工程力学 第2版 课件 第3章-空间力系

第三章空间力系§3-1空间汇交力系§3-2

力对点之矩和力对轴之矩§3-3

空间力偶§3-4

空间任意力系的简化§3-5

空间任意力系的平衡§3-6

物体的重心1§3-1空间汇交力系2空间汇交力系：空间力系中各力的作用线汇交于一点。一、力的解析表达式其中：Fx、Fy、Fz为力F在轴x、y、z上的投影；i、j、k为轴x、y、z的单位矢量。如果力F在三个轴上的投影Fx、Fy、Fz已知，则力F的大小和方向余弦为§3-1空间汇交力系3直接投影法已知力F与三个轴的夹角为α、β、γ，如图所示，则力F在三个轴上的投影为：间接投影法已知力F与轴z的夹角为γ，力F在xy平面内的投影Fxy与轴x的夹角为φ，如图所示，则力在三个轴上的投影为：§3-1空间汇交力系4如图所示，已知力的大小为F，其作用线通过点A(xA,yA,zA)和点B(xB,yB,zB)，求力F的解析表达式。从点A到点B的矢量可表示为：矢量r的大小：从点A到点B的单位矢量为：§3-1空间汇交力系5则力F的解析表达式为：力F的方向余弦为：§3-1空间汇交力系6二、空间汇交力系的合力与平衡将平面汇交力系合成的几何法应用于空间汇交力系，可得：空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。合力矢为：其中ΣFx、ΣFy、ΣFz为各分力在x、y、z轴上投影的代数和。合力的大小和方向余弦为：§3-1空间汇交力系7空间汇交力系平衡的充分和必要条件为：该力系的合力的大小等于零，即空间汇交力系的平衡方程：§3-1空间汇交力系8例题3-1

如图所示，空间桁架结构由AD、BD和CD三根杆在点D处铰接在一起，A、B和C处为球铰链，已知各点的坐标A(0,0,0)、B(2m,0,4m)、C(-2m,0,4m)和D0,3m,3m)，在点D受到一个与轴z平行的力G

=10kN的作用，不计各杆自重，试求各杆所受到的力。§3-1空间汇交力系9解：取铰链为研究对象各力的解析表达式为：§3-1空间汇交力系10列平衡方程：解得：§3-2力对点之矩和力对轴之矩11一、力对点之距的矢量表示在空间问题中，力对点之距有三个要素：大小、转向和作用面。用力矩矢来描述这三个要素：其中r是从矩心到力作用线上任一点的位置矢量。力对点之距是度量力使刚体绕某点转动效应的物理量。§3-2力对点之矩和力对轴之矩12一、力对点之距的矢量表示力矩的大小：力矩矢的始端必须画在矩心，方向由右手螺旋法则确定。空间力对点之矩的作用面为过矩心O垂直于力矩矢的平面。力矩的作用面：右手拇指的方向与力矩矢的方向一致，右手四指弯曲的方向即为力对点之矩在作用面内的转向。力矩的转向：§3-2力对点之矩和力对轴之矩13建立空间直角坐标系Oxyz，矢径r和力F分别表示为则力矩矢在三个坐标轴上的投影：§3-2力对点之矩和力对轴之矩14二、力对轴之矩力对轴之矩是度量力使刚体绕轴转动效应的物理量。把力F分解为平行于z轴的分力Fz和垂直于轴的分力Fxy。显然，分力Fz不能使刚体绕z轴转动，因此分力Fz对z轴的矩为零。只有分力Fxy才能使刚体绕z轴转动，而且分力Fxy使刚体绕z轴转动就是使刚体在xy平面内绕O点转动。由上述可知，力F

