材料力学（第3版）－11A－材料力学中的能量方法

材料力学11能量方法22基本概念互等定理应用于弹性杆件的虚位移原理单位载荷法莫尔积分直杆莫尔积分的图乘法卡氏定理结论与讨论研讨问题11

能量方法33变力功常力功杆件的弹性应变能叠加原理的应用限制基本概念4

弹性杆件上，加力点的位移随着杆件受力和变形的增加而增加，此时力所作的功为变力功变力功为ΔFPFP

0Δ=0ΔFPOΔdΔ线弹性范围内Δ12F2Δ22F1Δ11保持力不变，改变位移，力在位移上所作之功，为常力功。W＝F1Δ12常力功为变力功示意图变力功曲线常力功示意图常力功变力功基本概念

杆件在外力作用下发生弹性变形时，外力功转变为一种弹性应变能，储存于杆件内，从而使弹性杆件具有对外作功的能力。

考察微段杆件的受力和变形，应用弹性范围内力和变形之间的线性关系，可以得到微段应变能表达式。然后通过积分即可得到计算杆件应变能的公式。杆件的弹性应变能基本概念

dx+

dxdxFNFN

轴向拉伸或压缩杆件微段的应变能为杆件的弹性应变能基本概念

由则拉伸或压缩杆件应变能为若杆段内轴力为常量，则可知

对于承受弯曲的梁,忽略剪力影响，微段的应变能为由可知，梁的应变能的表达式为dxMMd

杆件的弹性应变能基本概念

ρ

若梁段内弯矩为常量，则

对于承受扭转的圆轴,微段的应变能为由可知圆轴扭转时的应变能表达式d

MxMx杆件的弹性应变能基本概念

若轴段内扭矩为常量，则在小变形的情形下，杆件的横截面上轴力、弯矩和扭矩等不同内力分量引起的变形是互相独立的，因而总应变能等于三者单独作用时的应变能之和。于是有

若杆件上内力分量分段变化，则需分段计算然后相加：杆件的弹性应变能基本概念

1）上述应变能表达式必须在小变形条件下，并且在弹性范围内加载时才适用。杆件的弹性应变能2）上式中忽略了剪切变形能，适用于细长杆；3）不同内力分量引起的变形能可以“叠加”，同一内力分量的变形能不可叠加。基本概念

1111线弹性,位移可以叠加Δ1FP1FP1+FP2ΔFP2Δ2FPΔOFPΔOFPΔOΔ2Δ1FPAB叠加原理的应用限制

基本概念

1212Δ1FP1FP1+FP2ΔFP2Δ2FPΔOFPΔOFPΔOΔ2Δ1Vε1Vε2VεVε1Vε2FPAB

叠加原理的应用限制线弹性,应变能不能叠加基本概念

FPΔOFPΔOFPΔOΔ1FP1FP2Δ2FP1+FP2ΔΔ2叠加原理的应用限制非线性弹性,位移也不能叠加基本概念

FPAB

14FPMFPMABABAB

?

叠加原理的应用限制基本概念

15FPMABABAB

FPFPMFP

叠加原理的应用限制基本概念

1616FABllCABllCABllCFMM

?

叠加原理的应用限制基本概念

1717FABllCABllCABllCM

叠加法最本质的内涵——力的独立作用原理。FMF

叠加原理的应用限制基本概念

1818不同的内力分量引起的应变能可以叠加，同一内力分量引起的应变能不能叠加。力的独立作用原理叠加原理的应用限制基本概念

1919基本概念互等定理应用于弹性杆件的虚位移原理单位载荷法莫尔积分直杆莫尔积分的图乘法卡氏定理结论与讨论研讨问题11

能量方法2020功的互等定理位移互等定理互等定理211功的互等定理

应变能与加载方式无关分别计算两种加载方式下的应变能

设线弹性体上作用有两组广义力。第一组为P1,

,Pm

;第二组为Q1,

,Qn。互等定理

221)先加第一组，再加第二组

加完第一组力时的功为:

加完第二组力时，第二 组力的功为:

加第二组力时，第一组力的功为:互等定理

23

加第二组力时，第一组力的功为:

总的功为三项之和:互等定理

242)先加第二组，再加第一组

加完第二组力时的功为:

加完第一组力时，第一 组力的功为:

加第一组力时，第二组力的功为:互等定理

25

加第一组力时，第二组力的功为:

总的功为三项之和:互等定理

26

应变能与加载次序无关，所以:互等定理

27这就是功的互等定理，即:第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。2位移互等定理当仅有两个力F1和F2作用时F1F2互等定理

28F1F2

21

12而F2作用时，在F1作用点产生的沿F1作用线方向的位移记为δ12,则由功的互等定理，有:当F1=F2

时，则有F1作用时，在F2作用点产生的沿F2作用线方向的位移记为δ21,互等定理

29当F1=F2

时，则有起的位移，等于F2作用点沿F2方向由于F1的作用而引起的位移。

位移互等定理说明：1)位移应理解为广义位移；

2)功的互等定理和位移互等定理只对线弹

性材料和结构成立。即:当F1=F2

时，F1作用点沿F1方向由于F2的作用而引F1F2

21

12互等定理

?=?互等定理

需要指出的是:

功的互等定理中的“力”和“位移”都是广义的。可以是力，也可以是力偶；

“力”可以是集中力，也可以是集中力偶；还可能是其他形式的量；

“位移”可以是线位移。也可以是角位移，还可能是其他形式的量；

但是“力”和“位移”的乘积必须具有功的量纲。互等定理

广义位移——？均布载荷q——广义力互等定理