北师大版数学 寒假作业02 有理数及其运算（梳理讲练培优） 同步练习 含答案

有理数及其运算（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】正数与负数及相关概念1、认识正数、负数、零（1）正数：大于0的数叫做正数，正数大于0；（2）负数：正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0；（3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。2、有理数的概念及分类（1）整数和分数统称有理数.（2）有理数的分类【知识点二】数轴、相反数与绝对值1．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．2．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．3．绝对值：（1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作．（2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．【知识点三】有理数的运算1.有理数运算法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6）有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2．运算律：（1）交换律：①加法交换律：a+b=b+a；②乘法交换律：ab=ba；（2）结合律：①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac【知识点四】有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；（3)作差比较法．（4）作商比较法；（5）倒数比较法．【知识点四】科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=．第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】有理数的相关概念（有理数及其分类）【例1】（23-24七年级上·河南洛阳·期中）把，，，，，，填在相应的大括号内．正数集合：｛__________…｝；

整数集合：｛__________…｝；非负数集合：｛__________…｝；

负分数集合：｛__________…｝；【变式1】（20-21七年级上·广东深圳·阶段练习）在，，，这四个数中，负数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【变式2】一幢大楼地面上有12层，还有地下室2层，如果把地面上的第一层作为基准，记为0，规定向上为正，那么习惯上将2楼记为；地下第一层记；数－2的实际意义为，数＋9的实际意义为．【题型2】有理数的相关概念（数轴与相反数）【例2】（23-24六年级上·山东东营·期末）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示：

(1)在数轴上表示出数a，b的相反数的位置；(2)若数b与其相反数相距10个单位长度，则数b表示的数是；(3)在（2）的条件下，若表示数a的点与表示数b的相反数的点相距2个单位长度，则数a表示的数是．【变式1】（2021·四川南充·中考真题）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为（

）A． B． C．1 D．【变式2】（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，数轴上点A，B，C，D表示的数分别为a，b，c，d，相邻两点间的距离均为2个单位长度．

（1）若a与c互为相反数，则；（2）若这四个数中最小数与最大数的和等于10，则．【题型3】有理数的相关概念（绝对值与相反数）【例3】（23-24七年级上·贵州黔西·期末）小宇是七年级（1）班数学学习小组长，他想带领本小组同学一起复习绝对值的相关知识，整理了以下题目：(1)_______；(2)若，则x的值为_______；(3)若与互为相反数，则_______；(4)若，则所有符合条件的整数x的和为_______；(5)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是_______；

(6)若你是学习小组成员，请针对绝对值的复习给大家提一条复习建议．【变式1】（2023·北京石景山·一模）实数a在数轴上的位置如图所示，若，则下列说法不正确的是（）A．a的相反数大于2 B．C． D．【变式2】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，x的取值范围是．【题型4】有理数的相关概念（乘方与科学记数法）【例4】（23-24七年级·全国·假期作业）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？

【变式1】若，在数轴上表示如图所示，则（

）A． B．C． D．【变式2】若，则＝．【题型5】有理数的运算（加减运算）【例5】（22-23七年级上·山西太原·阶段练习）计算题：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式1】（21-22七年级上·重庆万州·期末）对于有理数x，y，若，则的值是（

）．A． B． C．1 D．3【变式2】（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）如果，，且，那么的值是．【题型6】有理数的运算（乘除运算）【例6】（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）乘除计算：(1)(2)(3)；(4)【变式1】计算+++++……+的值为（）A． B． C． D．【变式2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）形如的式子叫做二阶行列式，其运算法则用公式可以表示为．计算：（只填计算结果）．【题型7】有理数的混合运算（有理数加减乘除及乘方的混合运算）【例7】（22-23七年级上·重庆开州·期中）计算：(1)(2)【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）已知是相反数等于本身的数，是倒数等于本身的数，则的值为（

）A．1 B．3 C． D．1或3【变式2】（2022·湖北宜昌·中考真题）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值：．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·浙江杭州·中考真题）（

）A．0 B．2 C．4 D．8【例2】（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（

）A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天2、拓展延伸【例1】（20-21七年级上·全国·课后作业）计算：（1）；（2）；（3）．【例2】（22-23七年级上·湖北武汉·期中）疫情后，武汉这座英雄的城市历经劫难与涅槃，一度成为国内旅游的热门打卡地，其中“藏身”于东湖风景区的东湖绿道非常受欢迎，它全长101.98公里，是国内首条城区内5A级旅游景区绿道．武汉一部门对东湖绿道某周工作日的客流变化量进行了不完全统计，数据如下（正数表示客流量比前一天增加，负数表示客流量比前一天下降）：时间周一周二周三周四周五人数（单位：万人）(1)请计算比较这5天中，客流量最多的是哪一天？最少的是哪一天？(2)若前一周周日的客流量为22万人，假设本周工作日游客每人每天平均消费100元，请问这5天的游客消费总额为多少万元？

