北师大版数学 寒假作业16 平行线及其判定（知识预习+达标检测） 试卷 含答案

平行线及其判定【题型1平面内两直线的位置关系】

【题型2用直尺、三角板画平行】

【题型3平行线公理及推论】【题型4平行线判定-同位角相等，两直线平行】【题型5平行线判定-内错角相等，两直线平行】【题型6平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】考点1：平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.【题型1平面内两直线的位置关系】【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是平面上五条直线l1，l2，l3，l4，A．l1和l2平行，l3和l4平行 B．l1和lC．l1和l3不平行，l2和l3平行 D．l1和l【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（

）A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线D．不相交的两条直线是平行线【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列生活实例：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）在同一平面内，既不重合也不相交的两条直线的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交【题型2用直尺、三角板画平行】【变式2-】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点P为∠AOB内一点：(1)过点P画直线l1(2)过点P画直线l2【变式2-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）按要求完成下列各题：(1)如图1是一个正方形网格，在此网格中有直线AB与点C．①画直线CD∥AB；②画直线CE⊥AB，垂足为点F；(2)如图2，已知P是∠BAC的边AB上不同于A的一点，经过点P请作出AC的平行线PQ．【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形ABC，点P在边BC上．(1)过点P画AB的平行线交AC于点T；(2)过点C画MN∥(3)直线PT_______MN（填位置关系）．【变式2-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，按要求作图并解答问题．(1)过AC上一点D作AB的平行线，交BC于点E；(2)过点C作MN∥AB；(3)直线DE,MN的位置关系是什么？请说明理由．

考点2：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性【题型3平行线公理及推论】【典例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果a∥b,b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是（

）A．等量代换B．两直线平行，同位角相等C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行D．平行于同一条直线的两条直线平行【变式3-1】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在同一平面内有a，b，c三条直线，若a∥b，且a与c相交，那么b与A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能确定【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2025条互不重合的直线a1,a2,⋯,a2025，如果aA．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定【变式3-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可折叠的衣架，AB是地平线，如果PM∥AB,PN∥AB，那么就可确定点N,P,M在同一条直线上．依据是______（填序号）．①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．考点3：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。∵∠2＝∠3∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成：同旁内角互补，两直线平行。∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）【题型4平行线判定-同位角相等，两直线平行】

【典例4】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线AB，AC，CD被直线BE所截，CD平分∠ACE，已知∠3=∠5=60°，求证：AB∥CD．【变式4-1】（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图AF与BD相交于点C，∠B=∠ACB，且CD平分∠ECF．求证：AB∥请完成下列推理过程：证明：∵CD平分∠ECF，∴∠ECD=____________（____________）．∵∠ACB=∠FCD（____________）∴∠ECD=∠ACB（____________）∵∠B=∠ACB，∴∠B=∠____________（等量代换）．∴AB∥【变式4-2】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）如图，已知∠1=∠3,∠2+∠3=180°，请说明AB与DE平行的理由解：将∠2的邻补角记作∠4，则∠2+∠4=°（

）因为∠2+∠3=180°（

）所以∠3=∠4（

）因为（

）所以∠1=∠4（等量代换）所以AB∥DE（

）【变式4-3】（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知∠2=120°,∠1=60°，说明FD∥BC【题型5平行线判定-内错角相等，两直线平行】【典例5】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，AE平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥解：∵∠BAG+∠AGD=180°（已知），∠AGC+∠AGD=180°（_______）∴∠BAG=∠AGC（_______）．∵AE平分∠BAG，∴∠1=1∵GF平分∠AGC，∴∠2=1得∠1=∠2（_______），∴AE∥GF（_______）．【变式5-1】（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）完成下面推理及填空：已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2=90°，求证：DE∥证明：∵CD⊥AB（已知）∴∠ADC=90°∴∠1+______=90°∵∠1+∠2=90°（已知）∴______=∠2（）∴DE∥BC（______）【变式5-2】（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，BD平分∠ABF交AE于点D，∠ABD=∠ADB，判断AE与BF的位置关系，并说明理由．【变式5-3】（23-24七年级下·四川泸州·期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB请将下面的推理过程补充完整．证明：∵BE⊥FD（已知），∴∠EGD=90°（），∴∠1+=90°，又∵∠2和∠D互余（已知），∴∠2+∠D=，∴∠1=（），∵∠C=∠1（已知），∴∠C=∠2，∴AB∥CD（【题型6平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】【典例6】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，若∠A=114°，∠C=135°，∠1=66°，∠2=45°，试说明AD∥CF．【变式6-1】（23-24八年级上·四川达州·期末）已知：如图，直线a，b被直线c所截，且∠1+∠2=180°．求证：a∥【变式6-2】（23-24七年级下·广东广州·期末）完成下面的证明：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β=90°．求证：AB∥CD．证明：∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD=2∠α（

