专题03+选择填空中档题型：排列组合、二项式定理与数列（解析版）

专题03选择填空中档题型：排列组合、二项式定理与数列

一、单选题

1.（2023•北京朝阳•二模）已知数列｛q｝的前〃项和是2"-1，则%=（）

A.9B.16C.31D.33

【答案】B

【分析】设数列应｝的前〃项和为S”，根据%=Ss-S4即可求解.

【详解】设数列应｝的前〃项和为S“，则S"=2"-l,

则%=SLS4=（2J1）-（24_1）=16.

故选：B

2.（2023•北京丰台•统考二模）已知数列｛4｝的前〃项和为S.，若S“二〃、l,则％=（）

A.-5B.5C.7D.8

【答案】B

【分析】根据%=S.「S2计算可得.

【详解】因为邑=〃2-1,所以％=S3-S2=（32—1）—（22—1）=5.

故选:B

3.（2023•北京东城・统考二模）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、

冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（）

A.13种B.14种C.15种D.16种

【答案】C

【分析】分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果.

【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有C；=4种，

从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这囚味中药中选二种，有C=6种，

从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有C：=4种，

从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这囚味中药全选，有C：=l种,

所以从佩兰、冰片、「香、石苜蒲这四味中药中至少选一种，共有4+6+4+1=15种,

故选:C

4.（2023•北京房山・统考二模）已知等比数列｛凡｝的各项均为正数，｛q｝的前八项和为S”，若&=21,S2=9,

则4的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据已知条件列方程组来求得6.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为4（9>0）,

4+生+。3=21%=12］。［q2=12

则

4+%=94+生=9，［q+qq=9

两式相除得/L=33d-4g-4=0,解得4=2（负根舍去）,

\+q3

12

所以q=^=3.

故选：C

2I

5.（2023•北京东城•统考二模）已知数列｛4｝中,6=1,-----------=0,S。为其前〃项和，则1=()

A打

C.IID.31

16

【答案】B

【分析】由已知得到手=g,判定该数列为等比数列，进而利用求和公式计算.

【详解】由得手=；,又・・・4=1,・••数列｛%｝为首项为1,公比为）的等比数列,

°nq+1an22

故选:B

6.（2023•北京海淀•统考二模）已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，《=3,%-生=%，则S”的最大值为（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】B

【分析】设公差为d,根据等差数列的通项公式求出d,即可得到｛〃,,｝的通项公式，再令即可求出

s”的最大值.

【详解】设公差为d,因为q=3,6-生=。3，

所以q-(4+d)=q+2d,解得d=-l,

所以4=3+(〃-1)x(-1)=4-〃，令凡之0,解得〃44,

所以当〃=3或〃=4时S”取得最大值，且(S”L=3+2+l+0=6.

故选：B

7.(2023•北京海淀・统考二模)若(2-x)”(〃eN')的展开式中常数项为32,贝股?=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】利用二项展开式的通项，根据常数项为32,求〃.

【详解】(2-幻"(〃eZ)的展开式通项为九1=C：♦2"七(一域.

故常数项为7；=C>2"=32,得〃=5.

故选：A

8.(2023•北京西城・统考二模)某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%,其初始质量为〃?。，10年后的质

量为〃?'，则下列各数中与母最接近的是()

A.70%B.65%

C.60%D.55%

【答案】C

【分析】根据二项式定理即可估算近似值.

【详解】由题意可知

2310

〃?'=/%(1-5%)'"=>—=(1-5%)'°=I-C；ox0.05+xO.O5-x0.05++C；；xO.O5

tfIo

«l-0.5+45x0.052=61.25%

故选：C

9.(2023•北京昌平•统考二模)已知等比数列的前〃项和为界,则下列结论中一定成立的是()

A.若4>0,则$2“<。B.若4>0,则%>°

442

［详解］在(2x-I)=a4x++a2x+aKx+中,

令x=］得:q+%+。2+%+4=(2xl-1)4=1,

故答案为：I.

三、双空题

12.(2023•北京西城・统考二模)设等比数列｛q｝的前〃项和为S.,4=7,a2=-,则%=一；使

24IVA)

成立的〃的最小值为一.

【答案】L7

32

【分析】根据等比数列基本量的计算以及求和公式即可求解.

【详解】由4=；，得:q=；，

4一乙

if,1]

所以%=%(；)=点，故S,[=2]；=「奈

-2

9919911

故S”2得：1---2=力—=2"2100=”Nlog,100,

100IT100100T2

由于〃为整数，故〃的最小值为7,

故答案为：占；7.

32

13.(2023•北京朝阳•二模)已知(l+3x)”(〃wN*)的展开式中所有项的二项式系数的和为64,则〃=,

展开式中V的系数为.

【答案】6：5