2026-2027学年江苏省南京市七校高一（上）调研数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年江苏省南京市七校高一（上）调研数学试卷（10月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（）A.88 B.89 C.90 D.912.复数z满足（1+2i）z=2-i，则z的虚部是（）A.-i B.- C.-i D.-13.等差数列{an}与等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2=b2≠1，a4=b3，则等比数列{bn}的公比q=（）A.1 B.2 C.3 D.4.已知集合A={x|1＜x＜2}，集合B={x|x＞m}，若A∩（∁RB）=∅，则m的取值范围为（）A.（-∞，1] B.（-∞，2] C.[1，+∞） D.[2，+∞）5.已知，则=（）A. B. C. D.6.为贯彻落实国家关于开展中小学研学旅行的文件精神，搭建中学与高校交流的平台，拓展学生视野，今年某中学计划开展暑期“双高互动”之旅夏令营活动，学生可自愿报名.其中有4名教师和6名学生报名，将报名的教师和学生分成2个组，分别安排到两所高校，要求每个组由2名老师和3名同学组成，则学生甲和学生乙不去同一所高校的概率为（）A. B. C. D.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为4，点E，F，G分别是棱BB1，B1C1，CC1的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面面积为（）A.12 B.18 C.24 D.368.已知函数，若存在x1，，使得f（x1）•f（x2）=-1，则ω的最小值为（）A.1 B.2 C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知函数f（x）=xa的图象经过点，则下列结论正确的有（）A.f（x）的图象经过点 B.f（x）的图象关于y轴对称

C.f（x）在（0，+∞）上单调递减 D.当x＜0时，f（x）≤-x-2恒成立10.如图，正三角形ABC的边长为2，动直线l过△ABC的重心G，且与线段AB，AC分别交于D，E两点，设AD=h,AE=k,则（）A.1≤h≤2，且1≤k≤2

B.存在h,k,使

C.DE•cos∠ADE的取值范围为

D.△ADE面积的最小值为11.设f（x）是定义在R上的可导函数，且f（x）＞0，记F（x）=[f（x）]3.若对任意x∈R，F′（x）＞3xF（x）恒成立，则（）A.f′（x）＞xf（x） B.在R上单调递减

C. D.F（log23）＞F（log34）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若ab2=2，则=

.13.一圆台的上、下底面半径分别是1cm和2cm,它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的高是

cm.14.在△ABC中，若，则tanA+5tanB的最小值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，S5=30.

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）设，求{bn}的前n项和Tn.16.(本小题15分)

国庆节期间某学习小组组织一场有奖竞答，选手需要回答两类问题，其中第一类题答对得5分，不对得0分，第二类题答对得10分，不对得-5分.已知某选手回答第一类题正确的概率是，回答第二类题正确的概率是，且两类题回答正确与否相互之间没有影响，若总分不低于5分就可获奖.

（1）求该选手至少答对一类问题的概率；

（2）求该选手总得分X的分布列；

（3）求该选手成功获奖的概率.17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB.

（1）证明：AB⊥AP；

（2）AD=2，CD=1，当平面PAC与平面PAD的夹角的余弦值为时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.18.(本小题17分)

函数，a2+b2≠0.因为的平方和是1，存在角θ∈[0，2π），使得，，θ称为f（x）的辅助角，因此.

（1）函数f（x）=msinx+ncosx,

①当m=3，n=-4，f（x）辅助角为θ，求；

②当，在锐角△ABC中，已知BC=2，角B等于f（x）的辅助角，求△ABC面积的取值范围.

（2）g（x）=sinx+bcosx,b∈[1，2]，g（x）在x=x0时取到最大值，记，求H（b）最小值.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=ex-x-1，g（x）=kx2.

（1）记h（x）=f（2x）+f（x），求h（x）的最小值；

（2）记m（x）=f（-x）-g（x），若m（x）在区间（0，+∞）上有唯一极值点x1和唯一零点x2.

①求k的取值范围；

②比较2x1和x2的大小.

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】AD

11.【答案】ACD

12.【答案】1

13.【答案】

14.【答案】3

15.【答案】解：（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，S5=30，

设公差为d,可得5×2+10d=30，解得d=2，

所以an=2+2（n-1）=2n.

