材料力学（第3版）－2B－内力分析与内力图

2内力分析与内力图材料力学主讲教师:22内力分析与内力图内力分析轴力图扭矩图剪力图和弯矩图刚架内力图结论与讨论研讨问题3

剪力方程

弯矩方程

剪力图和弯矩图xFRAyFRAxFRC剪力图和弯矩图

剪力方程和弯矩方程xFSABxMAB4例1

已知：简支梁如图。解：求：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。(1)求支反力(2)求剪力方程和弯矩方程abFCBAlxxyFRAFRB建立坐标系。分为两段：AC和CB段。需分段求解。剪力图和弯矩图

5

AC段

CB段取x截面，左段受力如图。x取x截面，左段受力如图。dxFs+dFsFsFdxM+dMMMeabFCBAlxxyFRAFRB剪力图和弯矩图

(3)画剪力图和弯矩图FCBAxFSABxMAB

AC段

CB段剪力图和弯矩图

7例2

已知：悬臂梁如图。解：求：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。(1)求支反力建立坐标系(2)求剪力方程和弯矩方程yxBAl/2qFRAMAl/2C剪力图和弯矩图

8(2)求剪力方程和弯矩方程分两段，xAC段和CB段BAl/2qFRAMAl/2yxCCB段：xAC段：剪力图和弯矩图

9xFSAMxA(3)画剪力图和弯矩图

剪力图

弯矩图yxBAl/2qFRAMAl/2C剪力图和弯矩图

10

作剪力图和弯矩图的步骤(1)求支座反力；(2)建立坐标系(一般以梁的左端点为原点)；(3)分段在载荷变化处分段；

集中力和集中力偶作用点、分布载荷起始点和终止点均应分段；(4)列出每一段的剪力方程和弯矩方程；

注意取值范围端点处是否应取等号；(5)根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图

1111FSMM+dMq(x)dxFP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)dxx考察微段的受力与平衡CFS+dFS载荷集度、剪力和弯矩间的关系剪力图和弯矩图

1212ΣFy=0:ΣMC=0:FSMM+dMq(x)dxCFS+dFS剪力图和弯矩图

略去高阶项，得到此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。0上述微分关系说明剪力图和弯矩图图线的几何形状与作用在梁上的载荷集度有关。载荷集度、剪力和弯矩间的关系13

q(x)、FS(x)和M(x)间的微分关系BAqxyxFSAMxA载荷集度、剪力和弯矩间的关系剪力图和弯矩图

14

由微分关系可得以下结论(1)若q(x)=0FS(x)=常数，剪力图为水平线；M(x)

为一次函数，弯矩图为斜直线。FCBAxFSABxMAB载荷集度、剪力和弯矩间的关系剪力图和弯矩图

15(2)若q(x)=常数FS(x)为一次函数，剪力图为斜直线；M(x)

为二次函数，弯矩图为抛物线。当q(x)<0(向下)时,抛物线是开口向下的；当q(x)>0(向上)时,抛物线是开口向上的；BAqxyxFSAMxA载荷集度、剪力和弯矩间的关系剪力图和弯矩图

16(3)在剪力FS为零处,弯矩M取极值。注意:以上结论只在该段梁上无集中力或集中力偶作用时才成立。BAqxyxFSAMxA载荷集度、剪力和弯矩间的关系剪力图和弯矩图

17(4)在集中力作用点剪力图弯矩图在该处为折点。FCBAxFSABxMAB有突变，即为集中力的数值，突变的方向沿着集中力的方向(从左向右观察)；突变值dxFs+dFsFsF§2.4剪力图和弯矩图

载荷集度、剪力和弯矩间的关系18(5)在集中力偶作用点对剪力图形状无影响；弯矩图有突变，突变值即为集中力偶的数值。BAqxyxFSAMxAFRAMAdxM+dMMMedM=Me§2.4剪力图和弯矩图

载荷集度、剪力和弯矩间的关系19(1)求支反力；(2)建立坐标系；(3)分段确定分段点；(4)求出分段点处的FS、M值；

若分段点处无集中力、无集中力偶，则剪力、弯矩唯一。若分段点处有集中力，则左右两侧剪力不同。若分段点处有集中力偶，则左右两侧弯矩不同。(5)根据微分关系连线，作出剪力图和弯矩图。

根据微分关系作剪力图和弯矩图载荷集度、剪力和弯矩间的关系剪力图和弯矩图

20例1已知：简支梁如图。解：求：利用微分关系作剪力图和弯矩图。(1)求支反力(2)坐标系xFS(3)确定分段点(4)计算分段点的FS和M(5)连线x剪力图和弯矩图

