2026-2027学年山西省忻州市定襄县定襄中学校高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年山西省忻州市定襄县定襄中学校高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.据《焦点访谈》2026年9月28日报道，第48届世界技能大赛在上海举办，共有m=68个国家和地区参赛，n=1385名选手同台竞技.设集合A={x|x≤70}，B={x|x≥1000}，则下列判断正确的是(

)A.m∈A，n∈B B.m∉A，n∈B

C.m∈A，n∉B D.m∈∁R2.下列说法正确的是(

)A.反比例函数y=2x的自变量的取值组成的集合为R

B.所有的素数都是奇数

C.集合{a,b,c}的真子集有6个

D.方程3.设A为非空实数集，集合B={xy|x∈A,y∈A,x≠y}，则对于以下两个结论说法正确的是(

)

结论①：若A是五元集，则B中的元素最多10个；

结论②：存在四元集A，使得B={2,4,5,8,10,16}．A.①对②对 B.①对②错 C.①错②对 D.①错②错4.已知集合P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，Q⊆P，Q={a1,a2,⋯,ak}，对A.5 B.6 C.7 D.85.下列关系正确的是(

)

①0⊆{0}②{0}∈{1,0} ③0∈⌀

④⌀⊆{⌀}⑤⌀∈{⌀}⑥⌀⊆{0}

⑦⌀∈{0}⑧{2,3}⊆{{1,2}，{2,3}}A.①②⑧ B.③⑦ C.④⑤ D.④⑤⑥6.已知非空数集U满足：若任意x、y∈U，则x+y∈U，xy∈U，且U≠R，给出以下命题：①若U是有限集，则U={0}；②若1∈U，则N⊂U；③若1∈U，−1∈U，则U=Q；④存在集合U，使得Q⊂U⊂R；则真命题的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.47.学校组织“非遗手工体验”“校园植物观察”“传统诗词诵读”三项活动，某班共有30名同学报名，每名同学至少参加一项活动.已知参加“非遗手工体验”的有18人，参加“校园植物观察”的有15人，参加“传统诗词诵读”的有14人，至少参加了两项活动的有13人，则同时参加了三项活动的人数为(

)A.3 B.4 C.6 D.88.下列说法正确的是(

)A.“a<1”是“1a>1”的充要条件

B.“|x|>|y|”是“x>y”的必要条件

C.“6x2+11x−10<0二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.命题“∃x>0，x2−2x>0”的否定是“∀x>0，x2−2x≤0”

B.集合{x|y=x2}与集合{(x,y)|y=x2}是同一个集合

C.集合A={1,3}，B={x|mx+2=0}，若A∪B=A，则符合条件的实数10.设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：

(1)对任意x，y∈S，若x≠y，则x+y∈T；

(2)对任意x，y∈T，若x≠y，则x−y∈S．

则下列说法正确的是(

)A.若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数

B.若S只有2个元素，则S∪T一定有3个元素

C.存在含有3个元素的集合S，满足S∪T有4个元素

D.不可能存在含有3个元素的集合S11.下列说法正确的是(

)A.已知全集为U，则A⊆B和A∩(∁UB)=⌀等价

B.⌀与{⌀}是同一个集合

C.{x|x=k3+16,k∈Z}真包含于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设D={(x,y)|y=x2}，则(−1,1)

D.(选填“∈”、“∉13.对于k=0，1，2，…，定义集合Ak={20+k,26+2k}，并且记Sk=A0∪A114.若集合A={a|a=5x+17y,x、y∈N}，则A

N(用“∈、∉、⊆、⊇、=”其中一个填空)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

我们知道，如果集合A⊆S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为∁SA={x|x∈S,x∉A}，类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A−B.据此回答下列问题：

(1)若A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，求A−(A−B)；

(2)若A={x|x>0}，B={x||x−1|≤2}，求A−B；

(3)若集合A={x|0<ax−1≤5}，集合B={x|−12<x≤2}，且16.(本小题15分)

设数集A由实数构成，且满足①0∉A，1∉A；②若t∈A，则11−t∈A．

(1)若2∈A，则在A中必含有其他两个数，试求出这两个数；

(2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由；

(3)若集合A中的元素个数不超过8，所有元素的和为143，且集合A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合17.(本小题15分)

对于定义在R上的函数f(x)，若∃x0∈R，使得f(x0)=x0成立，则称x0为函数f(x)的不动点．

(1)若f(x)=x2−x+1，求y=f(x)的不动点；

(2)对于二次函数f(x)=2x2−(2+a)x+a−1．

(i)当0<x<2时，函数g(x)=f(x)+2有唯一的不动点，求实数a的取值范围；

18.(本小题17分)

高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数y=[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.2]=1，[−1.2]=−2．

(1)求−52≤[x]≤52的解集和2[x]2−11[x]+15≤0的解集；

(2)求方程[x]+|x−1|=3的解集；

(3)若19.(本小题17分)

已知函数y=x(10−x)，x∈R，

(1)求使得该函数有意义的x的取值范围；

(2)求该函数的最大值；

(3)设该函数的最大值为t，当a<1时，求ta+1a−11.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】ABD

11.【答案】AC

12.【答案】∈

13.【答案】19

14.【答案】⊇

15.【答案】解：(1)A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，

由差集定义，A−B={x|x∈A且x∉B}．

∴A−B={1,2}．

∴A−(A−B)={x|x∈A且x∉{1,2}}={3，4}．

(2)由|x−1|≤2得−1≤x≤3，即B=[−1,3]．

又A={x|x>0}，由差集定义，A−B={x|x>0且x∉[−1,3]}．

当x>0时，x∉[−1,3]等价于x>3，所以A−B=(3,+∞)．

(3)由A−B=⌀得A⊆B，其中B=(−12,2]．

当a=0时，0<−1≤5不成立，

∴A=⌀，此时A⊆B，∴a=0符合题意．

当a>0时，由0<ax−1≤5，得1a<x≤6a，

即A=(1a,6a].由A⊆B，需6a≤2，解得a≥3；

左端点条件1a>−12自动成立．

当a<0时，由0<ax−1≤5得6a≤x<1a，即A=[6a16.【答案】解：(1)已知2∈A，由条件②，将t=2代入11−t：

11−2=−1∈A，

将t=−1代入：11−(−1)=12∈A，

故A中必含的另外两个数为−1、12．

(2)至少含3个元素，理由如下：

任取t∈A，由条件②知，11−t∈A，11−11−t=t−1t∈A，

若t、11−t、t−1t中有两个相等，不妨设t=11−t，可得t2−t+1=0，

Δ=1−4=−3<0，则方程t2−t+1=0无实数解，

同理可知t≠t−1t，11−t≠t−1t，即t、11−t、t−1t两两不相等，故A中至少含3个元素．

(3)集合元素个数为3的倍数，且不超过8，则元素个数为3或6，

若元素个数为3，三元组乘积为t⋅11−t⋅t−1t=−1，其中一个元素的平方等于总乘积，

即x2=−1，无实数解，舍去；

若元素个数为6，是2组三元组循环，总乘积为(−1)×(−1)=1，由x2=1得x=±1，

17.【答案】解：(1)由f(x)=x得x2−x+1=x，即x2−2x+1=0，解得x=1，

所以y=f(x)的不动点为x=1．

(2)(i)g(x)=f(x)+2=2x2−(2+a)x+a+1，由g(x)=x得2x2−(3+a)x+a+1=0，

即(x−1)[2x−(a+1)]=0，所以x1=1，x2=a+12．

当a+12=1，即a=1时，方程只有一解x=1∈(0,2)，符合题意；

当a≠1时，要使方程在(0,2)内有唯一解，只能让x2=a+12不在(0,2)内，即a+12≥2或a+12≤0，

解得a≥3或a≤−1．

综上，a的取值范围为{1}∪(−∞,−1]∪[3,+∞)．

(ii)由f(x)=x得2x2−(3+a)x+a−1=0，它有两个不相等的正根x1、x2，

所以x1+x2=3+a2>018.【答案】(1)解：函数y=[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，

∵[x]为整数，由−52≤[x]≤52得[x]∈{−2,−1,0,1,2}，

可得x∈[−2,−1)∪[−1，0)∪[0,1)∪[1，2)∪[2,3)=[−2，3)，

故−52≤[x]≤52的解集为[−2,3)；

由2[x]2−11[x]+15≤0得(2[x]−5)([x]−3)≤0，即52≤[x]≤3，

∵[x]为整数，∴[x]=3，从而x∈[3,4)，故2[x]2−11[x]+15≤0的解集为[3,4)．

(2)解：设[x]=n，其中n∈Z，则x∈[n,n+1)，原方程化为|x−1|=3−n，∴n≤3．

①当x≥1时，x−1=3−n，∴x=4−n，由n≤4−n<n+1得32<n≤2，

∵n为整数，∴n=2，x=2，经检验满足原方程；

②当x<1时，1−x=3−n，∴x=n−2，由n≤x得n≤n−2，矛盾，故此时无解．

综上，方程的解集为{2}．

(3)由[x]2−2[x]−a2+1≤0得([x]−1)2≤a2，即|[x]−1|≤|a|，∴1−|a|≤[x]≤1+|a|．

∵原不等式的解集为[0,3)，

∴满足不等式的[x]的取值恰好为0，1，2，即区间[1−|a|,1+|a|]中的整数恰好为0，1，219.【答案】解：(1)要使函数y=x(10−