（2）由（1）可知an=2n,

则，可得，

可知数列{bn}是首项b1=4，公比为4的等比数列，

所以．

16.【答案】解：（1）记“回答第一类题正确”为事件A，“回答第二类题正确”为事件B，

已知，且两类题回答正确与否相互独立，

该选手两类题均未答对的概率为，

则至少答对一类问题的概率为．

（2）由题意得总得分X的可能取值为-5，0，10，15，

则，

，

，

，

其分布列如下：X-5010

15P（3）由题意知满足中奖条件的得分为10分和15分，

其概率为．

17.【答案】解：（1）证明：如图，过点D作DE⊥AP，垂足为E，

∵平面PAD⊥平面PAB，且平面PAD∩平面PAB=AP，DE⊂平面PAD，

∴DE⊥平面PAB，

又∵AB⊂平面PAB，∴DE⊥AB，

∵PD⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，∴PD⊥AB，

又∵DE∩PD=D，DE，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，

又PA⊂平面PAD，∴AB⊥AP．

（2）由（1）可知，AB⊥AD，故四边形ABCD为矩形，

∵PD⊥平面ABCD，设PD=t,

以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP为x,y,z轴正方向建系，如图所示，

则A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），P（0，0，t），

∴，

由（1）可知，DC⊥平面PAD，∴平面PAD的一个法向量是，

设平面PAC的一个法向量为，

则，

∴，令x=t,则y=2t,z=2，

∴，

∴，解得t=2，

又DE⊥平面PAB，AD=PD，∴E为PA中点，

∴平面PAB的法向量为，

设直线PC与平面PAB所成的角为θ，

则．

18.【答案】（1）解：①由题意，

有，

所以；

②，所以，

由题意，a=2，由正弦定理，得，

所以△ABC面积

=，

因为△ABC为锐角三角形，所以，，所以，

所以，，

即△ABC面积的取值范围为；

（2）解：由题意得，其中tanφ=b,b∈[1，2]．

因为g（x）在x=x0处取得最大值，故，k∈Z，

即，k∈Z，故，

化简得

令，因为在区间[1，2]上单调递增，所以，

记，

因为p（t）在单调增，所以H（b）最小值为1．

19.【答案】解：（1）因为f（x）=ex-x-1，所以f（2x）=e2x-2x-1，

所以h（x）=f（2x）+f（x）=e2x-2x-1+ex-x-1=e2x+ex-3x-2，x∈R，

求导得h′（x）=2e2x+ex-3，令h′（x）=0，设t=ex（t＞0），则方程化为2t2+t-3=0，解得正根t=1，即ex=1，得x=0，

当x＞0时，ex＞1，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x＜0时，ex＜1，h′（x）＜0，h（x）单调递减；

所以x=0是h（x）的极小值点，也是最小值点，h（0）=e0+e0-0-2=0，

所以h（x）的最小值为0；

（2）①因为f（x）=ex-x-1，g（x）=kx2，

所以m（x）=f（-x）-g（x）=e-x+x-1-kx2，x∈（0，+∞），

求导得m′（x）=-e-x+1-2kx,

令p（x）=m′（x）=-e-x+1-2kx,则p′（x）=e-x-2k,

当时，x＞0时，e-x∈（0，1），所以p′（x）=e-x-2k＜1-2k≤0，p（x）在（0，+∞）单调递减，

又因为p（0）=-1+1=0，所以当x＞0时，p（x）＜p（0）=0，即m′（x）＜0，m（x）在（0，+∞）单调递减，无极值点，不符合题意；

当k≤0时，p′（x）=e-x-2k＞0，p（x）在（0，+∞）单调递增，

又因为p（0）=0，所以当x＞0时，p（x）＞p（0）=0，即m′（x）＞0，m（x）在（0，+∞）单调递增，无极值点，不符合题意；

当时，令p′（x）=0，得e-x=2k,即，

当时，p′（x）＞0，p（x）单调递增；当时，p′（x）＜0，p（x）单调递减；

所以p（x）在处取得最大值，且p（0）=0，所以在上p（x）＞0，

又x→+∞时，p（x）=-e-x+1-2kx→-∞，由零点存在定理，p（x）在上有唯一零点x1，即m′（x）在（0，+∞）上有唯一零点x1，

当x∈（x1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减；当x∈（0，x1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增；

所以x1是m（x）的唯一极大值点，满足“唯一极值点”的条件，

因为m（0）=e0+0-1-0=0，由m（x）在（0，x1）递增，得x∈（0，x1）时，m（x）＞m（0）=0，无零点；

所以m（x）在x1处取得最大值m（x1），则m′（x1）=0，所以，即，

，

令，φ′（t）=，

由t＞0时，et＞1+t,得（1+t）e-t＜1，所以φ′（t）＞0，φ（t）在（0，+∞）单调递增，

又φ（0）=0，因此φ（t）＞0，即m（x1）=φ（x1）＞0，

又x→+∞时，m（x）→-∞，由零点存在定理，m（x）在（x1，+∞）上有唯一零点x2，满足“唯一零点”的条件；

综上，k的取值范围为．

②由x1是极值点，得m′（x1）=0，即，

利用m（x）在（x1，+∞）单调递减的性质，只需判断m（2x1）与0=m（x2）的大小关系，

因为，

所以

=，

令F（t）=e-2t+2te-t-1