）．又∵DE平分∠BDC（

），∴∠BDC=______（

）．∴∠ABD+∠BDC=2∠a+2∠β=2∠a+∠β（

又∵∠a+∠β=90°（已知），∴∠ABD+∠BDC=（______）（

）．∴AB∥CD（

）．【变式6-3】（23-24七年级下·云南·期中）如图，在四边形ABCD中，∠D=100°，CA平分∠BCD，且∠ACB=40°，∠BAC=70°．AD与BC平行吗？试写出推理过程．1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，∠B的内错角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠42．（24-25七年级下·全国·期末）如图，与∠5是内错角的是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠43．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，①∠1=∠3，②∠2=∠3，③∠1=∠4，④∠2+∠5=180°可以判定b∥c的条件有（A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知∠A=∠1,∠D=∠2，则AB与CD的位置关系是．5．（24-25七年级下·全国·课后作业）将两把完全一样的三角尺按如图所示的方式放置，则边AB∥CD的依据是．6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AD是一条直线，∠1=115°,∠2=65°，则EB与CF的位置关系是．7．（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理：．8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，如果∠1=60°，∠2=120°，∠D=60°，那么AB与CD平行吗？BC与DE呢？请说明理由．9．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，AB∥CD，E是射线CD上的一点，请用尺规作图法在AB上求作一点F，连接EF，使得EF∥AC．（保留作图痕迹，不写作法）10．（24-25七年级下·全国·期中）按要求完成下列说明过程．已知：如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D,E是AC上一点，且∠1+∠2=90°．请说明：DE∥BC．解：∵CD⊥AB（已知），∴∠ADC=_____________（_______________）．∴∠1+_____________=90°．∵∠1+∠2=90°（已知），∴_____________=_____________（_____________）．∴DE∥BC（__________________________）．11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β=90°，试说明：AB∥CD．12．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2=30∘，∠1=6013．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠EOB，OF平分∠AOE，GH⊥CD，垂足为H，试说明：GH∥

平行线及其判定【题型1平面内两直线的位置关系】

【题型2用直尺、三角板画平行】

【题型3平行线公理及推论】【题型4平行线判定-同位角相等，两直线平行】【题型5平行线判定-内错角相等，两直线平行】【题型6平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】考点1：平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.【题型1平面内两直线的位置关系】【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是平面上五条直线l1，l2，l3，l4，A．l1和l2平行，l3和l4平行 B．l1和lC．l1和l3不平行，l2和l3平行 D．l1和l【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的判定，对顶角相等，解题时关键是掌握平行线判定定理，根据同旁内角不互补，可得两直线不平行；根据内错角相等，可得两直线平行．【详解】解：∵92°+92°≠180°，∴l1和l∵对顶角相等，∴∠1=88°，∠2=88°，∴∠1=∠2=88°，∴l2和l∵92°+88°=180°，∴l4和l故选：C．【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（

