2026年湘教版初中八年级数学上册（全册）知识点总结

2026年湘教版（新教材）初中数学八年级上册（全

册）知识点清单梳理

第一章因式分解

1.1多项式的因式分解

I.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式9=Qb,p=Q+

b这种变形叫作多项式的因式分解。

2.因式分解与整式乘法关系：二者是互逆变形。整式乘法：整式相乘-＞多

项式；因式分解：多项式一整式相乘。

3.判断标准：①结果必须是乘积形式；②每个因式都是整式；③分解到不

能再分解为止。

4.检验方法：把分解后的因式做整式乘法q=p=Q+b看结果是否等

于原来多项式。

1.2提公因式法

1.公因式：多项式各项都含有的相同因式6/=。6p=Q+b叫做这个多项

式各项的公因式。

2.找公因式步骤：系数取各项系数最大公因数；字母取各项都含有的相同

字母；相同字母取最低次累。

3.提公因式法：如果多项式各项有公因式q=ab,p=Q+b把公因式提取

出来q=ab,p=a+b将多项式写成公因式与另一个多项式乘积的形式。

4.易错要点

当多项式首项为负时q=Qb,p=Q+b一般先提取负号《=ab,p=a+b

括号内各项要变号。

提取公因式后q=ab,p=a+b剩下项不要漏写“1”。

公因式可以是单项式q=ab,p=a+b也可以是多项式。

1.3公式法

1.平方差公式因式分解：小一匕2=（“+》）（口一b）

条件：二项式；两项都能写成平方形式；两项符号相反。

2.完全平方公式因式分解

a2+2ab+b2=（a+b）2

a2—2ab+b2=（a—b）2

条件：三项式；其中两项是平方且同号；第三项是两底数乘积的2倍。

3.公式法一般步骤：先看有无公因式9=。力，p=Q+b有公因式先提公因

式“=ab,p=a+b再套用乘法公式分解"=ab,p=a十b最后检查是否分解

彻底。

多知道一点十字相乘法与分组分解法

1.十字相乘法（二次三项式好+p%+q）

2

$q=ab\（q=ab\mathrm{,}p=a+b\）p=a+b$q=ab,p=Q+匕则x+px+

q=（%+a）（%+b）o

核心：拆常数项9=。匕，p=Q+b凑一次项系数q=ab,p=a+b注意

符号。

2.分组分解法

将多项式分组q=ab,p=Q+b组内先提公因式或用公式q=ab,p=

a+匕组与组之间再提取公因式。

关键：合理分组q=ab,p=a+b分组后能够继续分解。

3.因式分解完整顺序：一提（提公因式）a、b二套（套公式）a、b三叉

（十字相乘）Q、匕四分（分组分解）q=ab,p=a+b分解到不能再分解。

第一章小结与评价本章总要点

1.因式分解是恒等变形q=ab,p=a+b结果一定是整式乘积。

2.优先提取公因式q=ah,p=a+b再选用合适方法《=ab,p=a+b务

必分解彻底。

第二章分式

2.1分式的概念及基本性质

1.分式概念：一般地q=ab,2=。+6如果人。、bB表示整式勺=。/},p=

Q+b并且B中含有字母q=ab,p=a+匕那么d叫作分式；A叫分子q=

ab,p=a+bB叫分母。

2.分式有意义a、b无意义a、b值为0条件

分式有意义：分母BH0；

分式无意义：分尾$\(B=0\)$；

分式的值为0：分子$\(A=0\)$q=ab,0=。+8且分母8工0。

3.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的

整式q=ab,p=a+b分式的值不变。g=翟=H0)