对z轴的矩就是分力Fxy对O点的矩，即如图所示，求力F

对z轴的矩。正负号如下规定：右手四指弯曲与力对轴之矩的转向一致时，拇指的指向与轴的正方向一致为正，反之为负。§3-2力对点之矩和力对轴之矩15当力的作用线与轴相交或平行时，力对轴之矩等于零。如图所示，在空间直角坐标系下，求力F对轴z的矩。根据力对轴之矩的定义：同理可得对x、y轴的矩：§3-2力对点之矩和力对轴之矩16三、空间力对点之矩与力对轴之矩的关系力矩矢在三个坐标轴上的投影：力对三个坐标轴的矩：有§3-2力对点之矩和力对轴之矩17三、空间力对点之矩与力对轴之矩的关系空间力对点的矩矢在通过该点的任一轴上的投影等于力对该轴之矩。空间的力对点之矩可改下为：在空间中力使物体绕某点转动的效应等于力使物体同时分别绕通过该点且相互垂直的三根轴转动效果的总和。§3-2力对点之矩和力对轴之矩18例题3-2如图所示，已知力F的表达式，及作用点的位置，求力F对点O和轴OA的矩。解：（1）力F对点O的力矩矢为：（2）力F对轴OA之矩的大小等于MO(F)在轴OA上的投影轴OA的单位矢量：力F对轴OA之矩的大小：§3-3空间力偶19一、力偶矩矢空间力偶(F,F’)对刚体的转动效应取决于以下三个要素：（1）力偶作用面的方位；（2）力偶在其作用面内的转向；（3）力偶中任一力的大小与力偶臂的乘积F*d。如图所示，则力偶(F,F’)对空间任一点O的矩矢M(F,F’)为：计算表明，力偶对空间任一点的矩矢与矩心无关。§3-3空间力偶20一、力偶矩矢定义力偶矩矢M为：力偶矩矢垂直于力偶作用面，方向用右手螺旋法则确定，如图所示。由于力偶对空间任一点的矩都等于力偶矩矢，因此力偶矩矢是一个自由的矢量，只要其大小、方向不变，可画在任意位置。由力对点之矩与力对轴之矩的关系可知，力偶对轴之矩等于力偶矩矢在该轴上的投影。§3-3空间力偶21二、空间力偶的等效定理空间力偶等效定理：空间两个力偶不论作用在刚体的什么位置，也不论力偶中力的大小、方向，以及力偶臂的长短，只要力偶矩矢相等，这两个力偶就彼此等效。三、空间力偶系的合成与平衡设刚体受n个空间分布的力偶作用，由于力偶矩矢是自由矢量，可以平行移动这些力偶矩矢至任意点O，成为一个空间的汇交力偶矩矢系。§3-3空间力偶22空间力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中所有各力偶矩矢的矢量和等于零。空间力偶系的平衡方程：即力偶系中所有各力偶矩矢在空间三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。§3-3空间力偶23例题3-3如图所示，已知力系中各力F1=F1’

=2kN，F2=F2’

=4kN，F3=F3’

=4kN，作用于边长为1m的正方体的棱边上。试求合力偶矩矢。解：三个力偶矩矢分别为合力偶矩矢为§3-4空间任意力系的简化24一、空间任意力系向一点简化刚体上作用了一空间任意力系F1、

