江苏省无锡外国语学校2026-2027学年九年级上学期10月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年江苏省无锡外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列是一元二次方程的是（）A.x2+x=2y B.2x2=1 C.ax2+bx+c=0 D.x2+x+12.用配方法解一元二次方程x2-6x-2=0时，配方后的方程是（）A.（x-3）2=11 B.（x-3）2=7 C.（x-6）2=38 D.（x-6）2=343.如图，直线a∥b∥c,分别交直线m,n于点A，B，C，D，E，F.若AC：BC=5：2，DE=6，则EF的长为（）A.4

B.5

C.6

D.14.如果两个相似三角形的面积比为1：2，那么它们的对应角平分线的比为（）A.1：4 B.1：2 C.1：16 D.5.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.若每天“遗忘”的百分比是一样的，且设为x,根据“两天不练丢一半”，可得方程（）A.（1+x）2=1 B. C.（1-x）2=1 D.6.若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根为x=2024，则一元二次方程a（x-1）2+bx-b+2=0必有一根为（）A.2022 B.2023 C.2024 D.20257.如图，在▱ABCD中，E为AD上一点，延长DC至点F，连接AF、EF.若AF=10，AE=8，∠AFE=∠B，则AD的长为（）

A.10 B. C. D.8.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、D分别在反比例函数上，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于O，延长AD交x轴于点E，若AD=2DE，▱ABCD的面积为16，则k的值为（）A.3

B.

C.

D.69.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，△ADE的顶点D在BC上运动，且∠DAE=90°，∠ADE=∠B，F为线段DE的中点，连接CF，在点D运动过程中，线段CF长的最小值为（）

A.1 B.2 C. D.10.定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）=y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”.已知点P1（1，0），有下列结论：

①点Q1（3，8），Q2（-2，-2）都是点P1的“倍增点”；

②若直线y=x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；

③反比例函数上存在两个点是点P1的“倍增点”；

④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；

其中，正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。11.若=，则的值为

．12.已知反比例函数y=的图象在第二、四象限，则m的取值范围是

．13.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+3x+k2-1=0的一个根为0，则k的值为

.14.如图，P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB=2，则AP的长为

.15.如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E在AB边上且BE=2AE，BD交CE于点F，则的值是

.

16.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△ABC与△A'B'C的面积之比为4：9．若点B的对应点B'的横坐标是2，则点B的横坐标是

．

17.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．矩形EFGH的顶点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上（点E与点A，D不重合，AE＞ED）．若对于定点E，矩形EFGH唯一确定，则DE的长为

．

18.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，将四边形ABCE沿直线CE折叠，点A、B的对应点分别为点N、M，AD的延长线分别与MN、CM延长线交于点F、G.若F为MN的中点，连接ND并延长，分别交CE、BC于点P、Q，则=

.

三、计算题：本大题共3小题，共26分。19.用合适的方法解方程：(1)（x-2）2-9=0(2)（x+6）2=5（x+6）20.用指定的方法解方程：(1)（用公式法）2x2-3x-1=0(2)（用配方法）x2-10x+16=021.悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县，因汝南素有天下正中之称，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔.某数学小组测量该塔MN的高度，如图，先在点A处放一平面镜，沿NA方向前进1m到达B处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部M，再沿NA方向前进8m,将另一平面镜放在D处，此时在距离该平面镜1.6m的E处恰好再次看到塔的顶部M.已知观察者眼睛到地面的距离CB=FE=1.7m,点E，D，B，A，N在同一条直线上，求悟颖塔MN的高度（结果保留整数）.四、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。22.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2-2x-m=0.

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足x1+2x2=5，求实数m的值.23.(本小题8分)

如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N.

（1）求证：BD2=AD•CD.

（2）若CD=6，AD=8，求DN的长.24.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（2，6）和点B（-4，m）.

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）根据图象，直接写出关于x的不等式k1x+b≥的解集；

（3）已知点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为15，求点C的坐标.25.(本小题8分)

如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB＞BC(1)尺规作图：①在边AB上找一点D，使∠ADC=120°；

②在边AC上找一点E，使∠EDC=30°．（不写作法，保留痕迹）(2)在（1）的条件下，的值为

26.(本小题8分)

综合与实践

【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为5.5～6.5米．

【数据收集】我市某小区地下车库分为A，B，C，D，E等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元．

【建立模型】(1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为544m2时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？(2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？27.(本小题10分)

如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（3，0）.P是反比例函数的图象在第一象限内的一动点，当AP∥x轴时，△PAB的面积为.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）如图2，当点P在射线OA上时，Q为x轴正半轴上一点，若以P，O，Q为顶点的三角形与△OAB相似，求点Q的坐标；

（3）若点P是使△PAB的面积取得最小值的点，将线段AB沿着x轴向右平移n个单位长度，平移后对应的线段为CD，CD的垂直平分线恰好经过点P，求n的值.

