专题04特殊三角形（难点）

专题04特殊三角形（难点）

一、单选题

1.下列说法正确的是（）

A.真命题的逆命题是真命题B.原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题

C.命题一定有逆命题D.定理一定有逆命题

【答案】C

【分析】根据命题、逆命题，真假命典的关系对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解析】解：A.真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误，不符合题意：

B.原命题是假命题，则它的逆命题不一定是假命题，故本选项错误，不符合题意；

C.命题一定有逆命题，故本选项正确，符合题意；

D.定理不一定有逆命题，故本选项错误，不符合题意：

故选：C.

【点睛】本题考行命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命即的真假关键

是要熟悉课本中的性质定理，也考查了逆命题，逆定理.

2.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为16cm,在容器内壁离容器底

部3cm的点4处有一饭粒，此时一只叫蚁正好在与点〃相对容器外壁，且离容器上沿3cm的点4处，则蚂

蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）

蚂虬1'、、

'B

A.20cmB.4715cmC.10cmD.2s/13cm

【答案】B

【分析】将容器侧面展开，作A关于£。的对称点4,连接H8,根据两点之间线段最短可知48的长度即

为所求，在Ra/8。中，根据勾股定理即可求出H8的长度.

【解析】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点

过/'作AD1AA交BC的延长线于D,

则四边形力是矩形，

A'D=EC,A'E=AE=CDt

连接48,则，8即为最短距离，

•.・高为12cm,底面周长为16cm,在容器内壁离容器底部3cm的点8处有一饭粒，

此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿女m与饭粒相对的点A处，

.•.HD=8(cm),8O=12-3+/£=12(cm),

在R\^ABD中，A'B=^A'D2+BD2=+122=4瓜cm).

故选：B.

【点睛】本题考查了平面展开一最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题

的关键.

3.如图，在小3。中，，48=/。，NB/C=54。，/B4C的平分线与祕的垂直平分线交于点O,将ZC沿

EF(E在BC上,产在力。上)折叠，点C与点。恰好重合，有如下五个结论：©AOIBCx@OD=OE；

③△。所是等边三角形；@AOEF包CEF；@ZOEF=54°.则上列说法中正确的个数是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】由等腰三角形的性质可得。5=OC，AO1BC,故①正确：由点E是动点，则OE的长不确定，

即0£工0。，故②错误，由折叠的性质可得OE=CE,0F=CF,/EOF=4ECF=63。，则力。“不是等边

三角形，故③错误，由“SSS”可证AOM%CM,故④正确；由全等三角形的性质和三角形内角和定理可

求NOEF=54°,故⑤正确：即可求解.

【解析】解：如图，连接。5、OC,

QZ3AC=54°,40为/历1C的平分线，

/.ZBA0=-ZBAC=-x5干=27，

22

又AB=AC,

/.ZABC=1(1800-Z5JC)=1(180°-54。)=63°=Z.ACB,

•♦・。。是的垂直平分线，

..OA=OB,

/.£ABO=Z.BAO=2T,

Z.0BC=4ABe-Z.ABO=6下-27=36.

•・•力。为/%1C的平分线，AB=AC,

:.OB=OC,AO1BC,故①正确；

:,Z0CB=Z0BC=36,

•.・将NC沿£尸(E在8c上，尸在力。上)折直，点C与点。恰好重合,

OE=CE,OF=CF,NEOF=NECF=63。，

.•.V£OF不是等边三角形，故③错误：

在△。所和ACM中，

OF=CF

■EF=EF,

OE=CE

..AOEF^CEF(SSS),故④正确：

/.Z.COE=Z.OCB=36,Z.OEF=ZCEF,

在△OCE中，^OEC=180°-ZCOE-ZOCB=18(f-360-36°=108°,

.•.NO月产=54°,故⑤正确：

•・•根据现有条件无法确定0E、。。是否相等，

..OEwOD,故②错误，

故选：B.

【点睛】本题考兖了翻折变换，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线

合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰

三角形是解题的关键.

4.如图，在第1个△4"。中，NA-30。，AB=CB,在边力/上任取•点D,延长到4,使44・4。，

得到第2个44。，在边4。上任取一点£,延长44到43,使=得到第3个△^4〃，.•・按

此做法继续下去，则第2021个三角形中以402n为顶点的底角度数是()

(1V020

B.6.65。

D.成心

【答案】A

【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得NA%。的度数，再由三角形外角的性质及等腰三

角形的性质分别求出NE1M，/尸44的度数，找出规律即可求解.