）A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线D．不相交的两条直线是平行线【答案】C【分析】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义是解题的关键．根据平行线的定义判断求解即可．【详解】解：在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故A错误，不符合题意；同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B错误，不符合题意；同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故C正确，符合题意；同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故D错误，不符合题意；故选：C．【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列生活实例：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定．【详解】解：根据平行线的定义可知①③④是平行线，②天上的彩虹不是直线，故不是平行线，所以属于平行线的有3个，故选D．【变式1-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）在同一平面内，既不重合也不相交的两条直线的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交【答案】A【分析】本题考查平面内两线的位置关系，根据在同一平面内，既不重合也不相交的两条直线平行，即可得出结论．【详解】解：在同一平面内，既不重合也不相交的两条直线的位置关系是平行；故选A．【题型2用直尺、三角板画平行】【典例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点P为∠AOB内一点：(1)过点P画直线l1(2)过点P画直线l2【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查画平行线，利用同位角相等，两直线平行是解答的关键．（1）借助三角板和直尺画平行线即可；（2）借助三角板和直尺画平行线即可．【详解】（1）解：如图，直线l1（2）解：如图，直线l2【变式2-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）按要求完成下列各题：(1)如图1是一个正方形网格，在此网格中有直线AB与点C．①画直线CD∥AB；②画直线CE⊥AB，垂足为点F；(2)如图2，已知P是∠BAC的边AB上不同于A的一点，经过点P请作出AC的平行线PQ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了画垂线，平行线，作一个角等于已知角，平行线的判定；（1）①用直尺和三角板通过平移作直线CD∥AB；②用三角板或量角器过点C作CE⊥AB，垂足为F；（2）依据平行线的判定，作∠BPQ=∠BAC，则PQ即为所求．【详解】（1）解：①如图1，直线CD即为所求；②如图1，直线CE，垂足点F即为所求；（2）如图2，直线PQ即为所求．【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形ABC，点P在边BC上．(1)过点P画AB的平行线交AC于点T；(2)过点C画MN∥(3)直线PT_______MN（填位置关系）．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)∥【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识．（1）按照作平行线的方法画图即可；（2）按照作平行线的方法画图即可；（3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题．【详解】（1）解：如图，直线PT即为所求．（2）解：如图，直线MN即为所求．（3）解：∵PT∥AB，∴PT∥故答案为：∥．【变式2-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，按要求作图并解答问题．(1)过AC上一点D作AB的平行线，交BC于点E；(2)过点C作MN∥AB；(3)直线DE,MN的位置关系是什么？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)DE∥MN，见解析【分析】本题考查了平行线的作法，以及平行公理，关键是掌握平行于同一条直线的两直线平行．（1）根据平行线的定义画出图形；（2）根据平行线的定义画出图形；（3）根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可．【详解】（1）解：如图，直线DE即为所求，（2）解：如图，直线MN即为所求，（3）解：∵DE∥AB，MN∥AB，∴DE∥MN（平行于同一条直线的两直线平行）．

考点2：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性【题型3平行线公理及推论】【典例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果a∥b,b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是（

）A．等量代换B．两直线平行，同位角相等C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行D．平行于同一条直线的两条直线平行【答案】D【分析】根据平行线的判定定理解答即可．本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．【详解】解：如果a∥b,b∥c，那么a∥c，根据是平行于同一条直线的两条直线平行．故选：D．【变式3-1】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在同一平面内有a，b，c三条直线，若a∥b，且a与c相交，那么b与A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能确定【答案】B【分析】本题主要考查了平行线与相交线，根据平行于同一条直线的两条直线平行，进行判断即可．【详解】解：若a∥b，且a与∴b与c相交，故选：B．【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2025条互不重合的直线a1,a2,⋯,a2025，如果aA．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定【答案】B【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，然后求解即可．【详解】解：∵a1∴a1故选：B．【变式3-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可折叠的衣架，AB是地平线，如果PM∥AB,PN∥AB，那么就可确定点N,P,M在同一条直线上．依据是______（填序号）．①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【答案】②【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可，熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键．【详解】解：∵PM∥AB,PN∥AB，∴PM∥PN，∵过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，∴点N,P,M在同一条直线上，故答案为：②考点3：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。∵∠2＝∠3∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成：同旁内角互补，两直线平行。∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）【题型4平行线判定-同位角相等，两直线平行】

