

BAC

，∴

AO

是

BC

的垂直平分线.∴

OB

＝

OC

.

∵∠

BAC

＝50°，

AO

平分∠

BAC

，∴∠

BAO

＝∠

CAO

＝25°.∵把△

ABC

沿

EF

折叠，点

C

的对应点为点

O

，∠

CFE

＝50°，∴

CF

＝

OF

，∠

OFE

＝∠

CFE

＝50°.∴∠

OFC

＝100°.123456789101112131415161718

∵

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝50°，

∴∠

OCA

＝∠

ACB

－∠

FCO

＝65°－40°＝25°，∴∠

CAO

＝∠

OCA

.

∴

OA

＝

OC

.

∴

OA

＝

OB

＝

OC

.

∴

O

是△

ABC

的外心.1234567891011121314151617189.如图，点

M

，

N

分别是正五边形

ABCDE

的边

BC

，

CD

上的点，且

BM

＝

CN

，

AM

交

BN

于点

P

，则∠

APN

的度数为(

D

)A.60°B.120°C.72°D.108°第9题图D123456789101112131415161718

12345678910111213141516171810.☉

O

是半径为1的圆，点

O

到直线

L

的距离为3，过直线

L

上的任一点

P

作☉

O

的切线，切点为

Q

；若以

PQ

为边作正方形

PQRS

，则正方形

PQRS

的面积最小为(

B

)A.7B.8C.9D.10第10题图B123456789101112131415161718【解析】如图，连接

OQ

，

OP

，作

OH

⊥

L

于点

H

，则

OH

＝3，∵

PQ

为☉

O

的切线，∴

OQ

⊥

PQ

.

当

OP

最小时，

PQ

最小，正方形

PQRS

的面积最小，当

OP

＝

OH

＝3时，

OP

最小，

123456789101112131415161718二、填空题(共4题，每题5分，共20分)

第11题图119

【解析】如图所示，在☉

O

上取一点

D

，连接

AD

，

BD

，∵∠

AOB

＝122°，

∵四边形

ADBC

是圆内接四边形，∴∠

ACB

＝180°－61°＝119°.12345678910111213141516171812.(邯郸校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，已知

C

(3，4)，以点

C

为圆心的圆与

y

轴相切.点

A

，

B

在

x

轴上，且

OA

＝

OB

.

点

P

为☉

C

上的动点，∠

APB

＝90°，则

OP

长度的最大值为

，此时

AB

长度为

⁠.第12题图8

16

123456789101112131415161718【解析】如图1，连接

CP

，

OC

，

OP

，∵已知

C

(3，4)，

又∵以点

C

为圆心的圆与

y

轴相切，∴☉

C

的半径为3，则

CP

＝3.123456789101112131415161718由三角形三边关系可知

OP

≤

CP

＋

OC

＝3＋5＝8，当点

P

在射线

OC

上

时取最大值，如图2，即

OP

长度的最大值为8，又∵

OA

＝

OB

，∠

APB

＝90°，则点

O

为Rt△

APB

斜边

AB

的中点，∴

AB

＝2

OP

.

∴当

OP

长度为最大值时，

AB

＝16.12345678910111213141516171813.如图，☉

O

经过

A

，

B

，

C

三点，

PA

，

PB

分别与☉

O

相切于

A

，

B

点，∠

P

＝46°，则∠

C

＝

⁠.67°

12345678910111213141516171814.(邢台校考期中)已知☉

O

的直径为8，点

P

在☉

O

内.若

OP

的长

为正整数，写出一个符合条件的

OP

的长度：

⁠.【解析】∵☉

O

的直径为8，∴半径为4.∵点

P

在☉

O

内，∴

OP

＜4.∵

OP

的长为正整数，∴

OP

长可能是3，2，1.3(答案不唯一)

123456789101112131415161718三、解答题(共4题，每题10分，共40分)15.如图，△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

D

是边

AB

上的一点，且∠

A

＝

2∠

DCB

，

E

是

BC

上的一点，以

EC

为直径的☉

O

经过点

D

.

(1)求证：

AB

是☉

O

的切线；(1)证明：如图1，连接

OD

，∵

OD

＝

OC

，∴∠

DCB

＝∠

ODC

.

又∵∠

DOB

为△

COD

的外角，123456789101112131415161718∴∠

DOB

＝∠

DCB

＋∠

ODC

＝2∠

DCB

.

又∵∠

A

＝2∠

DCB

，∴∠

A

＝∠

DOB

.

∵∠

ACB

＝90°，∴∠

A

＋∠

B

＝90°.∴∠

DOB

＋∠

B

＝90°.∴∠

BDO

＝90°.∴

OD

⊥

AB

.

又∵

D

在☉

O

上，∴

AB

是☉

O

的切线.123456789101112131415161718(2)若圆心

O

到弦

CD

的距离为1，∠

DCB

＝30°，求

BD

的长.(2)解：如图2，过点

O

作

OM

⊥

DC

，垂足为

M

，

123456789101112131415161718

123456789101112131415161718

12345678910111213141516171817.如图，点

C

是半圆

O

上一点(不与点

A

，

B

重合)，沿

BC

所在直线折

叠半圆

O

，使点

A

落在A'点处，A'B交半圆

O

于点

M

，

AB

＝2.(1)

M

到

AB

的最大距离为

⁠；1

123456789101112131415161718

(2)已知点

O

的对应点为点

M

，连接

AM

.

①求

AM

的长；②求阴影部分的面积；123456789101112131415161718

123456789101112131415161718

123456789101112131415161718(3)设A'B的中点为O'，若线段BO'与半圆

O

仅有一个公共点，求∠

ABC

的取值范围.【解析】(3)∵A'B的中点为O'，∴由(2)易得当0＜∠

ABC

＜30°时，满足条件.如图2，当BA'与半圆

O

相切时，线段BO'与半圆

O

仅有一个公共点，则∠ABA'＝90°，∴∠

ABC

＝45°.123456789101112131415161718当点

C

向点

B

靠近时，则∠

ABC

逐渐变大，当点

C

与

B

重合时，达到最

大值，此时∠

ABC

＝90°，∵点

C

与点

B

不重合，∴∠

ABC

的取值范围为0°＜∠

ABC

＜30°或45°≤∠

ABC

＜90°.12345678910111213141516171818.(邯郸校考二模)摩天轮(如图1)是游乐场中受欢迎的游乐设施之

一，它可以看作由一个大圆和六个全等的小圆组成(如图2)，大圆绕着

圆心

O

匀速旋转，小圆通过顶部挂点(如点

P

，

N

)均匀分布在大圆圆周

上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线(如

PQ

)