【解析】解：•.•4=30。，%B=CB,

...NB4c=ix(180°-30°)=75°:

・/44=AD9

ZDA,At=1N84c=1x75°,

同理得：Z-EAyAz=x7¥,ZFA4A3=1z£J3J2=(g)x750,…，

n-\

•般地，第〃个等腰三角形的底角的度数是(;)

x75°,

.•.第2021个等腰三角形的底角度数是GJx750=x75°,

故选：A.

【点睛】本题考查r图形和数式规律探究，等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角的性质等知

识，找出规律是解题的关键.

5.如图，“BC中,Z5/1C=90°,AB=AC.8W是/1C边的中线，有4JJ.：垂足为点E交8C于点

D.二AH平分NBAC交BM于N.交BC于H.连接0M.则下列结论：

®ZAMB=ZCMD；②HN=HD；③BN=AD；（4）ABNH=ZMDC；错误的有（）个.

【答案】A

【分析】如图，过点C作KC_L。交AD的延长线于K,首先根据等腰直柏三角形的性质证明"HN且"HD,

得到HN=HD,BN=AD,ZBNH=/ADH=/CDK,可判断②③王确，然后利用同角的余角相等得到

/n8M=Z.CAK,进而证明“BMaCAK,得到NAMB=NK,AM=CK=CM,然后证明KDM知CDK,

得到NCQK=NCDW,NK=NCMD,等量代换可得N4W8=NCMO,ZBNH=4MDC,可判断①④正

确.

【解析】如图，过点C作KC_LC4交/。的延长线于K.

vAB=AC,ZBAC=90°,4H平分/氏1C,

：.AHIBC,BH=CH,

AH=BH=CH,

ADLBM,

Z.BHN=，AEN=NAHD=90°,

•;4BNH=ZANE,

:"HBN=Z.DAH,

：ABHN知AHD(ASA),

:.HN=DH,BN=AD,NBNH=AADH=ZCDK,故②③正确，

/84W=N/CK=90°,

Z.BAE+Z.CAK-90°,

NB/1E+4BM=90°,

4BM=Z.CAK

AB=AC,

:.“BM知CAK(ASA),

，4MB=NK,AM=CK=CM,

•;ZDCM=4DCK=450,CD=CD,

:.ACDM⑶CDK(SAS),

:"CDK=/CDM,4K=4CMD,

:.NAMB=/CMD,4BNH=4MDC,故①④正确.

故选:A.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质笔知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

6.如图，在RtZi"C中，N84C=90。，AC:BC=7A0,。和/4CZ)的角平分线相交于点。，过点

。作8。的垂线，交。延长线于点E,连接力。，若△3CO的面积为6,下列结论：®AC=AB；

Ix

②/£曾。=135。；③4)平分N84C；④S△,=不，其中正确的有几个.()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】由4C：8C=7:10可判定①不正确：根据N84C=90。，N/8C和N/C3的角平分线相交于点。，

可得N8OC=135。，而£7518。，即得NEOC=135。，故②正确：由//8C和N/1C8的角平分线相交于点

D,知。是“8C的内心，可判定③正确；由A8CD四&ECD,得S.Be=SsEe=6,又C。平分N/1C8，

AC:BC=7:lOf可得S“m=£,即可判定④不正确.

【解析】\AC:BC=7:101

AAC=^BC,AB=yjBC2-AC2==^BC2BC^BC

•••①不正确：

vZ.BAC=90°,

/.ZABC+ZACH=90°,

•；4BC和ZACB的角平分线相交于点D,

4DBC+NDCB=-ZJ5C+-Z/1C5=-x90°=45°,

222

.•.Z2?DC=180°-(ZD5C+ZDC5)=135°,

ED1BD,

：.N8DE=90°,

:"EDC=360。-NBDC-NBDE=135°,故②正确：

•；4BC和NACB的角平分线相交于点D,三条角平分线交于同一点

.•.力。平分/加C,故③正确；

•/ZWC=ZEDC=135°,CD=CD,，ECD=ZBCD,

：・ABCDMECD,

S.BCD=S.EC/J=6，

•.•CD平分//C3,JC:BC=7:10,

.S/CD_7

,•二一而‘

.«-21

■'L/C“-5，

2j9

・♦•S“ED=SQD-S“CD=6-丁=W，故④不正确：

综上所述，正确的有②③

故选：B.