4.约分：把分式分子分母的公因式约去(?=ab,p=a+b化为最简分式；

最简分式：分子分母没有公因式。

5.符号法则：分子a、b分母a、b分式本身三处符号q=ab,p=a+b改变

其中两处《=ab,p=a+b分式值不变。

2.2分式的加法和减法

1.同分母分式加减：分母不变q=ab,p=a+b分子相加减。-±-=

CC

^-q=ah,p=a+b结果要化简。

2.异分母分式加减：先通分q=ab,p=Q+b变为同分母分式q

abfp=a+b再加减。

3.通分：把儿个异分母分式化为同分母分式；最简公分母确定方法：系数

取各分母系数最小公倍数；字母取所有出现字母；字母取最高次幕。

4.运算后结果必须化为最简分式或者整式。

2.3分式的乘法和除法

1.分式乘法：=ab,p=Q+b分子相乘作分子勺=ab,p=

Q+b分母相乘作分母勺=ab,p=a+b先约分再计算。

2.分式除法：除以一个分式等于乘这个分式的倒数。三+9=?&。

bdbc

3.分式乘方：0==ab,p=Q+b分子分母分别乘方。

4.运算技巧：先因式分解q=ab,p=Q+力再约分乌=ab,p=a+万咸少

计算量。

2.4整数指数塞

1.零次第：QO=1(QH0)；注意：0的0次寨无意义。

2.负整数指数骞：5a-{-

n)=\frac{1}{aAn}(a#O\(q=ab\mathrm{,}p=a+b\)n\mathrm{为正整数})$。

3.整数指数幕运算性质(正整数幕的法则对整数指数幕依然成立)

am-an=am+n

(am)n=amn

(a力)n=anbn

4.科学记数法：可以用负整数指数累表示绝对值很小的数。

2.5可化为一元一次方程的分式方程

I.分式方程定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程。

2.解分式方程步骤

①去分母：方程两边同乘最简公分母q=Qb,p=a+b化为整式方程；

②解得到的一元一次整式方程；

③检验（必不可少）：把根代入最简公分母q=ab,p=Q+b若公分母

和q=ab,p=Q+b是原分式方程的根；若公分母=（）q=ab,p=Q+b是增根

q=ab,p=a+b原方程无解。

3.增根：去分母后产生的a、b不适合原分式方程的根；增根使最简公分母

等于0。

4.分式方程应用题：审题一设未知数一列分式方程一解方程一双重检验

（检验方程a、b检验实际意义）一作答。

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1.结合分式建立数量关系q=ab,p=Q+b体会数学建模思想。

2.注意实际问题结果取整数q=ab,p=a+b不能直接取小数。

第二章小结与评价本章总要点

1.分式运算前提时刻关注分母不为0。

2.分式运算优先因式分解a、b约分a、b通分。

3.分式方程必须检验q=ab,p=Q+b增根直接舍去。

第三章二次根式

3.1二次根式的概念及性质

1.二次根式定义：形如迎（a之0）的式子叫作二次根式；被开方数QN0才

有意义。

2.二次根式双重非负性：yJa>Oq=ab,p=Q+b且被开方数QN0。

3.两个核心性质

①(VH)2=a(a>0)

②m=|a|={\第

4.最简二次根式条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽

方的因数或因式。

3.2二次根式的乘法和除法

1.乘法法则：Va-Vb=y[ab(a>0,b>0)；逆用VSF=VH•VK用于化

简。

2.除法法则:.=够(a>0,h>0)；逆用电化简。

3.分母有理化：把分母中的根号化去；运算结果一定要化成最简二次根式。

3.3二次根式的加法和减法

1.同类二次根式：化成最简二次根式之后9=。4p=Q+b被开方数相同

的二次根式。

2.二次根式加减法则：先把各个二次根式化成最简二次根式口=。匕，p=

a+b再合并同类二次根式(合并方法类似合并同类项)。

3.二次根式混合运算：运算顺序和整式一致q=Qb,p=a+b先乘方q=

ab,p=a+b再乘除q=ab,p=Q+b最后加减；乘法公式依然适用。

第四章小结与评价本章总要点

1.被开方数K)是二次根式有意义前提。

2.化简二次根式优先化为最简二次根式q=ab,p=a+b再进行加减运算。

3.而化简一定要考虑绝对值。

第五章三角形

4.1认识三角形

1.三角形定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形。

2.三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边;