28.(本小题12分)

【情境】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点（不与B、C重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，CE．点F是DE中点，连接AF并延长交BC的延长线于点G．

【探究】(1)如图1，若BD=2CD．

①判断线段AF与BC之间的数量关系，并说明理由；

②若AB=3，求CG的长度．

【拓广】(2)如图2，若BD=nCD，在AB上取一点M，使得AM=BM，连接EM并延长交CB的延长线于点N，请直接写出=

（用含n的式子表示）．

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】B

10.【答案】B

11.【答案】

12.【答案】m＜5

13.【答案】-1

14.【答案】-1

15.【答案】

16.【答案】-3

17.【答案】

18.【答案】

19.【答案】【小题1】（x-2）2-9=0，

整理得：（x-2）2=9，

直接开平方得：x-2=±3，

解得：x1=5，x2=-1【小题2】（x+6）2=5（x+6），

整理得：（x+6）2-5（x+6）=0，

因式分解得：（x+6）（x+6-5）=0，

即（x+6）（x+1）=0，

解得：x1=-6，x2=-1

20.【答案】【小题1】∵a=2，b=-3，c=-1，

∴Δ=（-3）2-4×2×（-1）=17，

∴x=，

∴x1=，x2=【小题2】x2-10x+16=0，

x2-10x=-16，

x2-10x+25=9，

（x-5）2=9，

x-5=±3，

所以x1=8，x2=2

21.【答案】解：根据题意得：AB=1m,DE=1.6m,BD=8m,∠MAN=∠CAB，∠MDN=∠FDE，CB=FE=1.7m,

∵∠MNA=∠CBA=∠FED=90°，

∴△CBA∽△MNA，△FED∽△MND，

∴，，

即，，

∴，

解得：MN≈26m,

即悟颖塔MN的高度约为26m.

22.【答案】m≥-1；

m=3

23.【答案】（1）证明：∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB=∠CDB，

∵∠ABD=∠BCD=90°，

∴△ABD∽△BCD，

∴BD：CD=AD：BD，

∴BD2=AD•CD；

（2）解：∵BM∥CD，

∴∠MBD=∠CDB，BM⊥BC，

而∠MDB=∠CDB，

∴∠MBD=∠MDB，

∴MB=MD，

∵∠A+∠ADB=90°，∠ABM+∠MBD=90°，

∴∠A=∠ABM，

∴MA=MB，

∴MA=MB=MD=AD=4，

∵BD2=AD•CD，CD=6，AD=8，

∴BD2=8×6=48，BD=4，

∵BM∥CD，

∴==，

∴

∴

∴DN=．

24.【答案】一次函数的表达式为y=，反比例函数的表达式为y=

-4≤x＜0或x≥2

（）或（）

25.【答案】【小题1】①作法：Ⅰ、以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB相交于点D，

Ⅱ、连接CD，

即点D为所求作的点；

②作法：Ⅰ、以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB相交于点D，

Ⅱ、连接CD，

Ⅲ、以点D为圆心，AD为半径画弧，与AC相交于点E，

Ⅳ、连接DE，

即点E为所求作的点；

【小题2】-1

26.【答案】【小题1】∵A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，且停车场内车道宽度均为x米，

∴停车位部分可合成长为（40-x）米，宽为（22-x）米的矩形．

根据题意得：（40-x）（22-x）=544，

整理得：x2-62x+336=0，

解得：x1=6，x2=56（不符合题意，舍去），

∵5.5＜6＜6.5，

∴车道宽度符合标准.【小题2】设该区域每个车位月租金上涨y元，则每个车位的月租金为（200+y）元，租出的车位数量为（50-）个，

根据题意得：（200+y）（50-）=10125，

整理得：y2-50y+625=0，

解得：y1=y2=25．

答：每个车位月租金上涨25元.

27.【答案】解：（1）设点P（m,），

∵AP∥x轴，

∴AP=m-1，

∵△PAB的面积为，

∴，解得m=，

∴P（，1），

∵点P在反比例函数图象上，

∴k=，

∴反比例函数解析式为：y=；

（2）∵点A（1，1），

∴直线OA解析式为y=x,

∵点P是射线OA与反比例函数交点，

∴P（，），

∴OP=3，

①当AB∥PQ时，△OAB∽△OPQ，

∴，即，

∴OQ=，

∴Q（，0）；

②当AB与PQ不平行时，△OAB∽△OQP，

∴，即，

∴OQ=，

∴Q（，0）．

综上分析，符合条件的点Q坐标为Q（，0）或Q（，0）；

（3）设直线AB解析式为y=kx+b,点A（1，1），B（3，0），

，解得，

∴直线AB解析式为y=-，

设直线AB向上平移m个单位与双曲线相切，

则有-+m=，整理得：x2-（3+2m）x+9=0，

Δ=（3+2m）2-36=0，解得m=或m=-（舍去），

当m=时，x2-6x+9=0，

解得x=3，

即点P是使△PAB的面积取得最小值的点坐标为（3，），

此时PB⊥x轴，

∵点A（1，1），B（3，0），

∴线段AB的中点C坐标为（2，），

∴线段AB的垂直平分线解析式为：y=2x-，

将线段AB沿着x轴向右平移n个单位长度，即将线段AB的垂直平分线向右平移n个单位长度，

∴平移后线段AB的垂直平分线解析式为