【点睛】本题考查三角形的综合应用，涉及三角形的内心、三角形面积、三角形全等的判定及性质等知识,

解题的关键是从图中找出并证明

7.如图，在。中，ZC=90°,44=30]AB=6,E,F是斜边的三等分点，点P从点/出发，

沿线段/CfC8移动，移动到点4停止，连接尸£PF,若PE+PF=5,则这样的点。有（）

【答案】B

【分析】由题意知，分点P在线段力。上和P在线段8c上两种情况求蟀：①当点P在线段力C上，求出

PE+P尸的最小值，然后分别计算尸与4。重合时尸£+尸产的值，然后判断即可；②当P在线段8C上，求

出PE+尸”的最小值大于5,即不满足要求，然后进行判断作答即可.

【解析】解：由题意知，AE=EF=FB=g/lB=2,BC=^AB=3,

由勾股定理得，AC=\IAB2-BC2=3x/3»

由题意知，分①点P在线段力。上，②点P在线段8C上两种情况求解：

①当点P在线段4C上，如图1,作后关于4C的对称点E',连接E'F,交AC于P,连接PE,PF,则PE'=PE,

图1

APE+PF=PE,+PF,此时E户最小,

如图1,过E'作于〃，

V"=90。4=30。，

・•・乙4EE'=6伊，NEE'H=3伊，

是等边二:角形,

:・EE'=AE=2,HE=-EE'=\,HF=HE+EF=3,

2

由勾股定理得E'F=ylEE,2-HF2=2行，

V2石<5,

：.PE+PF的最小值E'F的值为2G，

当尸与A至合时，PE+PF=2+4=6>5,

・••当点尸在八尸上运动时，存在•点、F使PE+PF=5,

当P与C重合时，如图2,过C作于M,

图2

VS4彳爪.=-2ACxBC=2-ABxCM,

.•・:)<3QX3=QX6XCM,解得CM=2，

222

由勾股定理得，BM=4BC'-CM'=+，

:,FM=FB-BM=LEM=EF+FM="

22

由勾股定理得，CF="M2+FM2="，CE=>JCM2+EM2=V13»

:,CE+CF=A+后>3+2=5，

・•・当点尸在尸。上运动时，存在一点P使PE+PF=5,

综上，点尸在/C上运动时，存在2个点尸使PE+用=5；

②当尸在线段8C匕如图3,作了关于8c的对称点尸，连接尸尸交8c于G,连接*•'交8c于P,连

接PF,则PF'=PF,

c

图3

：.PE+PF=PE+PFf,此时所'最小，

如图3,过户作的延长线于N,

VZC=90°,ZJ=30°,

:.Z.ABC=60°,

:.ZBFF'=30°,

:.BG=-FB=\

2t

由勾股定理得，FG=JFB?-BG?=行，

:・F'G=FG=&，FFS,FN=；FF=曰

由勾股定理得列V=+尸尸=3，则EN=E”+FN=5,

•'EF'=>1EN?+FN=2">5，

*/PE+P尸的最小值EF'的值大于5.

・♦•点尸在8c上运动时，不存在点P使PE+PF=5；

综上所述，共有2个点。使庄+小=5；

故选：B.

【点睛】本题考查了含30。的直角三角形，轴对称，两点之间线段最短，勾股定理，等边三角形的判定与性

质等知识.解题的关键在于分情况并灵活运用知识进行求解.

8.如图，“3c中，MW是边4c的垂直平分线，交48于G,过点/作厂E_L48于点E,加'平

分NDAB交MN于F,连接8尸，CF.下列结论：

①FB=FC②FB+FOAB+AC③AB-AC=2AE④NBFC=Z1BAC.其中正确的结论是（）

C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到用=%：过点F作FHJ.4c丁点〃,证明△/8£94尸。〃，得

到8E=C〃，结合力产平分ND48,得到用=?〃，继而力E=X〃，可证明/8-4。=2/E：利用斜边大

于直角边，证明必利用等腰三角形的性质，全等三角形的性质，结合三角形内角和定理

证明.

【解析】•・・MN是边8c的垂直平分线,

:.FB=FC；

故①正确；

过点少作于点)

・.•//平分/。力8,FELAB,HILAC,

：.FE=FH,

••FA=F4

・[FE=FH，

：.AEAH^FAE(HL),

/.AE=AH,

[FB=FC

・\FE^FH*

・•.”'BEGAFCH(HL),

；・乙FBE=4FCH,BE=CH,

•.A3-AC=BE+AE-(CH-AH)=BE+AE-BE+AH=2AEt

故③正确：

VFB>BE,FOCH,

:・FB+FC>BE+CH,

：.FB+FOAB-AE+AC+AH,

:・FB+FOAB+AC,

故②正确；

,/ZBFC=1800-NFBC-ZFCB,Z5JC=180°-乙IBC-/ACB,

：.ZBAC=1800-Z.FBC+Z.FBE-Z.FCB-Z.FCH=1800-Z.FBC-ZFCB,

・•・NBFC=NBAC,

故④正确：

故选D.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，

线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，直

角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质是解题的关键.