F2、…、

Fn。任选一点O作为简化中心，根据力的平移定理，将各力平移到点O，于是得到一个作用于点O的空间汇交力系F’1、

F’2、…、

F’n和一个附加的空间力偶系，以力偶矩矢的形式表示为M1、

M2、…、

Mn。其中§3-4空间任意力系的简化25一、空间任意力系向一点简化空间汇交力系F’1、

F’2、…、

F’n，可以合成为一个合力F’R，F’R称为原力系的主矢。即主矢F’R等于原力系中各力的矢量和。附加的空间力偶矩矢系M1、

M2、…、

Mn,可以合成为一个合力偶矩矢MO

，MO称为原力系对简化中心O的主矩。即，原力系对简化中心O的主矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。§3-4空间任意力系的简化26主矢的大小：主矢的方向：§3-4空间任意力系的简化27主矩的大小：主矩的方向：其中，∑Mx(F)，∑My(F)，∑Mz(F)分别表示各分力Fi对x，y，z轴的矩的代数和。§3-4空间任意力系的简化28二、空间固定端约束如果被固定端约束的刚体受到的主动力是空间任意力系，那么固定端的约束力也构成一个与主动力有关的空间力系，将约束力系向固定端中心点A进行简化可得到一个约束力FA（通常用三个相互正交的分力FAx、FAy、FAz表示）和一个约束力偶，其力偶矩矢为MA（通常绕三个坐标轴的分量MAx、MAy、MAz表示），§3-4空间任意力系的简化29三、空间任意力系简化结果的分析空间任意力系的简化结果可能出现以下4种情况：（1）空间任意力系简化为一合力偶这种情况，主矩与简化中心的位置也无关。（2）空间任意力系简化为一合力（a）（b）但§3-4空间任意力系的简化30三、空间任意力系简化结果的分析（3）空间任意力系简化为力螺旋（a）但这个结果被称为力螺旋§3-4空间任意力系的简化31三、空间任意力系简化结果的分析（3）空间任意力系简化为力螺旋（b）且两者即不平行，又不垂直。（4）空间任意力系平衡§3-5空间任意力系的平衡32空间任意力系作用下处于平衡的必要与充分条件是：该力系的主矢和对任一点的主矩都为零。由于因此，空间任意力系的平衡方程为：空间任意力系只有六个独立的平衡方程，可以求解六个未知量。§3-5空间任意力系的平衡33空间平行力系的平衡方程由于因此，空间平行力系的平衡方程为：空间平行力系只有三个独立的平衡方程§3-5空间任意力系的平衡34例题3-4如图所示，一空间直角折杆ABCD，已知AB=BC=CD=0.5m，F1=15N，F2=10N，F3=8N，不计折杆自重。求固定端的约束力。解：取折杆为研究对象解得§3-5空间任意力系的平衡35例题3-5如图所示，均质正方形板由6根不计自重的直杆支撑于水平位置，直杆两端各用球铰链与板和地面连接。板重为P，在D处作用一个沿x轴正方向的力F，且F=2P。求各杆所受的力。§3-5空间任意力系的平衡36解：选正方形板为研究对象，各支撑杆均为二力杆，设它们都受拉。§3-6物体的重心37一、重心在地球表面附近的物体，其内部的各质点都受到地球引力的作用，称之为重力。这个分布的重力系汇交于地心，但由于地球的尺寸比一般物体的尺寸大得多，因此把物体各质点受到的重力系看作空间平行力系是足够精确的。物体受到的空间平行分布重力系可以合成为一个合力，这个合力就是物体的总重力，但只有在总重力作用于一个特定的简化中心时，它才与分布的重力系等效。换言之，这时力系简化的主矩等于零。这个特定的简化中心就是物体的重心。§3-6物体的重心38为了确定物体的重心，可将物体分割成许多小部分，设为n个。根据力系的简化，由于所有部分的重力都与z轴平行，将它们向z轴投影的代数和就是物体总的重力。设物体重心点C的坐标为（xC，yC，zC），重力作用于重心上与平行分布的重力系等效，则重力对轴的矩等于分布的重力系对轴的矩，即于是有§3-6物体的重心39同理，对x轴取矩可得由于重心相对物体的位置与物体放置的情况无关，因此可将物体连同坐标系一起绕x轴旋转

，这时重力与y轴平行，再对x轴取矩可得计算重心坐标的一般公式：§3-6物体的重心40计算重心坐标的一般公式：物体质心坐标的一般公式：物体形心坐标的一般公式：对于均质物体，其重心、质心、形心的位置是重合的。§3-6物体的重心41物体形心坐标的一般公式：如果令物体各小部分的体积趋近于零，则有如果物体为均质等厚的薄壳：§3-6物体的重心42二、确定物体重心的方法（1）对称确定法对于均质物体，如果此物体有对称面、对称轴或对称中心，则物体的重心一定在此对称面、对称轴或对称中心上。（2）积分法当均质物体的边界可以用函数表示的时候，可以利用确定其重心和形心的具体位置。§3-6物体的重心43二、确定物体重心的方法（3）组合法当均质物体由几个已知重心的部分组成时，可根据确