【典例4】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线AB，AC，CD被直线BE所截，CD平分∠ACE，已知∠3=∠5=60°，求证：AB∥CD．【答案】见详解【分析】本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质和平角定义，根据角平分线得∠1=∠2，结合已知得∠1=∠2=60°，那么，∠1=∠5，利用同位角相等两直线平行即可得AB∥CD．【详解】证明：∵CD平分∠ACE，∴∠1=∠2，∵∠3=∠5=60°，∴∠1+∠2=180°−∠3=120°，∴∠1=∠2=60°，∴∠1=∠5，∴AB∥CD．【变式4-1】（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图AF与BD相交于点C，∠B=∠ACB，且CD平分∠ECF．求证：AB∥请完成下列推理过程：证明：∵CD平分∠ECF，∴∠ECD=____________（____________）．∵∠ACB=∠FCD（____________）∴∠ECD=∠ACB（____________）∵∠B=∠ACB，∴∠B=∠____________（等量代换）．∴AB∥【答案】∠DCF；角平分线定义；对顶角相等；等量代换；ECD；等量代换；同位角相等，两直线平行【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，对顶角性质．首先根据角平分线定义，对顶角相等证明∠ECD=∠ACB，再证明∠B=∠ECD，然后根据同位角相等，两直线平行推出AB∥【详解】∵CD平分∠ECF，∴∠ECD=∠DCF（角平分线定义），∵∠ACB=∠FCD（对顶角相等），∴∠ECD=∠ACB（等量代换），∵∠B=∠ACB，∴∠B=∠ECD（等量代换），∴AB∥故答案为：∠DCF；角平分线定义；对顶角相等；等量代换；ECD；等量代换；同位角相等，两直线平行．【变式4-2】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）如图，已知∠1=∠3,∠2+∠3=180°，请说明AB与DE平行的理由．解：将∠2的邻补角记作∠4，则∠2+∠4=°（