9.如图，△48。和都是等边三角形，连接CQ、8E相交于点A7,空接8C、.®^ABE^AADC；

@AE//BC,③N8MC=120。；④4W平分/DUE.其中正确的有（）个.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】c

【分析】可证/£>14=NC71Z),从而可证△z/BEg/S/OC(SAS),进而可求N8D"+/。8M=1：)。,即可判

断①③：过A作4GJ.OC'交于G,作/〃_L8£交于〃，可证彳G=4〃，即可判断④；当。A、E在

一条直线上时，可判断②；即可求解.

【解析】解：•」和△4EC都是等边三角形，

AD=AB,AC=AE,

Z.CAE-/BAD-乙40D-60°,

ZCAE+NBAC=/BAD+ABAC,

即：4EAB=/CAD,

在"BE和△XQC中

AB=AD

ZEAB=ZCAD,

AE=AC

■■AJ5£^A/1DC(SAS),

"BE=NADC,

•••40C+N40C=60。，

乙4BE+NBDC=6O0,

・•./ABE+Z.BDC+NABD=120°,

即：NBDM+NDBM=120。,

：./BMC=乙BDM+CDBM=120°,

故①③都正确：

如图，过A作力G10C'交于G,作4H工BE交于H,

D

△ABEWAADC,

；.AG=A"，

：.AM平分4DME,

故④正确；

如图，当。、A、£在一条直线上时,

此时满足已知条件，但NE与8c显然不平行，故③错误：

故选：C.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的

关键.

10.如图，在中，"C和//C8的平分线相交于点尸，过点尸作EF〃3C交48于点E,交/1C于

点、F，过点尸作力。于点。，下列四个结论中正确的结论有（）

②NB尸C=1800—N/1；

③点P到△月反?各边的距离相等：

④设尸。=〃?，AE+AF=n,则=

A.①②③B.®®®C.©®®D.③④

【答案】C

【分析】由在AJ8C'中，N/4C和//C3的平分线相交于点「，根据角平分线的定义与三角形内角和定理,

即可求得②/8PC=90°+；N力错误；由平行线的性质和角平分线的定义得出尸和ACQ是等腰三角形

得出EF=8E+CF故①正确：由角平分线的性质得出点。到“8C各边的距离相等，故③正确：由角平分

线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设叩=小，AE+AF=n,则&心=S^+S“M=，〃，故

④正确.

【解析】解：在JBC中，和/4C3的平分线相交于点尸，

:.NPBC==/ABC,/PCB=L/4CB..NA+/4BC+NACB=180,

22

/PBC+4PCB=90°—ZJ,

2

ZBPC=18(r-(^PBC+/.PCB)=9(r+X/J：故②错误：

在“8C中，N/18。和N/C8的平分线相交于点产，

:./PBC-/PBE,Z.VCB-Z.VCF,

vEFIIBC,

:"PBC=/EPB,NPCB=4FPC,

:.NEPB=NPBE,ZFPC=ZPCF,

:.BE=PE,CF=PF,

;.EF=PE+PF=BE+CF,故①正确；

过点尸作PM_L于A/,作/W18c于N,

在“8C中，和/4C7?的平分线相交于点尸，

PN=PD=PM=m,

：.S」EF=S.APK+SJPF=；AE.PM+^AFPD=*D.0E+U>*〃：故④正确；

在“8C中，/48c和N/C8的平分线相交于点尸，

点尸到各边的距离相等，故③正确，

故选：C.

【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性

质等知识，此题难度适中，解题的关键是添加适当的辅助线，注意数形结合思想的应用.

二、填空题

11.如图，RtZ\"C中，NC=90。，AC=BC=6,AB=6桓,将RtA/IBC折段，使得点。恰好落在/出

边上的点£出，折痕为力。，。为折痕力。上一动点，则△PE8周长的最小值是.

A

PE

ti_.„V.__4

CDB

【答案】6五

【分析】根据"OE由48沿/。对称，得到/E=4C,进而表示出PB+PE=PB+PC3BC,最后求△尸跖

周长即可.

【解析】AAOE由A/iC。沿4。对称得到，

则E与。关于直线4。对称，

AE=AC=6,

:.BE=AB-AE=6ji-6,

如图，连接FC，

由题意得〃C=PF,

:.PB+PE=PB+PCNBC=6,

当户在8c边上，即D点时PB+PE取得最小值6,

：・/EB周长为PE+PB+BE,最小慎为6也-6+6=66.

