2025高考集合与简易逻辑、不等式

试卷第=page66页，共=sectionpages99页试卷第=page11页，共=sectionpages99页2025高考集合与简易逻辑学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.【详解】由，则，集合，故故选：D.2．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出.【详解】因为，所以，故选：D.3．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（

）A．0 B．3 C．5 D．8【答案】C【分析】根据补集的定义即可求出．【详解】因为，所以，中的元素个数为，故选：C．4．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合后结合交集的定义可求.【详解】，故，故选：D.5．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.【详解】由，则“”是“”的充分条件；又当时，，可知，故“”不是“”的必要条件，综上可知，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，取，则，充分性成立；取，，则对任意，一定存在，使得，取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.故选：A.7．（2025·北京·高考真题）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由基本不等式结合特例即可判断.【详解】对于A,当时，，故A错误；对于BD，取，此时，，故BD错误；对于C，由基本不等式可得，故C正确.故选：C.8．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.【详解】即为即，故，故解集为，故选：C.二、填空题9．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为【答案】【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.【详解】设，原题转化为求的最小值，原不等式可化为对任意的，，不妨代入，得，得，当时，原不等式可化为，即，观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，此时，，说明时，均可取到，满足题意，故的最小值为.故答案为：10．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为．【答案】4【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可.【详解】易知，当且仅当，即时取得最小值.故答案为：4二、解答题11．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；(2)若，求a的取值范围；(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．【详解】（1）（1），，则不是中的元素.（2）法一：因为，则存在实数使得，且，当时，，其在上严格单调递增，当时，，其在上也严格单调递增，则，则，令，解得，则，则.法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，由图知，假设交点分别为，，联立方程组得（3）（3）对任意，因为其是偶函数，则，而，所以，所以，因为，则，所以，所以，所以当时，，，则，，则，而，，则，则，所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：其中，但其对应的值均未知.首先说明，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，即，令，则，当时，即使让，此时最多7个零点，当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点；当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点；当时，若，此时有3个零点，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，则最多在之间取得6个零点，以及在处成为零点，故不超过9个零点.综上，零点不超过9个.12．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列．(1)对于第1项为的K列，写出它的第2项．(2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由；(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列．【答案】(1)或(2)不能，理由见解析(3)证明过程见解析【分析】（1）根据新定义即可得解；（2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论；（3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.【详解】（1）根据题目定义可知，或，若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或；（2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前.显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次.但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次.这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中.（3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项，这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个，而，因为只能6由2来，3只能由7来，横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点，即对于16个，有12个与之相对应，矛盾．综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列．法2：假设全体元素构成一个K列，则.设，.则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中.如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目，所以至多存在一对相邻的项属于.如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和，否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时.从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于；这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于.如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况.这意味着必定存在，使得.由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，