第一章特殊的平行四边形精讲精练 - 学生

第一章特殊的平行四边形第一节：菱形一、知识点归纳一、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

二、菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

三、菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式．

②菱形面积=（a、b是两条对角线的长度）四、菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；

②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．

几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

二、课前预习1．在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（）A．70° B．40° C．75° D．30°2．在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A．AO＝CO B．AO＝BO C．AO⊥BO D．AB⊥BC3．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（）A．20 B．24 C．40 D．484．下列说法中不正确的是（）A．对角线垂直的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等三、典型例题例题1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列结论中不一定成立的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC例题2、在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC＝90° B．AB＝CD C．AC⊥BD D．AB∥CD例题3、在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC，垂足为C，交BC于点E，若AC＝，AE＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．5 B．4 C．2 D．3例题4、如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE，添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（）A．∠BAD＝∠BDA B．AB＝DE C．DF＝EF D．∠BDC＝∠BAD例题5、如图，在平面直角坐标系内，四边形ABCD为菱形，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），点C，D分别在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）A． B．4 C．4 D．20例题6、在如图所示的网格中，已知线段AB，现要在该网格内再确定格点C和格点D，某数学探究小组在探究时发现以下结论，以下结论不正确的是（）A．将线段AB平移得到线段CD，使四边形ABDC为正方形的有2种 B．将线段AB平移得到线段CD，使四边形ABDC为菱形的（正方形除外）有3种 C．将线段AB平移得到线段CD，使四边形ABDC为矩形的（正方形除外）有2种 D．不存在以AB为对角线的四边形ACBD是菱形四、课堂练习1．若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是（）A．96 B．48 C．24 D．122．如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠BDC的度数为（）A．20° B．30° C．35° D．40°3．菱形的两条对角线分别为8和6，则菱形的周长和面积分别是（）A．20，48 B．14，48 C．24，20 D．20，244．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为．5．（2020秋•文山市期末）已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为．五、课后作业1．菱形的两条对角线分别为8和6，则菱形的周长和面积分别是（）A．20，48 B．14，48 C．24，20 D．20，242．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点E，点F为四边形ABCD外一点，DA平分∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且AF⊥AC．（1）求证：四边形ABDF是菱形；（2）若AB＝5，求AC的长．第二节矩形一、知识点归纳一、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．二、矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．

三、由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．矩形的判定：

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）二、课前预习1．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝（）A．20° B．40° C．80° D．100°2．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC＝120°，BO＝4，则矩形的边BC的长是（）A．6 B．8 C．6 D．43．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（）A．4 B．5 C．6 D．84．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E是CD的中点，已知AB＝5，OE＝6，则AC的长为（）A．10 B．11 C．12 D．13三、典型例题例题1、矩形不具备的性质是（）A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直例题2、矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等 B．对角线相等 C．对角相等 D．对角线互相平分例题3、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长等于（）A．6 B．8 C． D．例题4、如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，DF⊥AE于F，若EF＝CE＝1，AB＝3，则线段AF的长为（）A．2 B．4 C． D．3例题5、如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，BD＝12，则EF的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3例题6、如图，在矩形ABCD中放置了一个直角三角形EFG，∠EFG被AD平分，若∠CEF＝35°，则∠EHF的度数为（）A．55° B．125° C．130° D．135°四、课堂练习1．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝BC2．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD3．请你在一张长为18cm、宽为16cm的矩形纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，且等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上，你剪下的等腰三角形的面积是cm2．4．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2．则CE＝．五、课后作业1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．52.矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为．3．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AB＝．4．如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、∠DCA的平分线交于点E、F．（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．第三节正方形一、知识点归纳一、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

二、正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．三、正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．二、课前预习1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分2．对角线互相平分且相等的四边形是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．非以上答案3．下列说法中，正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形4．下列说法正确的是（）A．正方形的每一条对角线平分一组对角 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的四个内角都是直角 D．平行四边形是轴对称图形5．如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AB＝AE，则∠DBE度数是（）A．15° B．32.5° C．22.5° D．30°三、典型例题例题1、下列说法正确的是（）A．四边都相等的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形四边形是菱形例题2、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．每一条对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直例题3、下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（）A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③ C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②例题4、如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为（）A．2﹣2 B．﹣1 C．2﹣ D．﹣1例题5、如图，正方形ABCD和▱AEFC，点B在EF边上，若正方形ABCD和▱AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定例题6、如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A． B． C． D．四、课堂作业1．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，则AC的长是．2．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为16，则OH的长等于．3．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠E＝．4．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝．5．若正方形ABCD的边长为12，E为BC边上一点，BE＝5，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM长为．五、课后作业1．如图，E、F分别为正方形ABCD的边DC、BC中点．求证：AE＝AF．2．如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．3．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝CF+AE；（2）当AE＝2时，求EF的长．4．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．综合练习1．如图，菱形ABCD对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形高DE长为（）A．5cm B．10cm C．4.8cm D．9.6cm2．在菱形ABCD中，∠A：∠B＝1：2，若周长为8，则此菱形中较短的那条对角线长为（）A．2 B．4 C．1 D．23．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC＝90° B．AB＝BC C．AB＝CD D．AB∥CD4．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断▱ABCD是菱形的为（）A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝∠BOC D．∠BAD＝