故答案为：6应.

【点睛】本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键.

12.如图，在“8。中，NC=90。，8c=16cm,/8=20cm,点E是8C的中点，动点尸从A点出发以每

秒1cm的速度沿力fCr8运动.设点P运动的时间是/秒，那么当，=秒，V/0E的面枳等于12cm2.

A

CEB

【答案】3或18或22

【分析】分当点尸在线段彳。上运动时，当点尸在线段8C上运动且在点£的左边时，当点尸在线段8c上运

动且在点E的右边时，三种情况讨论，根据V/PE的面积等于12cm2,计算点尸的运动路程，求出/的值即

可.

【解析】解：VZC=90°,8c=l6cm,AB=20cm,

•*-AC=yjAB2-BC2=V202+162=12cm，

•••点E是4c的中点，

CE=RE=—HC=8cm»

2

当点P在线段AC上运动时，

•••V.4PE的面积等于12,

AP=12x2+8=3cm,

.•・/=3。1=3（秒）：

当点p在线段BC上运动n.在点E的左边时，

EP=12x2+12=2cm,

・••点P的运动路程=/C+CE-£P=12+8-2=18cm,

Ar=18^-1=18（秒）：

当点尸在线段8。上运动且在点£的右边时，

£P=12x2+12=2cm,

・••点尸的运动路程=/IC+C£+EP=12+8+2=22cm,

A=22+1=22（秒）.

故答案为：3或18或22.

【点睛】本题主要考查了三角形的面枳公式的运用、勾股定理等，根据点的运动位置分类讨论是解题的关

键.

13.如图1,将•条两边互相平行的纸袋折叠.

（1）若图中a=70。，则尸=。；

（2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的C。边与C8边重合（如图2）,若继续沿C8边折叠，CE边

图1图2

【答案】5545

【分析】（1）根据平行线和折登的性质即可求解；

（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的N4CE都相等，而这四个角的和为180。，

故每个角为45。，从而可知N4C3=9。。，再由（1）的思路可得尸的值.

【解析】（1）根据上下边互相平行可知，以=7伊.

由折叠的性质可知如D+2^=180°,

・・・/=55°.

故答案为：55；

（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等，

根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的/4CE都相等，而这四个角的和为180。，故每个角为

45°,

AZ4CB=90°,即a=90°,

由（1）同理可得：^=1X（I8（F-90°I=45°.

故答案为：45.

【点睛】本题考查折穆的性质，平行线的性质，角平分线的有关计算.利用数形结合的思想是解题关犍.

14.如图，Rt△4C8中,ZJC5=90S的角平分线40,8E相交于点尸，过尸作，尸_1力。交8C的

延长线于点尸，交力。于点〃，则下列结论：①乙”8=135。；②PF=PA；③AH+BD=AB；④连接

DE，S科边形/B跳=治“".其中正确的是.（填序号）

A

【答案】①②③④

【分析】根据直角三角形两锐角互余可得NC48+NC"4=90。，再根据角平分线的定义可得

/BAD+NABE=45°,根据三角形内角和定理则可判断结论①：证明△力但"BP(ASA),可判断结论

②：证明△/^“妾△FPO(ASA),可判断结论③：连接HO,ED,证明结合全等的性质可得

」：=

SPH=SMD,Sa®=S4F8P，S^PD,最后根据边形抽血=Sfp+S&即+S^Epl)+S^pBn进行怛等变换

后即可判断结论④.

【解析】解：在“8C中，4c8=90。，

/.NC43+NC历1=90°,

又,：AD、分别平分N84C、/ABC,

：./BAD+NABE=^(Z.CAB+/C44)=；x90°=45°,

4ABE=NCBE,NBAD=NCAD,

：.N.4PB=180°-(/BAD+N48E)=180°-45°=135°,故结论①正确；

ZBPD=180。-/APB=1800-l35。=45°,

又•：PFA.AD,

・•.NFPA=NFPD=9Q0,

・•・NFPB=Z.FPD+4BPD=900+45°=135°,

:.乙4PB=Z.FPB,

在“BP和△尸8P中，

4ABP=/FBP

«BP=BP,

4APB=/FPB

:,NBAP=NBFP,AB=FB,PA=PF,故结论②正确:

:.NPAH=NBAP=NPFD,

在VHP〃和△尸尸。中，

NP4H=/PFD

PA=PF,

NAPH=NFPD

・•.Z^PH^AFPD(ASA),

：・AH=FD,PH=PD,

：.A8=FB=FD+BD=AH+BD,故结论③正确;

连接“Q,ED,

■:4ABP安4FBP,△APgAFPD,PH=PD,

••SjBP=S"8P»S»PH=S'即0,

VZHPD=90°,PH=PD,

/.Z.TOP=3Hp=45c=MPD,

：.HD//EP,

,,S«EPH=S&EPD，

=

•*•斑形ABDESgBP+ShAEP+SAEPD+S4PBD

=S\ABP+SAFp+S\EPHHS\PBD

="4W+SdAfH+

=S'AJBP+(S^FPD+S&PBD)

-c+q

-°AARP十»aFHP

~S2BP+S^ABP

=2S,w故结论④正确.

