2026-2027学年广东省深圳实验学校高中园高二（上）第一阶段考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广东省深圳实验学校高中园高二（上）第一阶段考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线mx+y+3=0与x−2y+8=0平行，则实数m的值为(

)A.2 B.−2 C.12 D.2.如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，M为BC的中点，N为A1C1靠近A1的三等分点，设A.12a+16b−c

3.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AD=1，AA1=1A.5

B.3

C.5

D.34.在以下4个命题中，正确的命题的个数为(

)

①若a⋅b=b⋅c，则a=c；

②若三个向量a,b，c两两共面，则向量a，b，c共面；

③A.0个 B.1个 C.2个 D.3个5.已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足CD=2OC−xOA−yOB，且x>0，y>0A.1+32 B.2+3 6.已知点A(2,1)，点B为两条直线y=kx−2k+1与x+y−1=0交点，则|AB|的最小值为(

)A.1 B.2 C.3 7.空间直角坐标系O−xyz中，经过点P(x0,y0,z0)且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0，经过点P(x0,y0A.1010 B.1035 C.8.如图，两条异面直线a，b所成角为60°，在直线a，b上分别取点A′，E和点A，F，使AA′⊥a且AA′⊥b.已知A′E=2，AF=3，EF=23.则线段AA′的长为(

)A.2或10

B.4

C.2或4

D.4或二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.如果A⋅C<0，B⋅C>0，则直线Ax+By+C=0不通过第二象限

B.向量a=(2,−3)是直线2x+3y+4=0的一个方向向量

C.已知直线3x+4y+9=0与直线6x+my+24=0平行，则两平行线间的距离是35

D.“10.下列四个命题中真命题有(

)A.任意一条直线都有倾斜角和斜率

B.直线6x+my+4m−12=0(m∈R)必过定点

C.点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)

D.直线2x−y−1=0与直线x−2y+4=0关于直线x−y+1=0对称11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为A1B1的中点，PA.存在点P，使D1P⊥AC1

B.不存在点P，使PE=D1E

C.四面体EPC1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l的方向向量的坐标为(2,23)，则直线l的倾斜角为

13.过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为

．14.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示).若它的所有棱长都为2，则该二十四等边体的体积为

；PN与平面EBFN所成角的正切值为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l1：2x+3y−2=0，l2：mx+(2m−1)y+1=0，其中m为实数．

(1)当l1//l2时，求直线l1，l2之间的距离；

(2)当m=1时，求过直线16.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥AB，点D，E，F分别为A1B1，AA1，CD的中点，AB=AC=AA1=2．

(1)求证：EF/​/平面ABC；

(2)求直线17.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB/​/CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，∠ACB=90°．

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)若二面角D−PC−A的余弦值为55，求点A到平面PBC的距离．18.(本小题17分)

如图，在棱长为a的正方体OABC−O′A′B′C′中，E，F分别是棱AB，BC上的动点．

(1)若EF/​/AC，当E从A运动到B，求A′C′FE截面扫过的几何体的体积；

(2)若AE=BF=m，则

(i)求证：A′F⊥C′E；

(ii)当三棱锥B′−BEF的体积取得最大值时，求平面B′EF与平面BEF的夹角正切值．19.(本小题17分)

已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线l1、l2均过点P，且斜率之积为λ，则称直线l1、l2是一组“Pλ共轭线对”，如直线l1：y=2x和l2：y=−12x是一组“O−1共轭线对”，其中O是坐标原点．

(1)已知l1、l2是一组“O−3共轭线对”，且知直线l1：y=2x，求直线l2的方程；

(2)如图，已知点A(0,1)、点B(−1,0)和点C(1,0)分别是三条倾斜角为锐角的直线PQ、QR、RP上的点(A、B、C与P、Q、R均不重合)，且直线PR、PQ是“P1共轭线对”，直线QP、QR是“Q4共轭线对”，直线RP、RQ是“R9共轭线对”，求点P的坐标；

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】π313.【答案】x+y−5=0或3x−2y=0

14.【答案】201

15.【答案】解：(1)因为直线l1：2x+3y−2=0，l2：mx+(2m−1)y+1=0，l1//l2时，

则m2=2m−13≠1−2，解得m=2，

此时直线l2的方程为2x+3y+1=0，

所以两条直线间的距离d=|−2−1|22+32=31313；

(2)当m=1时，则直线l2的方程为：x+y+1=0，

联立2x+3y−2=0x+y+1=0，解得x=−5，y=416.【答案】解：(1)证明：如图，设AC1∩A1C=O，连接OF，OE，则O为AC1，A1C的中点，

因为O，F分别为A1C，CD的中点，则OF//A1D，

且A1D//AB，则OF/​/AB，

由OF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，可得OF//平面ABC，

又因为O，E分别为A1C，AA1的中点，则OE/​/AC，

由OE⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，可得OE/​/平面ABC，

且OF∩OE=O，OF，OE⊂平面OEF，可得平面OEF/​/平面ABC，

由EF⊂平面OEF，可得EF/​/平面ABC．

(2)由题意可得：A1D=1,C1D=5，

如图，作A1M⊥C1D，垂足为M，

因为CC1⊥平面A1B1C1，A1M⊂平面A1B1C1，可得CC1⊥A1M，

且C1D∩CC1=C1，C1D，CC1⊂平面CC1D，可得A1M⊥平面CC1D，

由等面积可得A1M=A1D⋅A1C1C1D=1×25=255，

可知点A1到平面CC1D的距离为A1M=255，

因为点D为A1B1的中点，则点B1到平面CC1D的距离d=A1M=255，

取BB1的中点G，GB1的中点H，连接GA1，DH，

则A1E/​/BG，A1E=BG，则四边形A1EBG为平行四边形，可得A1G//BE，

又因为D，H分别为A1B1，B1G的中点，则DH//A1G，且DH=12A1G=52，

可得DH/​/BE，

可知直线BE与平面CC1D所成角即为直线17.【答案】(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，

由∠ACB=90°，知BC⊥AC，

又PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC，

∴BC⊥平面PAC．

(2)解：设AP=h(h>0)，

取CD的中点E，连接AE，则AE⊥CD，

∵AB/​/CD，∴AE⊥AB，

又PA⊥底面ABCD，AE、AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AB，

故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，P(0,0,h)，C(32,12,0)，D(32,−12,0)，B(0,2,0)，

∴AP=(0,0,h)，AC=(32,12,0)，PC=(32,12,−h)，PD=(32,−12,−h)，BC=(32,−32,0)，

设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AP=hz=0n⋅AC=32x+12y=0，

取x=h，则y=−3h，z=0，∴n18.【答案】解：(1)由EF/​/AC，结合正方形性质可知AE=CF，当E从A运动到B时，F从C运动到B，

截面A′C′FE始终为梯形，最终收缩为三角形A′BC′，扫过的几何体是四棱锥B−A′C′CA，

三棱柱ABC−A′B′C′的体积为VABC−A′B′C′=S△ABC⋅a=12a2⋅a=12a3，

三棱锥B−A′B′C′的体积为VB−A′B′C′=13⋅S△A′B′C′⋅a=13⋅12a2⋅a=16a3，

故A′C′FE截面扫过的几何体的体积V=12a3−16a3=13a3．

(2)(ⅰ)证明：