21

作弯矩图xFSx剪力图和弯矩图

22例2已知：悬臂梁如图。解：求：利用微分关系作剪力图和弯矩图。(1)求支反力(2)坐标系(3)确定分段点(4)计算分段点的FS和MMCFRCx剪力图和弯矩图

23MCFRCx(4)计算控制面的FS和MxFS(5)剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图

2424画出剪力图和弯矩图分段点上剪力的大小与正负号？分段点上弯矩的大小正负号？分几段？lqABClOxFSOxM各位注意到什么？2.弯矩图有突变，怎么突变，增大还是减小？1.集中力偶作用处剪力图有突变吗？例3剪力图和弯矩图

2525画出剪力图和弯矩图aaqqaaABCDOxFSOxM例4剪力图和弯矩图

26261.确定支座反力并验证其正确性2.分段，判断各段大致形状以及剪力弯矩突变处3.应用力系简化方法确定分段点上的剪力弯矩大小和方向（正负）4.确定弯矩极值点的位置以及弯矩极值——大小和正负画出剪力图和弯矩图xMOxFSO1.25l1.25ql0.75qlqlABC0.75ql1.25ql例5剪力图和弯矩图

27内力分析轴力图扭矩图剪力图和弯矩图刚架内力图结论与讨论研讨问题2内力分析与内力图28刚节点在连接两部分的节点处夹角不变。除了剪力和弯矩外，通常还有轴力。刚架

内力特点刚架的内力图29FNFNFSFS有关无关无关

弯矩画在受压侧刚架内力的正负号刚架的内力图30(1)求支反力(2)分段根据微分关系求内力图；(3)轴力、剪力画在内侧或外侧均

可，但需标出正负号；(4)弯矩画在受压侧。刚架内力图的画法刚架的内力图例题

刚架已知：q，a。解：求：内力图。(1)求支反力FSMFN注意竖线方向刚节点处内力连续吗？为什么?(2)分段根据微分关系求内力图；(3)轴力、剪力画在内

侧或外侧均可，但

需标出正负号；(4)弯矩画在受压侧。刚架的内力图思考：FN2FS1FN1M1FS2M2由刚节点的平衡可知刚节点处无集中载荷作用，内力连续吗？刚节点平衡刚节点处有集中力偶作用？刚架的内力图FSxql/2ql/2llqqql/2ql/2FS(a)FS(e)x反运算——确定极值点的位置MxMaMeOO结论与讨论微分方程的反运算34反运算——已知一个横截面上的弯矩确定另一横截面上的弯矩FSxql/2ql/2ql/2llqqql/2ql/2aeO结论与讨论微分方程的反运算MxMaMeO35逆向反运算FSxql/2ql/2ql/2llqqql/2ql/2ae结论与讨论微分方程的反运算MxMaMeO36xEb,cqa2d7qa/4bdqacqaqBADa4aFAyFByCqaOxFSOxM9qa/4aaeee81qa2/32E极值点位置的确定结论与讨论微分方程的反运算37极值点弯矩的确定结论与讨论微分方程的反运算xEb,cqa2d7qa/4bdqacqaqBADa4aFAyFByCqaOxFSOxM9qa/4aaeee81qa2/32E图示杆件上作用集中力F和均布载荷q=F/l

。

试作杆的轴力图。解：分几段？均布载荷如何处理？x1FN

FFFxFFFl2llABCD力系简化法求轴力方程时，简化到指定截面为拉力的为正，反之为负。结论与讨论轴向分布载荷作用下的轴力图思考：

图示杆件上均布载荷作用范围为缩短为l，q=2F/l

。

试作杆的轴力图。FFFl2llABCDEFN

FFFx如果均布载荷作用范围进一步缩短？轴力图如何？集中力作用点的内力实际是否有突变？内力图为何必须封闭？结论与讨论轴向分布载荷作用下的轴力图40FRCMAFRA主梁副梁中间铰组合梁的结构特点中间铰的影响1

中间铰处剪力如何变化？2中间铰处弯矩如何变化？结论与讨论组合梁的内力图41已知：组合梁如图。解：求：利用微分关系作剪力图和弯矩图。(1)求支反力FRCMAFRAFS/kNxM/kNmx752525200502500主梁副梁中间铰中间铰可传递剪力，不可传递弯矩，因此中间铰处弯矩必为零。结论与讨论组合梁的内力图4242从中能得到什么重要结论？

比较三种情形下梁的受力、剪力和弯矩图的相同之处和不同之处。研讨问题1研讨问题4343只给定梁的剪力图能不能确定梁的受力？能不能确定梁的支承性质与支承位置？答案是否具有唯一性？由给定的剪力图能否确定弯矩图？答案是否唯一？BCAOxFS/kNOxBCA40000.2250.440000.2250.50.50.30.3研讨问题2研讨问题44例

已知：剪力图，且梁上无集中力偶。解