2026-2027学年山西省定襄县定襄中学校高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年山西省定襄县定襄中学校高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.圆C1：(x+1)2+(y−2)2=36与圆A.内切 B.外切 C.相交 D.外离2.已知点A(−1,1)，B(2,−2)，若直线l：x+my+m=0与线段AB相交(包含端点的情况)，则实数m的取值范围是(

)A.−2≤m≤−12 B.m≤−2或m≥−12

C.123.若方程x2+y2+mx+my+m=0表示圆，则实数A.0 B.1 C.2 D.34.已知向量a=(4,−2,6)，b=(−4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则A.−1或1 B.−1 C.−3 D.15.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是棱AA1上一点(A.16 B.13 C.126.已知x>0，y>0且2x+3y=6.则y+x2+A.1213 B.2413 C.36137.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在线段OA上，且OM=2MA，点A.−23a+12b+18.已知圆x2+y2+ax−2y−1=0被直线x+2y−1=0A.−6 B.−2 C.2 D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知四面体OABC的所有棱长都为1，D，E分别是OA，BC的中点，M，N是该四面体内切球球面上的两点，P是该四面体表面上的动点，则下列选项中正确的是(

)A.DE的长为44

B.D到平面ABC的距离为66

C.当线段MN最长时，PM⋅PN的最大值为13

10.已知圆C：(x+2)2+y2=4，直线lA.直线l恒过定点(−1,1)

B.当m=0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1

C.直线l与圆C有两个交点

D.圆C与圆x211.已知直线l1：ax+2y−1=0和直线l2：x+(a+1)y−1=0，下列说法不正确的是(

)A.当a=−2或1时，l1//l2

B.当a=−23时，l1⊥l2

C.直线l1过定点(0,1)，直线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知x2+y2=4，则|4x+3y−13|的最小值为13.写出与直线x+y+2=0和y轴都相切，半径为2的一个圆的方程：

．14.已知直线l的一个方向向量为l=(−1,2)且过点(3,−2)，则直线l的方程为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4和与圆C：x2+y2−4x+4y+4=0．

(1)若圆O与圆C关于直线l对称，求直线l的方程；

(2)若圆16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，PA=PD=2,AC=CD=5．

(1)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(2)在棱PB上是否存在点M，使得AM/​/平面PCD17.(本小题15分)

已知△ABC的顶点坐标为A(3,0)、B(−1,−3)、C(1,1)．

(1)求直线BC的方程；

(2)求△ABC的面积．18.(本小题17分)

如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=AC=AP=2,BP=22，∠BAC=2π3，E，F，G分别为棱PA，PB，PC上的点．

(1)若EF/​/AB，FG/​/BC，证明：EG//AC；

(2)若E，F分别为棱PA，PB的中点，在棱PC上是否存在点G，使得平面EFG与平面ABC所成角为π19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，AC=23，三角形PAD为等边三角形，点M，N分别为AB，PC的中点．

(1)证明：直线MN/​/平面PAD；

(2)当二面角P−AD−C为120°时，求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值．

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】BC

10.【答案】ACD

11.【答案】ACD

12.【答案】3

13.【答案】(x−2)14.【答案】2x+y−4=0

15.【答案】解：(1)根据题意，圆O：x2+y2=4的圆心为O(0,0)，半径r1=2，

圆C：x2+y2−4x+4y+4=0，即(x−2)2+(y+2)2=4，圆心为C(2,−2)，半径r2=2，

若圆O与圆C关于直线l对称，则直线l是OC的垂直平分线，

由kOC=−2−02−0=−1，得l的斜率k=−1kOC=1，

结合OC的中点为(1,−1)，可得直线l的方程为y+1=x−1，即x−y−2=0；

(2)在直线y=2x+b的两旁各有一条直线，它们与直线y=2x+b平行，且距离等于1，

根据题意，可知这两条直线与圆O恰有3个公共点E、D、16.【答案】解：(1)选取AD中点为O，连结CO，PO，因为AC=CD=5，

所以CO⊥AD，因为PA=PD，所以PO⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，

所以PO⊥平面ABCD，

以O为原点，直线OC，OA，OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

所以P(0,0,1)，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0,−1,0)，

则PB=(1,1,−1),PD=(0,−1,−1),PC=(2,0,−1)，

设n为平面PCD的法向量，令n=(x0,y0,1)．

则n⊥PDn⊥PC，则n⋅PD=0n⋅PC=0⇒n=(12,−1,1)，

设PB与平面PCD所成角为θ，

所以sinθ=|cos〈n,PB〉|=|n⋅PB|n||PB||=|12−1−114+1+1×3|=33，

所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33．

(2)假设在棱PB17.【答案】解：(1)因为B(−1,−3)、C(1,1)，

所以直线BC的斜率为1−(−3)1−(−1)=2，

所以直线BC的方程为y−1=2(x−1)，即2x−y−1=0．

(2)由(1)知，直线BC的方程为2x−y−1=0，

所以点A到直线BC的距离为d=|3×2−0−1|22+12=518.【答案】解：(1)证明：若EF/​/AB，EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

所以EF/​/平面ABC；

若FG/​/BC，FG⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以FG//平面ABC．

因为EF∩FG=F，EF，FG⊂平面EFG，

所以平面EFG/​/平面ABC．

又平面EFG∩平面PAC=EG，平面ABC∩平面PAC=AC，

所以EG//AC．

(2)因为AB=AP=2,BP=22，所以AB2+AP2=BP2，所以AP⊥AB，

因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，AP⊂平面PAB，

所以AP⊥平面ABC，

过A作AD⊥AB，垂足为D，则∠CAD=2π3−π2=π6，

所以CAcos∠CAD=2×32=3,CAsin∠CAD=2×12=1，

如图所示，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，

则A(0,0,0),P(0,0,2),B(0,2,0),E(0,0,1),F(0,1,1),C(3,−1,0)，

所以EF=(0,1,0),EP=(0,0,1),PC=(3,−1,−2)，

设：在棱PC上是否存在点G，使得平面EFG与平面ABC所成角为π6，且PGPC=t(0≤t≤1)，

则PG=tPC=(3t,−t,−2t)，所以EG=EP+PG=(3t,−t,1−2t)，

设平面EFG的法向量为n=(x,y,z)，

则n⊥EFn⊥19.【答案】解：(1)如图，取PD的中点E，连接NE，AE，因为M，N分别是AB，PC的中点，

所以EN/​/CD且EN=12CD，又CD/​/AM且AM=12CD，

所以EN/​/AM且EN=AM，

则四边形AMNE为平行四边形，

所以MN/​/AE，又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，

所以MN/​/平面PAD；

(2)在△ACD中，由余弦定理，

得cos∠ADC=AD2+CD2−AC22AD⋅CD=4+4−128=−12，

又0<∠ADC<π，

所以∠ADC=2π3，

得∠DAB=π3．

取AD的中点O，连接OP，OB，

因为底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，

所以OP⊥AD，OB⊥AD，

故∠POB为二面角P−AD−C的平面角，

即∠POB=2π3．

又OP∩OB=O，OP，OB⊂平面POB，

所以AD⊥