）因为∠2+∠3=180°（

）所以∠3=∠4（

）因为（

）所以∠1=∠4（等量代换）所以AB∥DE（

）【答案】180，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，∠1=∠3，已知，同位角相等，两直线平行【分析】此题考查了平行线的判定，根据同角的补角相等得到∠3=∠4，等量代换得到∠1=∠4，则AB∥DE．【详解】解：将∠2的邻补角记作∠4，则∠2+∠4=180°（邻补角的定义）因为∠2+∠3=180°（已知）所以∠3=∠4（同角的补角相等）因为∠1=∠3（已知）所以∠1=∠4（等量代换）所以AB∥DE（同位角相等，两直线平行）故答案为：180，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，∠1=∠3，已知，同位角相等，两直线平行【变式4-3】（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知∠2=120°,∠1=60°，说明FD∥BC【答案】见详解【分析】本题考查了平行线的判定定理，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据邻补角的意义求出∠AED=60°，则得到∠1=∠AED，再根据同位角相等，两直线平行即可证明．【详解】证明：∵∠2与∠AED互为邻补角，∴∠2+∠AED=180°，∵∠2=120°，∴∠AED=60°，∵∠1=60°，∴∠1=∠AED，∴FD∥BC．【题型5平行线判定-内错角相等，两直线平行】【典例5】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，AE平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥解：∵∠BAG+∠AGD=180°（已知），∠AGC+∠AGD=180°（_______）∴∠BAG=∠AGC（_______）．∵AE平分∠BAG，∴∠1=1∵GF平分∠AGC，∴∠2=1得∠1=∠2（_______），∴AE∥GF（_______）．【答案】邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行；理由见解析【分析】本题主要考查平行线的判定，由题意可求得∠BAG=∠AGC，再由角平分线的定义得∠1=12∠BAG，∠2=12【详解】解：∵∠BAG+∠AGD=180°（已知），∠AGC+∠AGD=180°（邻补角的定义），∴∠BAG=∠AGC（同角的补角相等）．∵AE平分∠BAG，∴∠1=1∵FG平分∠AGC，∴∠2=1∴∠1=∠2（等量代换），∴AE∥故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．【变式5-1】（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）完成下面推理及填空：已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2=90°，求证：DE∥证明：∵CD⊥AB（已知）∴∠ADC=90°∴∠1+______=90°∵∠1+∠2=90°（已知）∴______=∠2（）∴DE∥BC（______）【答案】∠EDC，∠EDC，同角的余角相等，内错角相等，两直线平行【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据垂直的定义和同角的余角相等，可得到∠EDC=∠2，最后根据内错角相等两直线平行即可判定DE∥BC，从而得到答案．【详解】证明：∵CD⊥AB（已知）∴∠ADC=90°∴∠1+∠EDC=90°∵∠1+∠2=90°（已知）∴∠EDC=∠2（同角的余角相等）∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）故答案为：∠EDC；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行【变式5-2】（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，BD平分∠ABF交AE于点D，∠ABD=∠ADB，判断AE与BF的位置关系，并说明理由．【答案】AE∥【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．由BD平分∠ABF可得∠ABD=∠DBF，再由∠ABD=∠ADB可得∠DBF=∠ADB，即可说明AE∥【详解】解：AE∥∵BD平分∠ABF，∴∠ABD=∠DBF，∵∠ABD=∠ADB，∴∠DBF=∠ADB，∴AE∥BF．【变式5-3】（23-24七年级下·四川泸州·期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB请将下面的推理过程补充完整．证明：∵BE⊥FD（已知），∴∠EGD=90°（），∴∠1+=90°，又∵∠2和∠D互余（已知），∴∠2+∠D=，∴∠1=（），∵∠C=∠1（已知），∴∠C=∠2，∴AB∥CD（【答案】垂直的定义；∠D；90°；∠2；同角的余角相等；内错角相等【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．由BE⊥FD，∠2和∠D互余，利用垂直的定义和同角的余角相等得到∠1=∠2，再由∠C=∠1，可得∠C=∠2，利用内错角相等两直线平行即可得证．【详解】证明：∵BE⊥FD（已知），∴∠EGD=90°（垂直的定义），∴∠1+∠D=90°，又∵∠2和∠D互余（已知），∴∠2+∠D=90°，∴∠1=∠2（同角的余角相等），∵∠C=∠1（已知），∴∠C=∠2，∴AB∥故答案为：垂直的定义；∠D；90°；∠2；同角的余角相等；内错角相等．【题型6平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】【典例6】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，若∠A=114°，∠C=135°，∠1=66°，∠2=45°，试说明AD∥CF．【答案】见解析【分析】本题主要考查同旁内角互补、平行公理判断两直线平行，由∠A+∠1=180°可得AD∥BE，又由∠2+∠C=180°可得CF∥BE，则【详解】解：∵∠A=114°，∠C=135°，∠1=66°，∠2=45°，∴∠A+∠1=114°+66°=180°，∴AD∥BE，∵∠C+∠2=135°+45°=180°，∴CF∥∴AD∥CF．【变式6-1】（23-24八年级上·四川达州·期末）已知：如图，直线a，b被直线c所截，且∠1+∠2=180°．求证：a∥【答案】见详解【分析】此题考查了对顶角的性质和平行线的判定，掌握相关基本性质是解题的关键．根据对顶角相等并结合题意得到∠2+∠3=180°，再根据平行线的判定即可求解．【详解】证明：由对顶角相等可得：∠1=∠3，∵∠1+∠2=180°，∴∠3+∠2=180°，∴a∥【变式6-2】（23-24七年级下·广东广州·期末）完成下面的证明：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β=90°．求证：AB∥CD．证明：∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD=2∠α（

