2027届吉林省吉林市高三上学期调研测试数学试题（含解析）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）吉林市普通中学2026—2027学年度高中毕业年级第一次调研测试数学试题说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码．2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上．字体工整，笔迹清楚．3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效．4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．若集合，则（

）A． B． C． D．2．若，则（

）A． B．C． D．3．已知函数，则“”是“函数是幂函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．，，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知等边三角形的边长为2，，，，那么（

）A． B． C． D．6．已知，则（

）A． B． C． D．7．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．某武术比赛中，共有12位评委，计分的规则是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分．已知选手甲原始得分的平均分为90.5分，方差为17.75，去掉一个最高分96分，去掉一个最低分80分，则选手甲剩余10个分数的平均数和方差分别为（

）A．90.5，7 B．91，7 C．91，9.75 D．91，97.75二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（

）A．向右平行移动个单位长度B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度10．甲、乙两个袋中都有质地完全相同的3个红球和2个白球．先从甲袋中随机取出2个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．分别记事件“从甲袋取出同色球”，事件“从甲袋取出异色球”，事件“从乙袋取出的球是红球”，则（

）A．事件与事件互为对立事件B．事件与事件相互独立C．D．11．已知函数，且函数为奇函数．若过点可以作出曲线的三条切线，则（

）A．的对称中心是 B．C． D．实数的取值范围是三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，，若，则_________．13．已知等比数列的前项和为，公比为，且，若，则_________．14．函数的部分图象如图所示，点是的中点，则点的纵坐标是_________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知等差数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.16．记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，的面积为，求的值．17．已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若对任意恒成立，求实数的最大值；(3)若对任意恒成立，求正实数的取值范围．18．某饮品公司研发青柠、凤梨两款果饮新品，委托质检机构进行口感评分测试．现从首次试饮者中各随机抽取人，分别画出样本的频率分布直方图，但凤梨试饮者评分图局部有污损，如图所示．(1)（ⅰ）根据频率分布直方图，估计青柠试饮者评分的平均分，并估计凤梨试饮者评分的第百分位数；（ⅱ）现有甲、乙、丙、丁位凤梨试饮者，经调查，甲和乙的评分大于，丙和丁的评分不大于，现从该人中随机选人，求所选人评分均大于的概率；(2)该饮品公司根据市场调研，制定如下规则：首次试饮评分不低于分代表顾客对饮品口感满意，低于分代表不满意．首次试饮满意的不用第二轮试饮，即认为对该公司生产的饮品满意；首次试饮不满意者进行第二轮，换饮另一款饮品．已知首轮试饮青柠饮品不满意者，换饮凤梨饮品后满意的概率为；首轮试饮凤梨饮品不满意者，换饮青柠后满意的概率为．第二轮试饮满意也认为对该公司生产的饮品满意．用样本频率估计概率，每名试饮者最多试饮两轮，不同试饮者对饮品是否满意相互独立．现有，两位顾客分别首次试饮青柠、凤梨饮品，根据上述规则完成试饮后，求恰有1人对该公司生产的饮品满意的概率．19．如图，在半径为1的扇形中，圆心角，依次作圆，，…，．设圆的半径为，，其中：圆与圆弧及半径，均相切；当且时，圆与半径，均相切，且与圆外切．

