2019年全国二卷高考理科数学试题

2019年全国二卷高考理科数学试题考试时间：120分钟满分：100分一、单选题1.在2019年全国二卷高考理科数学试题中，以下哪个函数的图像是一个开口向上的抛物线？A.y=x²+2x+1B.y=-x²+2x-1C.y=x²-2x+1D.y=-x²-2x-12.2019年全国二卷高考理科数学试题中，若a、b、c是等差数列的前三项，且a+b+c=9，则该数列的公差是多少？A.1B.2C.3D.4A.f'(x)=3x²-6x+4B.f'(x)=3x²-6x-4C.f'(x)=3x²-6x+3D.f'(x)=3x²-6x-3A.3B.4C.5D.6A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=2A.5B.6C.7D.8A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)A.4B.5C.6D.7A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)A.2B.3C.4D.5二、多选题1.在2019年全国二卷高考理科数学试题中，下列哪些函数是奇函数？A.f(x)=x³B.f(x)=x²C.f(x)=sin(x)D.f(x)=cos(x)A.(0,1)B.(1,0)C.(1,1)D.(0,0)A.89B.99C.100D.101A.11B.14C.17D.20A.(2,0)B.(1,0)C.(3,0)D.(2,2)A.(1,0)B.(0,1)C.(2,1)D.(1,1)A.31B.32C.33D.34A.48B.96C.192D.384A.(0,-1)B.(0,1)C.(1,0)D.(0,0)A.x=1B.x=0C.y=1D.y=0三、填空题1.在2019年全国二卷高考理科数学试题中，若函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(1,-2)，则a的取值范围是______。2.2019年全国二卷高考理科数学试题中，已知等差数列an的首项为3，公差为2，则第10项an的值为______。3.在2019年全国二卷高考理科数学试题中，若复数z=2+3i，则|z|的值为______。4.2019年全国二卷高考理科数学试题中，若函数f(x)=x²-4x+3在区间[1,3]上的最大值为______。5.在2019年全国二卷高考理科数学试题中，若等比数列an的首项为2，公比为3，则第5项an的值为______。6.2019年全国二卷高考理科数学试题中，若函数f(x)=log2(x-1)+log2(x+1)的定义域为______。7.在2019年全国二卷高考理科数学试题中，若等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，则Sn=______。8.2019年全国二卷高考理科数学试题中，若复数z=1-i，则z的共轭复数为______。9.在2019年全国二卷高考理科数学试题中，若函数f(x)=x³-3x²+4x-1的导数为______。10.2019年全国二卷高考理科数学试题中，若函数f(x)=eˣ-x在区间[0,1]上的最小值为______。四、计算题1.已知函数f(x)=x³⁻³ˣ²⁺⁴ˣ⁺⁶，求f(x)的导数f'(x)。2.已知等差数列an的前n项和为Sn=3n²⁺²ⁿ，求该数列的通项公式a_n。3.已知圆的方程x²⁺y²⁻⁴ˣ⁻⁶y+9=0，求该圆的圆心坐标和半径。4.已知函数f(x)=1/x-1-1/x+1，求f(x)的定义域。5.已知数列an的通项公式为an=n/n+1，求该数列的前n项和S_n。6.已知函数f(x)=ln(x+1)-ln(x-1)，求f(x)的导数f'(x)。7.已知等比数列an的前n项和为Sn=2ⁿ⁻¹，求该数列的通项公式a_n。8.已知函数f(x)=x³⁻³ˣ²⁺⁴ˣ⁻¹，求f(x)的极值。9.已知函数f(x)=x²⁻¹/x-1，求f(x)的导数f'(x)。10.已知数列an的通项公式为an=2ⁿ⁻¹，求该数列的前n项和S_n。五、解答题1.已知函数f(x)=ln(x+1)-1/2x²，其中x>0，求函数f(x)的单调区间。2.已知等差数列an的前n项和为Sn=3n²⁺²ⁿ，求该数列的通项公式。3.已知圆C:(x-2)²⁺(y-3)²=16，求圆心C到直线2x+y-5=0的距离。4.已知函数f(x)=x³⁻³ˣ²⁺⁴ˣ，求函数f(x)的极值。5.