）．又∵DE平分∠BDC（

），∴∠BDC=______（

）．∴∠ABD+∠BDC=2∠a+2∠β=2∠a+∠β（

又∵∠a+∠β=90°（已知），∴∠ABD+∠BDC=（______）（

）．∴AB∥CD（

）．【答案】角平分线的定义；已知；2∠β；角平分线的定义；等量代换；180°；等量代换；同旁内角互补，两直线平行【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可．【详解】证明：∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD=2∠α（角平分线的定义）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC=2∠β（角平分线的定义）．∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2∠α+∠β∵∠α+∠β=90°（已知），∴∠ABD+∠BDC=180°（等量代换）．∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．【变式6-3】（23-24七年级下·云南·期中）如图，在四边形ABCD中，∠D=100°，CA平分∠BCD，且∠ACB=40°，∠BAC=70°．AD与BC平行吗？试写出推理过程．【答案】平行，见详解【分析】本题考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行是解题的关键；根据角平分线的定义，可得∠BCD=2∠ACB=80°，再由同旁内角互补，即可证明平行．【详解】解：AD与BC平行，理由如下：∵CA平分∠BCD，∠ACB=40°，∴∠BCD=2∠ACB=80°，∵∠D=100°，∴∠BCD+∠D=80°+100°=180°，∴AD∥BC．一、单选题1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，①∠1=∠3，②∠2=∠3，③∠1=∠4，④∠2+∠5=180°可以判定b∥c的条件有（A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，平行线的判定定理主要有：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据平行线的判定定理逐个排查即可．【详解】解：①由于∠1和∠3是同位角，则①可判定b∥②由于∠2和∠3是内错角，则②可判定b∥③由于∠1和∠4既不是同位角、也不是内错角，则③不能判定b∥④由于∠2和∠5是同旁内角，则④可判定b∥即①②④可判定b∥故选A．2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，∠B的内错角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【答案】A【分析】本题主要考查三线八角，理解图示，掌握三线八角的定义，数形结合分析是解题的关键．利用内错角定义可得答案．【详解】解：A、∠B的内错角是∠1，故此选项符合题意；B、∠B与∠2是同旁内角，故此选项不合题意；C、∠B与∠3是同位角，故此选项不合题意；D、∠B与∠4不是内错角，故此选项不合题意；故选：A．3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，与∠5是内错角的是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【答案】C【分析】本题考查内错角，关键是掌握内错角的定义．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断．【详解】解：直线a，b被直线c所截，则∠5的内错角是∠3．故选：C．二、填空题4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知∠A=∠1,∠D=∠2，则AB与CD的位置关系是．【答案】AB【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角相等，因为∠A=∠1,∠D=∠2，∠1=∠2，所以∠A=∠D，则AB∥【详解】解：∵∠A=∠1,∠D=∠2，∠1=∠2，∴∠A=∠D，∴AB∥故答案为：AB5．（24-25七年级下·全国·课后作业）将两把完全一样的三角尺按如图所示的方式放置，则边AB∥CD的依据是．【答案】内错角相等，两直线平行【分析】本题考查平行线的判定知识点，解题的关键是找出图中相等的内错角来判定两直线平行．通过观察两个一样的三角尺放置后的图形，找到与直线AB，CD相关的内错角，根据平行线的判定定理得出结论．【详解】如图，因为是两把完全一样的三角尺，所以图中∠BAO和∠OCD是相等的（三角尺对应的角相等），而∠BAE和∠FCD是直线AB与CD被直线AC所截形成的内错角．所以根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，可以得出AB∥CD．故答案为：内错角相等，两直线平行6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AD是一条直线，∠1=115°,∠2=65°，则EB与CF的位置关系是．【答案】EB【分析】本题考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，即可求解．【详解】解：∵∠1=115°,∠2=65°，∴∠1+∠2=180°，∴EB故答案为：EB∥7．（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理：．【答案】同位角相等，两直线平行【分析】本题考查作图一复杂作图，解题的关键是掌握平行线的判定定理．根据同位角相等，两直线平行作答即可【详解】解：利用移动三角尺的方法，过已知直线外一点画它的平行线其根据是同位角相等，两直线平行．故答案为∶同位角相等，两直线平行．三、解答题8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，如果∠1=60°，∠2=120°，∠D=60°，那么AB与CD平行吗？BC与DE呢？请说明理由．【答案】AB∥CD，【分析】本题考查了平行线的判定，根据对顶角的性质求出∠ABC=60°，然后可