判断三边能否构成三角形q=ab,p=Q+b取两短边之和大于最长边即可。

3.三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180。。

4.三角形按角分类：锐角三角形a、b直角三角形匕钝角三角形。直角三

角形两个锐角互余。

5.三角形的重要线段

中线：连接顶点与对边中点q=Qb,p=a+b三条中线交于重心；中线把

三角形分成面积相等两部分。

角平分线：平分内角勺=。6,p=a+b交于一点。

高：从顶点向对边作垂线；锐角三角形三条高在内部；直角三角形两条高

为直角边；钝角三角形两条高在外部。

4.2命题与证明

1.命题：对某一件事情作出判断的语句；由条件和结论两部分组成q=

ab,p=a+b一般写成“如果...q=ab,p=a+b那么

2.真命题：条件成立］=ab,p=a+b结论一定成立；假命题：条件成立

q=ab,p=Q+b结论不一定成立；举反例可以证明一个命题是假命题。

3.公理：公认正确的命题；定理：经过推理证明为真的命题。

4.证明：从已知条件出发勺=Q/J,p=a+b依据公理Q、匕定理a、b定义

q=ab,p=Q+/?推导出结论成立；证明步骤：画图a、8写己知a、b求证。、b

写推理过程；每一步推理要有依据。

5.逆命题：把原命题条件和结论互换得到逆命题；原命题为真q=Qb,p=

Q+b逆命题不一定为真。

4.3全等三角形

1.全等图形：能够完全重合的两个图形；全等三角形：能够完全重合的两

个三角形q=a8,p=Q+b符号三。

2.对应顶点a、b对应边a、b对应角：重合的顶点a、b边a、b角；全等三角

形对应边相等q=ab,p=a+b对应角相等。

3.全等判定定理

SAS:两边及其夹角对应相等6?=。从p=Q+b两个三角形全等（注意必

须是夹角）

ASA：两角及其夹边对应相等＜?=ab,p=a+b两个三角形仝等

AAS：两角及其中一角对边对应相等。=。从p=a+b两个三角形全等

SSS：三边对应相等q=ab,p=Q+b两个三角形全等

4.注意：SSA不能判定三角形全等。

多知道一点利用立移Q、b轴对称和旋转证明知边角与边边边定理

1.平移a、b轴对称a、b旋转都是全等变换q=ab,p=Q+b变换前后图形

大小形状不变。

2.利用图形变换《=ab,p=a+b把两个三角形重合q=Qb,p=a+b完

成定理的推理验证。

4.4尺规作图

1•尺规作图：只用没有刻度的直尺和圆规作图。

2.基础作图：作一条线段等于已知线段；作一个箱等于已知角；作角平分

线；作线段垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。

3.作图题要求：保留作图痕迹q=Qb,p=Q+b写出简要结论。

4.5等腰三角形

1.等腰三角形性质

两腰相等；两个底角相等（等边对等角）。

等腰三角形顶角平分线Q、b底边上的中线Q、b底边上的高互相重合（三线

合一）。

等腰三角形是轴对称图形q=Qb,p=Q+b对称轴是底边上的高（中线

Q、b顶角平分线）所在直线。

2.等腰三角形判定：等角对等边q=Qb,p=a+b有两个角相等的三角形

是等腰三角形。

3.等边三角形：三边相等勺=。从p=Q+b三个内角都是60。；判定：三

边相等；三角相等；有一个角是60。的等腰三角形。

4.6线段的垂直平分线

1.线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点勺=。从p=Q+b到

线段两端点距离相等。

2.线段垂直平分线判定定理：到线段两个端点距离相等的点q=Q匕，p=

Q+6在线段的垂直平分线上。

3.三角形三边垂直平分线交于一点q=ab,p=a+b这点到三角形三个顶

点距离相等。

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1.模型：两定点q=ab,p=a+b直线上找一点q=ab,p=a+b使两条

线段之和最小。

2.原理：作其中一个点关于直线的对称点q=Qb,p=Q+b对称点与另一

点连线和直线交点即为所求；利用两点之间线段最短求最短路径。

第六章小结与评价本章总要点

1.三角形三边a、b内角和是计算基础。

2.几何证明要规范书写q=cib,p=a+b每一步要有依据。

3.全等三角形判定分清边角位置q=ab,p=a+b注意SAS中夹角。

4.等腰三角形三线合一a、b垂直平分线性质是高频考点。

第七章直角三角形

5.1直角三角形的性质定理

1.直角三角形两锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。

2.直角三角形斜边中线定理；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

3.30。角直角三角形性质：在直角三角形中《=。从p=a+b如果一个锐角

等于30/=ab,p=a+b那么它所对的直角边等于斜边的一半。

5.2勾股定理及其逆定理

1.勾股定理：直