有理数及其运算（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】正数与负数及相关概念1、认识正数、负数、零（1）正数：大于0的数叫做正数，正数大于0；（2）负数：正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0；（3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。2、有理数的概念及分类（1）整数和分数统称有理数.（2）有理数的分类【知识点二】数轴、相反数与绝对值1．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．2．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．3．绝对值：（1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作．（2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．【知识点三】有理数的运算1.有理数运算法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6）有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2．运算律：（1）交换律：①加法交换律：a+b=b+a；②乘法交换律：ab=ba；（2）结合律：①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac【知识点四】有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；（3)作差比较法．（4）作商比较法；（5）倒数比较法．【知识点四】科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=．第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】有理数的相关概念（有理数及其分类）【例1】（23-24七年级上·河南洛阳·期中）把，，，，，，填在相应的大括号内．正数集合：｛__________…｝；

整数集合：｛__________…｝；非负数集合：｛__________…｝；

负分数集合：｛__________…｝；【答案】，，；，，；，，；，．【分析】考查了有理数的分类．掌握整数包括正整数、负整数和0以及非负数包括整数和0是解题的关键．根据有理数的分类及相关定义即可解答．解：正数集合：｛，，…｝；

整数集合：｛，，…｝；非负数集合：｛，，…｝；

负分数集合：｛，…｝．故答案为：，，；，，；，，；，．【变式1】（20-21七年级上·广东深圳·阶段练习）在，，，这四个数中，负数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】先把这一组数进行计算，再根据正数和负数的定义解答即可．解：∵；；；，这四个数中，负数有1个．故选：A．【点拨】判断一个数是正数还是负数，要把它化简成最后形式再判断．【变式2】一幢大楼地面上有12层，还有地下室2层，如果把地面上的第一层作为基准，记为0，规定向上为正，那么习惯上将2楼记为；地下第一层记；数－2的实际意义为，数＋9的实际意义为．【答案】+1；-1；地下第2层；地面上第10层.解：规定向上为正，则向下为负，所以2楼表示的是以地面为基准向上2层，所以记为+1，地下第一层记作−1，−2表示的实际意义是地下2层，+9的实际意义为地上10层；故答案为+1，−1，地下2层，地上10层．【题型2】有理数的相关概念（数轴与相反数）【例2】（23-24六年级上·山东东营·期末）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示：

(1)在数轴上表示出数a，b的相反数的位置；(2)若数b与其相反数相距10个单位长度，则数b表示的数是；(3)在（2）的条件下，若表示数a的点与表示数b的相反数的点相距2个单位长度，则数a表示的数是．【答案】(1)见解析；(2)；(3)3【分析】本题考查了数轴与相反数，掌握的相反数为是解题的关键．（1）根据互为相反数的点到原点的距离相等在数轴上表示出，；（2）先得到表示的点到原点的距离为，然后根据数轴表示数的方法得到表示的数；（3）先得到表示的点到原点的距离为，再利用数表示的点与数的相反数表示的点相距个单位长度，则表示的点到原点的距离为，然后根据数轴表示数的方法得到表示的数．解：（1）如图，

；（2）数与其相反数相距个单位长度，则表示的点到原点的距离为，所以表示的数是；（3）因为表示的点到原点的距离为，所以表示的点到原点的距离为，而表示数a的点与表示数b的相反数的点相距2个单位长度，且所以表示的数是．【变式1】（2021·四川南充·中考真题）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】由数轴上表示数和的点到原点的距离相等且，可得和互为相反数，由此即可求得m的值．解：∵数轴上表示数和的点到原点的距离相等，，∴和互为相反数，∴+=0，解得m=-1．故选D．【点拨】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出和互为相反数是解决问题的关键．【变式2】（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，数轴上点A，B，C，D表示的数分别为a，b，c，d，相邻两点间的距离均为2个单位长度．

（1）若a与c互为相反数，则；（2）若这四个数中最小数与最大数的和等于10，则．【答案】42【分析】（1）根据a与c互为相反数，知道点B是原点，根据相邻两点间的距离均为2个单位长度得到d的值；（2）根据这四个数中最小数与最大数的和等于10，得到，由，得到一元一次方程，解方程即可得出答案．解：（1）∵a与c互为相反数，∴，，，，故答案为：4；（2）∵这四个数中最小数与最大数的和等于10，∴，∵相邻两点间的距离均为2个单位长度．∴，即，∴，∴．故答案为：2．【点拨】本题考查了数轴，相反数，根据这四个数中最小数与最大数的和等于10列出方程是解题的关键．【题型3】有理数的相关概念（绝对值与相反数）【例3】（23-24七年级上·贵州黔西·期末）小宇是七年级（1）班数学学习小组长，他想带领本小组同学一起复习绝对值的相关知识，整理了以下题目：(1)_______；(2)若，则x的值为_______；(3)若与互为相反数，则_______；(4)若，则所有符合条件的整数x的和为_______；(5)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是_______；

