3、空间向量的应用

空间向量应用考法一平面的法向量1、如图已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量．2、正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．3、四棱锥中，底面，为正方形的对角线，给出下列命题：①为平面PAD的法向量；②为平面PAC的法向量；③为直线AB的方向向量；④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量．其中正确命题的序号是______________考点二空间向量证明平行1、如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．（1）求证：PB∥平面EFG.（2）证明平面EFG∥平面PBC2、在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．3、已知平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系为_______.4、已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则______.考法三空间向量证垂直1、如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.2、已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为()A． B． C．与相交但不垂直 D．3、已知平面的法向量为，若直线平面，则直线l的方向向量可以为()A．B．C．D．4、四棱锥中，底面是平行四边形，，，，则直线与底面的关系是()A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．成60°角5、如图，在正方体中，分别是的中点，试用空间向量知识解决下列问题（1）求证：（2）求证平面．6、如图，平面，四边形是矩形，，点是的中点，点在边上移动.（1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；

（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有.考点四空间向量求线线角1、如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是()A． B． C． D．2、已知在正方体中，P为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的范围是()A． B． C． D．3、三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为()A.eq\f(1,10)B.eq\f(3,5)C.eq\f(7,10)D.eq\f(4,5)4、已知四棱锥S­ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(2,3)考点五空间向量求线面角1、如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，.(1)求证：；(2)若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值.2、如图，四棱锥中，，，，，，．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．3、在正四棱柱中，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)若为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求的长.4、如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD⊥平面ABC，PD=3.(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.考点六空间向量求二面角1、如图，在三棱锥中，．(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值2、如图，圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，垂直于圆所在平面，，.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.3、如图，已知四棱锥中，是平行四边形，，平面平面，，，分别是，的中点.(1)求证：平面；(2)若，，求二面角的余弦值.4、如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，是的中点.(1)求证：平面平面；(2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.考点七空间向量求距离1、如图，棱长为1的正方体，是底面的中心，则到平面的距离是()A． B． C． D．2、已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为()A． B． C．1 D．3、已知四面体中，，，两两