已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1，求limnrightarrow∞an/2ⁿ。6.已知函数f(x)=x²⁻⁴/x-2，求函数f(x)的导数f'(x)。7.已知数列an满足a1=2，an+1=an²⁻²，求limnrightarrow∞an。8.已知函数f(x)=鈭?x²⁺¹)，求函数f(x)的导数f'(x)。9.已知数列an满足a1=1，an+1=an+2ⁿ，求limnrightarrow∞an/2ⁿ。10.已知函数f(x)=1/x²⁺¹，求函数f(x)的导数f'(x)。参考答案与解析单选题1.答案：A解析：抛物线的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a>0时开口向上，a<0时开口向下。选项A中a=1，大于0，所以是开口向上的抛物线。2.答案：B解析：等差数列的前三项分别为a、a+d、a+2d，其中d为公差。根据题意，a+(a+d)+(a+2d)=9，化简得3a+3d=9，即a+d=3。因此，公差d=3-a。2.答案：A解析：对f(x)求导，得到f'(x)=3x²-6x+4。2.答案：B解析：由题意知，S1=a1=2，S2=a1+a2=5，所以a2=5-2=3。因为an是等差数列，所以a3=a2+d，其中d为公差。由S2-S1=a2，得d=a2-a1=3-2=1。因此，a3=a2+d=3+1=4。2.答案：A解析：对f(x)求导，得到f'(x)=6x²-6x。令f'(x)=0，解得x=0或x=1。通过一阶导数的符号变化判断极值点，当x<0时，f'(x)<0；当0<x<1时，f'(x)>0；当x>1时，f'(x)<0。因此，x=-1是极小值点。2.答案：A解析：由题意知，S1=a1=3，S2=a1+a2=7，所以a2=7-3=4。因为an是等差数列，所以a3=a2+d，其中d为公差。由S2-S1=a2，得d=a2-a1=4-3=1。因此，a3=a2+d=4+1=5。2.答案：B解析：令f(x)=0，解得x²-4x+4=0，即(x-2)²=0，所以x=2。因此，f(x)的图像与x轴的交点为(2,0)。2.答案：C解析：由题意知，S1=a1=2，S2=a1+a2=6，所以a2=6-2=4。因为an是等差数列，所以a3=a2+d，其中d为公差。由S2-S1=a2，得d=a2-a1=4-2=2。因此，a3=a2+d=4+2=6。2.答案：B解析：函数f(x)=3x²-6x+3是一个开口向上的抛物线，其顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。代入a=3，b=-6，得到顶点坐标为(2,0)。2.答案：C解析：由题意知，S1=a1=1，S2=a1+a2=3，所以a2=3-1=2。因为an是等差数列，所以a3=a2+d，其中d为公差。由S2-S1=a2，得d=a2-a1=2-1=1。因此，a3=a2+d=2+1=3。多选题1.答案：AC解析：奇函数满足f(-x)=-f(x)，选项A和C满足此条件。1.答案：A解析：将x=0代入函数f(x)=2x+1，得到f(0)=1，所以交点坐标为(0,1)。1.答案：B解析：将n=10代入通项公式an=n²-1，得到a10=10²-1=99。1.答案：C解析：第5项an=a1+4d=2+4*3=14。1.答案：A解析：将f(x)=0代入函数f(x)=x²-4x+4，得到x²-4x+4=0，解得x=2，所以交点坐标为(2,0)。1.答案：A解析：函数f(x)=(x-1)²的顶点坐标为(1,0)。1.答案：A解析：将n=5代入通项公式an=2ⁿ-1，得到a5=2⁵-1=31。1.答案：C解析：第4项an=a1q³=32³=192。1.答案：A解析：将x=0代入函数f(x)=x³-3x²+3x-1，得到f(0)=-1，所以交点坐标为(0,-1)。1.答案：A解析：函数f(x)=(x-1)³的对称轴方程为x=1。填空题1.答案：a>0解析：函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上，说明a>0。顶点坐标为(1,-2)，代入得f(1)=a+b+c=-2，结合a>0，得a的取值范围为a>0。2.答案：21解析：等差数列an的首项为3，公差为2，第n项an=a1+(n-1)d，代入得an=3+(10-1)×2=21。3.答案：√13解析：复数z=2+3i的模|z|=√(2²+3²)=√13。4.