2026-2027学年山东省潍坊市诸城繁华中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年山东省潍坊市诸城繁华中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线l1//l2，在l1上取3个点，在l2上取2A.5 B.4 C.9 D.12.长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为(

)A.7π2 B.56π C.14π D.3.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是(

)A.8cm

B.6cm

C.2(1+3)cm4.如图，二面角α−l−β的大小是45°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是(

)A.12 B.64 C.5.设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在α内的射影，且PA，PB，PC与α所成的角相等，则H是△ABC的(

)A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心6.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC1A.33

B.22

C.7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为4，E为BC的中点，点PA.6 B.43 C.68.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是(

)A.2 B.4 C.26 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,1,0)，b=(0,1,1)，c=(1,2,1)，则下列结论正确的是A.向量a与向量b的夹角为π6 B.c⊥(a−b)

C.向量a在向量b上的投影向量为12b 10.关于空间向量，以下说法不正确的是(

)A.空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小

B.若对空间中任意一点O，有OP=13OA+16BO+12OC，则P，A，B，C四点共面

C.若已知空间向量a和b，则a在b上的投影向量为11.如图，圆柱的轴截面是四边形ABCD，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下列结论中正确的是(

)A.AE⊥CE

B.BE⊥DE

C.DE⊥平面CEB

D.平面ADE⊥平面BCE三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量AB=(2,4,5)，CD=(3,x,y)，若AB//CD，则xy=13.圆台的上下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则其表面积为

．14.如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM//平面ADNE；②CN//平面ABFE；③平面BDM//平面AFN；④平面BDE//平面NCF．以上四个命题中，正确命题的序号是

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a=(x,−1,3)，b=(1,2,−1)，c=(1,0,1)，c//(2a+b).

(1)求实数x的值；16.(本小题15分)

如图，矩形ABCD所在的平面垂直于△BCE所在的平面，BC=CE，F为CE的中点．

(1)证明：AE//平面BDF；

(2)若P为线段AE上的动点，当BE⊥PC时，试确定点P的位置，并加以证明．17.(本小题15分)

如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为梯形，BC//AD，BC=12AD，面PBC∩面PAD=l，E是PD的中点．

(1)求证：l//平面ABCD；

(2)若M是线段CE上一动点，点N是线段AD的中点，是否有MN//平面PAB18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，△PBD为正三角形．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；

(2)在①AB=2，②PA=6，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上(填序号)，并求解；

若PA=PC，∠BAD=60°，_____，求该四棱锥的体积.(注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.)19.(本小题17分)

如图1，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起为△D′AE，且平面D′AE⊥平面ABCE(如图2)．

(1)求证：AD′⊥BE

(2)求四棱锥D′−ABCE的体积；

(3)在棱D′E上是否存在一点P，使得D′B/​/平面PAC，若存在，求出点P的位置，不存在，说明理由．

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】BC

10.【答案】BD

11.【答案】ABD

12.【答案】45

13.【答案】168π

14.【答案】①②③④

15.【答案】解：(1)∵a=(x,−1,3)，b=(1,2,−1)，

∴2a+b=(2x+1,0,5)，

∵c=(1,0,1)，c//(2a+b).

∴可设c=t(2a+b)，(t≠0)，

∴(1,0,1)=(t(2x+1),0,5t)，

∴t(2x+1)=15t=1，解得t=15x=216.【答案】解：(1)连结AC，与BD交于点O，则O为AC的中点，再连结OF，

由F为CE的中点，∴OF/​/AE，

又OF⊂面BDF，AE⊄面BDF，

∴AE/​/平面BDF；

(2)当P为线段AE的中点时，有BE⊥PC，

证明：取BE的中点为N，连结PN，NC，PC，

由矩形ABCD所在的平面垂直于△BCE所在的平面，

AB⊥BC，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面BCE=BC，

∴AB⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，则AB⊥BE，

由N为BE的中点，P为AE的中点，则AB/​/PN，∴BE⊥PN，

由BC=CE，N为BE的中点，BE⊥NC，

又PN∩NC=N，则BE⊥平面PCN，

又PC⊂平面PCN，∴BE⊥PC．

∴当P为线段AE的中点时，有BE⊥PC．

17.【答案】解：(1)证明：因为在梯形ABCD中，BC/​/AD，又BC⊂面PAD，AD⊂面PAD，

所以BC/​/面PAD，因为BC⊂面PBC，面PBC∩面PAD=l，

所以BC/​/l，

因为BC⊂平面ABCD，l⊄平面ABCD，

所以l/​/平面ABCD；

(2)N为中点时，MN///平面PAB．

证明：连接CN，EN，

因为E，N分别为PD，AD的中点，

所以EN//PA，因为EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，

所以EN/​/平面PAB，

取PA的中点F，连接EF，BF，

则EF/​/AD，则EF/​/BC，且EF=BC，

所以四边形BCEF为平行四边形，则CE/​/BF，

因为BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，

所以CE/​/平面PAB，CE∩EN=E，CE、EN⊂平面CEN，

所以平面CEN/​/平面PAB，

因为M是CE上的动点，MN⊂平面CEN，所以MN/​/平面PAB，

所以当N为中点时，MN/​/平面PAB．

18.【答案】解：(1)证明：设AC∩BD=O，连结OP．

因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为BD中点；

因为△PBD为正三角形，所以PO⊥BD，

又PO∩AC=O，PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，又BD⊂平面PBD，

所以平面PAC⊥平面PBD．

(2)若选①，

因为底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=2，

所以底面ABCD面积S=2S△ABD=2×12AB×AD×sinπ3=2×12×2×2×32=23，

因为PA=PC，O为AC中点，

所以PO⊥AC，又PO⊥BD，且AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD；

因为△PBD为正三角形，所以PO=3BO=3；

所以四棱锥P−ABCD的体积为V=13S⋅PO=2．

即四棱锥P−ABCD的体积为2．

若选②，则因为PA=PC，O为AC中点，

所以PO⊥AC，又PO⊥BD，且AC∩BD=O

所以PO⊥平面ABCD；

设AB=a，∠BAD=60°，△PBD为正三角形，

所以AO=PO=32a

19.【答案】解：(1)证明：在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，

∴∠DEA=∠CEB=45°，∴∠AEB=90°，即BE⊥AE…(2分)

∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE=AE，

∴BE⊥平面D′AE，AD′⊂平面D′AE

∴AD′⊥BE…(4分)

(2)取AE中点F，连接D′F，则D′F⊥AE

∵平面