故答案为：①②③④.

A

【点睹】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，，等边对等角，平

行线的判定等知识点.证明三角形全等是解题的关键.

15.如图，/5C中，ZJ=30°,ZJC^=90°,5C=6,点。是边力。上的动点，连接。4,以DB为边在DB

的左下方作等边连接CE,则点。在运动过程中，线段CE长度的最小值是,

【答案】3

【分析】如图，取的中点0,连接。0,尸。，由AEBC&PRQ,推出EC=PQ,推出当。尸14C时，PQ

最小，此时EC的值最小.

【解析】解：如图，取48的中点连接C。/。,

N4C8=90°,N/l=30°,

AZC52=60°,AB=2BC=\2f

■:BQ=AQ,

：.CQ=BQ=AQ=6,

・•.△BC。是等边三角形，

.・.BC=BQ,

•：NPBE=NCBQ=60°,

・•・4EBC=ZPBQ,

•:EB=PB,CB=QB,

AM"△040(SAS),

：,EC=PQ,

・••当QPJ./1C时，尸。最小，此时EC的值最小，

在RtZ\4。尸中，；/0=6,4=30。，

・•・P0=g/Q=3,

••・CE的最小值为3.

故答案为：3

【点睛】本题旋转的性质，考杳全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角

的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等二:角形解决问题，学会用转化的思想思考问

题.

16.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了"赵爽弦图将两个"赵爽弦图"(如

图1)中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNP。，记空隙处正方形48。。，正

方形EPG”的面积分别为工，S2(S1>SJ，则下列四个判断：①»+£=；%边物加。②QG=24"：③若

N£W/=30。，则B=3S”④若点力是线段G厂的中点，贝ij3s广4邑，其中正确的序号是

图1图2

【答案】①②③

【分析】设“赵爽弦图"中，直角三角形的较短直角边为。，较长直角边为人斜边为c,则小正方形的边长

为b-a,正方形48。的边长为b,正方形EFG”的边长为明正方形MNP。的边长为2c,由正方形面积

公式，勾股定理逐项进行判断即可.

【解析】设"赵爽弦图"中，直角三角形的较短直角边为。，较长直角边为人斜边为J则小正方形的边长

为b-a,正方形的边长为b,正方形EFG〃的边长为。，正方形MMP。的边长为2c,

22=(2C)?=4C2.

・，.S}=b,S2=a,Syq边形MM型

2

St+S2=a~+b'=c.

¥+S[=[S四边般w,、,废•

故①正确：

AF=b-af

AU=PG-A卜=a—(b—a)=2a-b.

：.DG=AD-AG=b-(2a-b)=2(b-a).

:.DG=2AF.

故②正确；

•:NEM“=30。,ZMHE=9/,

:・MH=6HE.

即h=£a.

b2=3a2•

/.S]=3S2.

故③正确；

•.•点力是线段GF的中点，

:.AG=AF.

2a-b=b-a.

/.2b=3a.

・•.4b2=9a2.

：.45,=9S2.

故④不正确：

故答案是①②③.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图"中，直角三角形的较短直角边为。，

较长直角边为力，斜边为%用MAC表示出相关线段的长度，从而解决问题.

17.如图，&48C中，/4力。=90。，AB=AC,AD1BC,垂足是。，4E平分/8月。，交BC于点、E.在

“8C外有一点尸，使FCLBC.在上取一点使BM=2DE,连接A/C交/ID于点N,

连接ME.①BE=CF；②③BD=ME+DN:④丝=芸.其中正确的结论有：_____.〔只

EDAD

填序号)

【答案】①②③④

【分析】①通过角的转换和等腰直角三角形的性质，得到/84T=NC4/和/8=/尸。力，从而4S/f证明

△ABF知ACF,根据全等三角形对应边相等得到结论；②过£点作EG_L48于点G,通过证明EG是8M

的垂直平分线就易得出结论：③通过证明即且用△屈"C和△/IDEgACON来证明结论；④过点N作

NG_L4c于点G,根据角平分线的性质得出NQ=NG,根据S“代=S/庭，即可得出结论.