答案：4解析：函数f(x)=x²-4x+3的对称轴为x=2，开口向上，所以在区间[1,3]上的最大值为f(2)=4。5.答案：162解析：等比数列an的首项为2，公比为3，第n项an=a1×r^(n-1)，代入得an=2×3^(5-1)=162。6.答案：(1,+∞)解析：函数f(x)=log2(x-1)+log2(x+1)的定义域为x-1>0且x+1>0，解得x>1，所以定义域为(1,+∞)。7.答案：n/2[2a1+(n-1)d]解析：等差数列an的前n项和为Sn=n/2[2a1+(n-1)d]，其中a1为首项，d为公差。8.答案：1+i解析：复数z=1-i的共轭复数为1+i。9.答案：3x²-6x+4解析：函数f(x)=x³-3x²+4x-1的导数为f'(x)=3x²-6x+4。10.答案：0解析：函数f(x)=eˣ-x在区间[0,1]上的最小值为f(0)=e⁰-0=1-0=0。计算题1.（1）f'(x)=3x²⁻⁶ˣ⁺⁴（2）f'(x)的零点为x=1和x=2/3（3）f'(x)在x=1处取得极大值，极大值为f'(1)=1解析：根据导数的定义，对f(x)求导得到f'(x)=3x²⁻⁶ˣ⁺⁴。然后，令f'(x)=0，解得x=1和x=2/3。最后，计算f'(1)和f'(2/3)的值，得到f'(1)=1和f'(2/3)=2/3，从而确定f'(x)在x=1处取得极大值，极大值为f'(1)=1。2.（1）a₁=5（2）a_n=3n+2解析：根据等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2，代入Sn=3n²⁺²ⁿ，得到3n²⁺²ⁿ=n(a1+an)/2。化简得a1+an=6n+4。由于a2-a1=a3-a2，即公差d=a2-a1=3，所以an=a1+(n-1)d=5+3(n-1)=3n+2。3.（1）圆心坐标为(2,3)（2）半径为r=2解析：将圆的方程x²⁺y²⁻⁴ˣ⁻⁶y+9=0配方，得到(x-2)²⁺(y-3)²=2²。由此可知，圆心坐标为(2,3)，半径为r=2。4.（1）f(x)的定义域为x|x≠1,x≠-1解析：由于分母不能为零，所以f(x)的定义域为x≠1和x≠-1，即x|x≠1,x≠-1。5.（1）S_n=n(n+1)/2(n+1)=n/2解析：根据数列的前n项和公式Sn=sumi=1ⁿai，代入an=n/n+1，得到Sn=sumi=1ⁿi/i+1=1/2+2/3+3/4+×s+n/n+1=n/2。6.（1）f'(x)=1/x+1-1/x-1=2/x²⁻¹解析：根据对数函数的求导法则，对f(x)=ln(x+1)-ln(x-1)求导得到f'(x)=1/x+1-1/x-1=2/x²⁻¹。7.（1）a₁=1（2）a_n=2ⁿ⁻¹解析：根据等比数列的前n项和公式Sn=a1(1-qⁿ)/1-q，代入Sn=2ⁿ⁻¹，得到2ⁿ⁻¹=a1(1-2ⁿ)/1-2。化简得a1=1。由于a2-a1=a3-a2，即公比q=2，所以an=2ⁿ⁻¹。8.（1）f(x)的极大值为f(1)=2（2）f(x)的极小值为f(2)=1解析：对f(x)=x³⁻³ˣ²⁺⁴ˣ⁻¹求导得到f'(x)=3x²⁻⁶ˣ⁺⁴。令f'(x)=0，解得x=1和x=2/3。计算f'(1)和f'(2/3)的值，得到f'(1)=2和f'(2/3)=2/3，从而确定f(x)在x=1处取得极大值，极大值为f(1)=2；在x=2/3处取得极小值，极小值为f(2/3)=1。9.（1）f'(x)=2x/(x-1)²解析：对f(x)=x²⁻¹/x-1求导得到f'(x)=2x/(x-1)²。10.（1）S_n=2ⁿ⁺¹-n-2解析：根据数列的前n项和公式Sn=sumi=1ⁿai，代入an=2ⁿ⁻¹，得到Sn=sumi=1ⁿ(2^i-1)=2+2²⁺²³⁺×s+2ⁿ⁻ⁿ=2ⁿ⁺¹-n-2。解答题1.（1）求出函数f(x)的导数f'(x)；（2）令f'(x)=0，解得x的值；（3）根据导数的正负，判断函数f(x)的单调性。解析：本题主要考查函数的单调性，需要求出函数的导数，并判断导数的正负。2.（1）根据等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+a_n)/2，列出方程；（2）将Sn=3n²⁺²ⁿ代入方程，解得a1和公差d；（3）根据a1和公差d，写出通项公式an。解析：本题主要考查等差数列的通项公式，需要根据前n项和公式列出方程，并解出a₁和公差d。3.（1）根据点到直线的距离公式d=|Ax0+By0+C|/鈭?A²⁺B²)，代入圆心坐标和