(1)当时，求，，及数列的前项和；(2)对于正整数，是关于的函数．（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）求使取最大值时的的值，并证明：（是自然对数的底数）．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．D【分析】分别明确集合，，再根据交集的概念求.【详解】由，所以；由，所以.所以.故选：D2．C【分析】通过特例排除选项A、B、D，利用幂函数性质证明选项C.【详解】对于A：取，则满足，但，A错误；对于B：取，此时无意义，不成立，B错误；对于C：因为函数在单调递增，且，所以，C正确；对于D：取，则，D错误.3．A【详解】若函数是幂函数，则，解得或，对于充分性：当时，函数是幂函数，可得充分性成立，对于必要性：当函数是幂函数时，或，必要性不成立，得到“”是“函数是幂函数”的充分不必要条件，故A正确.4．D【分析】利用基本不等式计算即可得.【详解】由，当且仅当时，等号成立，因为，，故.5．B【详解】在等边三角形中，向量和的夹角，故，同理，所以6．B【详解】由，得；，解得；.7．C【分析】分段函数分别求单调性，结合函数最值和极值得到函数图象，结合函数图象求解.【详解】当时，是开口向上的二次函数，当时，取到最小值；当时，，，令得，所以函数在单调递增，在单调递减，所以在处取到极大值，，且当时，，且.综上所述，分段函数图象如下所示，若函数有3个零点，则实数的取值范围是.8．B【详解】设这12个得分由低到高为，因为选手甲原始得分的平均分为90.5分，所以原始总分为分,剩余10个分数的总分为分，所以剩余分数的平均分为分，由方差的计算公式：，因为原始方差为17.75，所以有，所以，去掉最高分96和低分80后的平方和，所以剩下10个数据的方差为.9．BC【详解】对于A：函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到，A错误；对于B：函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到，B正确；对于C：函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到，C正确；对于D：函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到，D错误.10．AC【分析】借助对立事件定义可得A；借助相互独立事件定义计算可得B；借助概率公式计算可得C、D.【详解】对A：事件发生时，事件不发生，且事件不发生时，事件必发生，故二者互为对立事件，故A正确；对B：，，，，故事件与事件不相互独立，故B错误；对C：，故C正确；对D：，故D错误.11．BCD【分析】根据写出的解析式，根据为奇函数即可求解与，即可判断B和C，根据对称中心的定义式即可求解A选项，对于D，设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，将题目转化为方程有三个不同的实数根的问题，利用导数结合函数图像，即可求解的取值范围.【详解】对于A，，因为为奇函数，所以偶次项系数，常数项，即，解得，所以，所以，所以，所以函数的对称中心是，故A错误.对于B，由上述可知，，故B正确.对于C，由上述可知，，故C正确.对于D，，，设切点为，切线斜率，所以切线方程为，因为切线过点，代入得：，展开整理得：，因为过点可以作出曲线的三条切线，即方程有三个不同的实数根，令，，所以当或时，，在和上单调递减；当时，，在上单调递增，所以当时，取极小值为；当时，取极大值为；图像如下：要使有三个不同的实数根，则，故D正确.12．【详解】，，，，解得.13．【详解】已知，即，故，等比数列的公比为，，化简得：由于，则14．【分析】结合题意设出点的坐标，进而得到，，最后联立得到，解出后求出的纵坐标即可.【详解】由题意得是的中点，设，，，因为在上，所以，可得，不妨令，可得，而在上，可得，令，得到，而在上，可得，联立可得，化简得，解得（其它根舍去），可得.15．(1)(2)【分析】（1）将化简一下用基本量表示出来解方程可得，进而求出通项公式；（2）将代入后，作为一组分组表示出来可得前项和.【详解】（1）由可得，即，设等差数列的公差为，则，解得.（2）由（1）可得，.16．(1)(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得，进而求得的值；（2）根据题意，利用三角形的面积公式，求得，结合余弦定理，即可求解.【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，即，即，又因为，所以，即，所以，因为，所以.（2）解：由（1）知：，因为，的面积为，可得，解得，又由余弦定理得，因为，所以.17．(1)(2)(3)【分析】（1）根据切线的几何意义，先求出切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程即可；（2）由恒成立，则且，求出在上的最小值和最大值，即可求出的最大值；（3）对不等式进行变形，利用同构函数，参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出的取值范围即可.【详解】（1），在处切线斜率，，∴切点为，∴曲线在处切线方程为，即；（2）对任意恒成立，则且，由（1）知，令，则，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，，，，且，．且，，，即当且时，实数的最大值为；（3）由题可知，对任意恒成立．，，．设，，，则在上单调递减，，，，即在上恒成立．设（），则，，令，则，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，，，即正实数k的取值范围是．18．(1)（ⅰ）青柠试饮者评分的平均分为分，第百分位数为分，（ⅱ）.(2).【分析】（1）（ⅰ）用到频率分布直方图，用组中值算平均数、插值法求百分位数，（ⅱ）应用古典概型=求概率即可，（2）应用独立事件概率计算即可.【详解】（1）（ⅰ）样本的青柠试饮者评分的平均分为，则估计青柠试饮者评分平均分为，凤梨试饮者评分：累计频率为，累计频率为，所以第百分位数落在区间内，设为，，所以凤梨试饮者评分的第百分位数为.（ⅱ）从人中任选人，可得：，所选人评分均大于的事件只有种，所以所求概率为.（2）由样本频率估计概率：首次试饮满意概率为，不满意概率为，顾客最终满意概率：，顾客最终满意概率：，恰有人满意得概率：，所以所求概率为.19．(1)，，．(2)（ⅰ）．（ⅱ），，（），，，由（i）知，是以为首项，为公比的等比数列．，设，，，则，．设，，，令，则，当时，；当时，．在上单调递增，在上单调递减，．当，即当时，取最大值，要证，只需证，只需证，设，则，即证，即证，设，，在上恒成立，在上单调递增，，成立．【分析】（1）利用角平分线处圆心距离公式，由相切条件得到首项与公比，识别等比数列完成计算求和.（2）（i）建立关于的一元函数，借助导数或者基本不等式求最大值；（ⅱ）构造等比数列得到的表达式，再构造函数，求导找到极值点，最后再利用导数放缩证明结论.【详解】（1）由题可知，，且，，又，，，．当且时，，，则，即，∴数列是以为首项，为公