(6)若你是学习小组成员，请针对绝对值的复习给大家提一条复习建议．【答案】(1)5；(2)；(3)1；(4)；(5)；(6)一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0．【分析】本题考查了绝对值的相关知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）-（3）利用绝对值的性质直接求解即可．（4）分情况讨论，化简绝对值求值即可．（5）根据数轴判断式子的正负，化简绝对值求值即可．（6）根据绝对值的性质求解即可．解：（1）（2），．（3）∵与互为相反数，∴，，解得：，（4）当时，原式（舍去），当时，原式（舍去），当时，原式，∴符合条件的整数x有故所有符合条件的整数x的和为．（5）由数轴可知，（6）一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0．【变式1】（2023·北京石景山·一模）实数a在数轴上的位置如图所示，若，则下列说法不正确的是（）A．a的相反数大于2 B．C． D．【答案】B【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是数形结合，得到．由图得，且，可知，然后逐项判断即可．解：由图得，且，∴，D正确，不符合题意；∴a的相反数大于2，故A正确，不符合题意；a的相反数大于2即是，故B不正确，符合题意；∵，∴，∴，故C正确，不符合题意；故选：B．【变式2】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，x的取值范围是．【答案】【分析】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，数轴上两点的距离，解题的关键是以和2为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．以和2为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．解：如图，当时，，，；当时，，，；当时，，，；综上所述，当时，取得最小值，所以当取得最小值时，的取值范围是．故答案为：．【题型4】有理数的相关概念（乘方与科学记数法）【例4】（23-24七年级·全国·假期作业）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？

【答案】第次后可拉出根面条．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．解：根据题意得：，答：这样捏合到第6次后可拉出根面条．【点拨】此题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方的意义．【变式1】若，在数轴上表示如图所示，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据实数与数轴上的点之间的对应关系求解．解：由数轴得：，，故选项A错误；，故选项B错误；，，故选项C错误；，，故选项D正确，故选：D．【点拨】本题考查的是有理数的大小比较，有理数的减法及绝对值的性质，解题的关键是利用好数轴．【变式2】若，则＝．【答案】9【分析】先根据绝对值和完全平方的非负性求出x和y的值，再代入中计算即可.解：，且故答案为：9【点拨】本题主要考查了绝对值和完全平方的非负性，几个非负数的和为0，则每一个数都为0.掌握以上知识是解题的关键.【题型5】有理数的运算（加减运算）【例5】（22-23七年级上·山西太原·阶段练习）计算题：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)17(3)(4)10【分析】（1）先去括号、化简绝对值，再计算有理数的减法即可得；（2）先去括号，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得；（3）先将小数化为分数，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得；（4）先去括号，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得．解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）原式．【点拨】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数加减法的运算法则和运算律是解题关键．【变式1】（21-22七年级上·重庆万州·期末）对于有理数x，y，若，则的值是（

）．A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】由，可得异号，再分两种情况讨论，当时，当时，再化简绝对值即可得到答案.解：，异号，当时，当时，故选B【点拨】本题考查的是绝对值的化简，有理数的乘法与除法的符号确定，除法运算，掌握“绝对值的化简”是解本题的关键.【变式2】（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）如果，，且，那么的值是．【答案】4或2【分析】根据题意得出和的值，然后得出结论即可．解：，，且，，或，，或2，故答案为：4或2．【点拨】本题主要考查绝对值和有理数加法的计算，熟练掌握有理数加法的计算是解题的关键．【题型6】有理数的运算（乘除运算）【例6】（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）乘除计算：(1)(2)(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)解：（1）；（2）；（3）．（4）．【点拨】本题考查的是有理数的乘除混合运算，乘法分配律的应用，掌握“同级运算，按照从左至右的运算顺序进行计算与乘法分配律的应用”是解本题的关键．【变式1】计算+++++……+的值为（）A． B． C． D．【答案】B分析：直接利用分数的性质将原式变形进而得出答案．解：原式==，=1-=．故选B．点拨：此题主要考查了有理数的加法，正确分解分数将原式变形是解题关键．【变式2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）形如的式子叫做二阶行列式，其运算法则用公式可以表示为．计算：（只填计算结果）．【答案】【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．解：根据题中的新定义得：原式，故答案为：【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【题型7】有理数的混合运算（有理数加减乘除及乘方的混合运算）【例7】（22-23七年级上·重庆开州·期中）计算：(1)(2)【答案】(1)-11(2)６【分析】（1）先算乘方、然后按照有理数的混合运算法则计算即可；（2）先算乘方、然后再运用乘法分配律进行简便运算即可．解：（1）．（2）．【点拨】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）已知是相反数等于本身的数，是倒数等于本身的数，则的值为（

）A．1 B．3 C． D．1或3【答案】D【分析】根据相反数和倒数的概念确定a和b的值，然后代入计算即可．解：∵a是相反数等于本身的数，b是倒数等于本身的数，∴，当时，原式，当时，原式，综上，的值为1或3，故选：D．【点拨】此题主要考查了有理数的混合运算，理解相反数和倒数的概念，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键．【变式2】（2022·湖北宜昌·中考真题）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值：．【答案】-10【分析】根据有理数运算法则进行计算即可．解：，故答案为：．【点拨】此题考查含乘方的有理数混合运算，掌握乘方的计算法则，有理数混合运算的计算法则是解题的关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·浙江杭州·中考真题）（

）A．0 B．2 C．4 D．8【答案】D【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解．解：，故选：D．【点拨】本题考查有理数度混合运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键．【例2