【解析】①丁N历iC=9(r,AF±AE,

：.Zl+ZE/lC=90o,

N2+NE/C=90。，

/.Z1=Z2,

又二FB—

・•・/B=4C3=45°.

■:FC1BC,

/.ZFCA=90°-ZACB=90°-45°=45°,

:.=ZFCA,

；.△J5E^AJCF(ASA),

：.BE=CFx故①正确

②过E作£G_L/18于点G.

,/25=45°,

・•.AGBE是等腰直角三角形，

:・BG=EG,Z3=45°,

VADIBC,/E平分/历IO,

:.EG=ED,

:.BG=ED,

■:BM=2ED,

・•・BM=2BG,即G是BM的中点，

EG是阴/的垂直平分线，

:・EB=EM,

Z4-Z3-45°,

AZMEB=Z4+Z3=45°+45°=90°,即故②正确:

（3）VAD1BC,MELBC

・•・ME//AD,

Z5=Z6,

VZ1=Z5,

・•・Z1=Z6,

/.AM=EM,

,:MC=MC,

：.RlAJ.WC^RtAEMCfHL）,

・•・N7=N8,

VZFJC=90°,AB=AC,:・ZACB=ZB=45。,

VADIBC,AZBAD=ZB=45°,

：.Z5=Z7=22.5°,AD=CD,

;乙4DE=ZCDN=90°,：.△ADE94CDN（ASA）,

:.DE=DN.

:,BD=BE+ED=ME+ND,故③正确：

A

④如图所示，过点N作NGJ_力C于点G,

A

VZ7=Z8,ND1DC,

:・ND=NG,

又•:ON=ED,

:.NG=ED,

VA3=AC,

/.S.FC=S’ANC=LexNG=—ABxED,

A/IrUA/IAA.22

：.AN=AD-ND=BD-ED=BE=CF,AN//CF,

••SMPC=SdAD匚，

'：S.Rr=-BExAD,

A3xED=BExAD,

刖BEAB

EDAD

故答案为：①②③④.

【点睛】本题考查了全等三角形的性贵与判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角

形的性质与判定是解题的关键.

18.如图，在AEPG中，/EG产=90。，EG="G,点。为/G延长线上一点，延长G"至点8,使GD=8F,

连接£8、ED.过点尸作8G的垂线，过点G作的E8垂线交£8于点C,交EF于点H,两条垂线相交于

点4连接£4、AB.DH.下列结论中正确的是.（请填写序号）

①怎=月尸：②当//£8=10。时，4GE=35。：③BF+GH=AH；④=S目过形的“；⑤若£G=/,

4

BE=4>力尸=，则=6:25.

【答案】①②④

【分析】证明△EG/1%GEB,即可判断①；根据等边对等角有/EFG=NFEG=4父，结合垂直的定义可判

断②：先证明△〃/。且△，/<4,即有4〃="。，在△，GD中,HG+GD>HD,据此进而可判断③：根据

AFGA=AGEB,有S.FGA=S.GEB»根据Sw=+\fM<；,$,由=++^^EHG»可得

S&AFH=SJ8EF+S^EHG，结合其£0c=，"J得=SqE0G+S»£"G=S"边彩布例，故可判断④：利用勾股定

理可得，进而有则可得,根据

BG=\lBE?-EG?=3,2GD=BF=BG-FG=0.8,SABFF

S.、BEG=；XBGXEG=：*BEXCG,可得CG，根据△EG/igcGEB，可得G/=E5=4，进而有40=2.08，

即可得S“肱，据此可判断⑤.

【解析】•・•在△斯G中，NEGF=90。,EG=FG,

：./EGA+NFGA=9(?,Z.EFG=NFEG=45°,

VAG1.BE,AFA.BG,

：.ZGC£=90°,ZJFG=90°r

/./EGA+NBEG=9。。,

:.NFGA=/BEG,

■:ZAFG=9G°=NBGE,EG=FG,

：.AFGAWAGEB,

：.GB=AF,故①正确：

Z.EFG=Z.FEG=45°,/FEB=10°,

/.NBEG=ZBEF+NFEG=5£,

,/NEG"NBEG=9()0,

ZEGA=35Q,故②正确；

VGD=BF,

：.GD+FG=BF+FG,即。产=8G,

,/GB=AF,

:.FD=AF,

VZEFG=45°,ZJFG=90°,

...NEFG=450=NEFA,

'：HF=HF,

:・AHFD心HFA,

:.AH=HD,

,:在4HGD中，HG+GD>HD,

:.HG+GD>AH,

VGD=BF,

：.HG+BF>All,故③错误:

VAFGA^GEB,

S*FGA=S〉GE8，

•S'FGA=S"AFH+S,.FHG'S'GEB=S,.BEF+S“FHG+S

,,S“FH=S,BEF+S.EHG»

VGD=BF,

,•S㈤JG=S,.REF»

==

S&"〃SMEM+S&E//GS四边形以定〃，故④正确;

EG=?,BE=4,AF=gEG,

33

：,FG=EG=^,BG=4BE?-EG=2,

:・GD=BF=BG-FG=0.8,

S&BEF=；*BFxEG=0.96,

VAGLBE,8G1GE,

:・SRFG=LBGXEG=LBEXCG,

ADt\J22

.BGXEG3.2x2.4,.

..CROR=------------=-----------=1.9Q2•

,:&FGA知GEB,

GA=EB=4»

AAC=GA-CG=4-i.92=2.08,

*/AGLBE,

S“8E=gxBExAC=$4x2.08=4.16,

=0.96:4.16=3:13,故⑤错误:

故答案为：①②④.

【点睛】本题主要考查了等边对等角，勾股定理，垂直的定义，全等三角形的判定与性质以及三角形的面

枳公式等知识，证明,△〃"/5%〃〃，是解答本题的关键.

三、解答题

19.如图，已知018C中，AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,动点〃从点C出发，沿着的三条边逆时

针走一圈回到C点，速度为2cm/s,设运动时间为，秒.

(1)/为何值时，”平分/C4B?

(2)求当，为何值时，为等腰三角形？

(3)若P出发时，同时另有一点。，从点C开始，按顺时针方向运动一圈回到点C,且速度为每秒1cm.当P、Q

中有一点到达终点时，另一点也停止运动.是否存在某一时刻，直线户。将A/YC的周长分成相等的两部分？

若存在，求/的值，若不存在，说明理由.

【答案】(l)/=g

2713

⑵f=3或r=6或，=行•或，=不

⑶7=4或（=12

【分析】(1)过点P作尸。_L46于点。，根据勾股定理逆定理得出NC=90。，根据角平分线的性质得出

PC=PD,通过证明Rt△/尸CgRt4/P。，得出4。=/。=6cm,根据PC=PO=2/,则P8=8-21,根据勾

股定理列出方程求解即可；

（2）根据题意进行分类讨论①当点P在8C上时：②当点P在48上时：I、当/C=/1P=6cm时：II、

当4C=尸C=6cm时，过点。作C"1/8于点”；HI、当<P=CP时,过点尸作尸G_L4。于点G；即可解

答；

（3）根据题意进行分类讨论①当0</K4时，②当4<Y6时，③当5<ZW9时，点。和点0都在48上,

不符合题意；④当9CW12时，即可解答.

【解析】（工）解：过点尸作尸。_L/位于点。，

*/AC=6cmlc=8cm,4〃=10cm,

:.AC2-^BC2=AB2,

ZC=90°,

•.•4》平分/。4?,PDLAB,ZC=90°,

・•・PC=PD,

•；AP=4P,PC=PD,

：.RIAJPC^RIAJPD,

AC=AD=6cm,

:.BD=AB-AD=4cm,

'：pc=PD=Z,

：,户8=8-2,，

在RlAP8。中，根据勾股定理可得：PD2+BD2=PB2,

即（力）2+42=（8-2）2,解得：

(2)解：①当点?在6C上时，AC=PC,

VAC=PC=6cm,

/.z=-=3；

A

②当点尸在N8上时，

I、当/C=4>=6cm时,

VAC=JP=6cm,AB=10cm,

PB=AB-AP=4cm,

•:8c=8cm,

/.PB+BC=12cm，

IK当4C=PC=6cm时，

过点、C作CH上点、H,

'：S,,,=-ACBC=-ABCH,

c22

/.ACBC=ABCH,HP6x8=10C//,

24

解得：CZ/=y,

根据勾股定理可得：AH=SIAC2-CH2=gem,

J

VCHLAB,AC=PC,

IQ

:.AH=PH=ycmr

14

.\BP=AB-AH-PH=—cm,

5

54

；・PB+BC=《m,

54

再=五金；

25

A

in、当4P=。尸时，

过点尸作尸G14C于点G,

VAP=CP,PGLAC,

：・N4PG=NCPG,

■:乙4cB=9。0,

：.PG//BC,

：.乙APG=ZB,NCHG=NPCB,

: