北京市通州区2026-2027学年第一学期高三年级期中质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市通州区2026-2027学年第一学期高三年级期中质量检测数学试卷一、选择题1.已知集合M=xx<2，N=0,1,2,3，则M∩N=A.0,1 B.0,1,2 C.x0<x<1 D.2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=(

)A.1+2i B.−2+i C.1−2i D.−2−i3.已知a,b为正实数，则2a>2b是loA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知数列an满足a1=1，an+1=A.2500 B.2600 C.4950 D.50505.已知数列an为等比数列，且a1=3，公比q=−2，则数列an+2n的前A.121 B.129 C.185 D.2416.若m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是(

)A.若m//α，m//n，n⊄α，则n//α

B.若m⊥α，m//β，则α⊥β

C.若α//β，m⊥α，n⊂β，则m⊥n

D.若m//α，n//α，则m//n7.已知函数fx=23sinωxcosωx−cos2ωxω>0，若对于任意x，都有A.x=−π6 B.x=−π12 C.8.已知定义在R上的奇函数fx=ax+b①fx在区间−∞,+∞②fx在区间−∞,+∞③fx在区间−∞,+∞④fx在区间−∞,+∞上有最大值A.1 B.2 C.3 D.49.已知函数fx=x2−ax+a,x≤1x−2alnx,x>1，若关于x的不等式fA.0,1 B.0,e2 C.0,2 10.在▵ABC中，∠B=60∘，D是AC的中点，AE=12AB+AC，AF=1A.113 B.133 C.6 二、填空题11.已知函数fx=4x−1，则f−12=12.已知向量a，b满足a=1,−1，b=2，a⋅b=2，则13.如图所示，三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB⊥AD，且AB=AC=AD=2,∠ABC=∠ADC=60∘，点E为BD的中点，EF=AC，则三棱锥F−BCD的体积为

；AF14.如图，已知OPQ是以O为圆心，OP为半径的扇形舞台，且∠POQ=2π3，OP=20米，现对舞台进行改造，要在扇形OPQ内做一个矩形可升降舞台ABCD，点A，B分别在线段OP，OQ上，且OA=OB，点C，D在弧PQ上，则可升降舞台ABCD面积的最大值约为

(精确到0.1平方米)(参考数值2≈1.41

15.设数列an的前n项和为Sn，若存在非零实数b、c，使得对于任意n∈N∗，都有2S①若Sn=4n2，则数列②若an=n2，则数列③存在等差数列an具有性质p④存在等比数列an具有性质p其中所有正确结论的序号是

．三、解答题16.已知函数fx=2sin2x+φ(1)求fx(2)求fx在区间−π17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1，(1)求证：A1F//平面(2)求平面BCC1B(3)求点B1到平面BDE的距离．18.在▵ABC中，a=5，csin2B=b(1)求B；(2)再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使▵ABC存在且唯一，求▵ABC的面积．条件①：b+c=15；条件②：bsin条件③：cosA=注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19.已知函数fx=(1)当a=2时，求曲线y=fx在点0,f(2)求fx(3)若不等式fx<0恰有2个整数解，求a的取值范围．(直接写出结果即可20.已知函数fx=lnx+1(1)求fx(2)求证：当0<m<12e时，(3)设函数Fx=ex+n−fxn∈R，若对于任意的实数a，Fx21.若非空数集S满足，不存在x，y，z∈S，使得x+y=z(允许x=y)，则称S为无和集．无和集S的元素个数记为S．(1)直接判断集合A=3,4,5和B=(2)设集合U=1,2,⋯,m,m+1,⋯,2m，无和集S⊆U，求S(3)设正整数集为N，若不存在无和集D，使得无和集S⫋D⊆N，求证：1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】B

10.【答案】B

11.【答案】−12

；

；

12.【答案】1013.【答案】13

；

；

；

；

；；14.【答案】230.7

15.【答案】③④

16.【答案】解：(1)因为函数fx=2sin所以2sinπ+φ=−2又0<φ<π2，所以φ=π所以fx的最小正周期T=令2kπ−π2≤2x+所以fx的单调递增区间为−(2)因为x∈−π2可得sin2x+当2x+π3=−π2，即x=−当2x+π3=π6，即x=−

17.【答案】解：(1)取BE的中点为G，连接FG,DG，因为F为B1C1而AD=1，CE=2，则A1D=2，C1所以FG//A1D,FG=故A1F//DG，而DG⊂平面BDE，A1F⊄平面BDE，故(2)在直三棱柱ABC−A1B1C因为AC,BC⊂平面ABC，所以CC1因为AC⊥BC，所以以C点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则B0,2,0,D2,0,1设平面BDE的一个法向量为n=则n⋅DE=−2x+z=0n⋅所以平面BDE的一个法向量可以为n=由题意可得平面BCC1B设平面BCC1B1与平面则cosθ=所以平面BCC1B1与平面(3)由题意得B1=0,2,3所以点B1到平面BDE的距离为B

18.【答案】解：(1)因为csin2B=bsin即2sin且B,C∈0,π，则sinB,sin即cosB=12(2)若选择条件①：因为b+c=15，即b=15−c，且a=5，由余弦定理可得b2即15−c2=25+c2−5c，解得c=8所以▵ABC的面积为12若选择条件②：因为bsinA=5由正弦定理可得asinA=这与a=5相矛盾，▵ABC不存在；若选择条件③：因为cosA=1114，且A∈由正弦定理可得asinA=由余弦定理可得b2即49=25+c2−5c，解得c=8或c=−3(舍去)所以▵ABC的面积为12

19.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=ex−2x且f′(x)=ex−2，在x=0则切线方程为y−1=−1⋅(x−0)，整理得x+y−1=0．(2)由题意得f′(x)=e当a≤0时，因为ex>0恒成立，因此此时f(x)的单调递增区间为R，无单调递减区间．当a>0时，令f′(x)=ex−a=0当x∈(−∞,lna)时，f′(x)<0，当x∈(lna,+∞)时，f′(x)>0，此时f(x)的单调递增区间为(lna,+∞)，单调递减区间为综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为R，无单调递减区间，当a>0时，f(x)的单调递增区间为(lna,+∞)(3)当a=0时，f(x)=e当a<0时，由(2)知f(x)在R上单调递增，且当x→−∞时，f(x)→−∞，因此会产生无数个负整数解，不符合题意，所以a>0，且f(x)=ex−ax<0的整数解只能是正整数(若x≤0ex−ax<0⇒ax>e题意转化为y=a在y=g(x)图象的上方，且恰好覆盖2个正整数的横坐标，g′(x)=e当0<x<1时，g′(x)<0，gx当x>1时，g′(x)>0，gx所以g(x)min=g(1)=e，因为gx在若只有2个解，则这2个解一定是最小的两个正整数x=1和x=2，进而有a>g(2)a≤g(3)，即g(2)<a≤g(3)，即e综上，a的取值范围是(e

20.【答案】解：(1)函数fx=lnx+1x当x∈0,1时，f′x>0，当x∈所以函数fx在区间0,1上单调递增，在区间1,+∞当x→0+时，fx→−∞，当所以函数fx在x=1处有最大值为f(2)函数gx=ln令tx=−lnx+mx2,x>0当x∈0,2m2m时，t′x所以函数tx在区间0,2m因为t1=m>0，因为0<m<12e，所以2m2m∈所以∃x0∈所以当x∈1,x0时，g′x>0所以函数gx在区间1,x0所以函数gx(3)因为对于任意的实数a，Fx的图象在区间1,+∞上与曲线x−a所以当x∈1,+∞时，函数Fx>1由题意可得Fx由(1)可得，当x∈1,+∞时，又因为x∈1,+∞时，ex≥e故Fx>1，即ex令mx=e当x∈1,+∞所以mx所以e−2>−n，即n>2−e，所以实数n的取值范围为2−e,+∞．

21.【答案】解：(1)A=3,4,5，任意x,y∈A，x+y≥6，均不在A中，故AB=0,1,2，取0,2,2∈B，满足0+2=2，故B(2)取S={m+1,m+2,…,2m}，共m个元素，任意x,y