2025年秋季学期东北大学秦皇岛分校高等数学（下）期末考试重点题目解析

2025年秋季学期东北大学秦皇岛分校高等数学（下）期末考试重点题目解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题4分，共20分。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.函数f(x,y)=ln(1-x²-y²)在区域D={(x,y)|x²+y²<1}上的方向导数处处存在。(A)正确(B)错误2.设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0,f_x(0,0)=1,f_y(0,0)=-1。则极限lim_(x,y)->(0,0)(x+y)f(x,y)/(x²+y²)=。(A)1(B)-1(C)0(D)不存在3.已知级数∑_(n=1)^∞a_n收敛，则级数∑_(n=1)^∞(|a_n|+a_n²)的敛散性为。(A)一定收敛(B)一定发散(C)可能收敛也可能发散(D)收敛性与a_n的具体形式有关4.设γ是从点(1,0)沿上半圆x²+y²=1(y≥0)到点(-1,0)的曲线，则曲线积分∫_γ(x²y+x)dx+xy²dy=。(A)π/2(B)-π/2(C)π(D)-π5.设R是由x=0,y=0,x+y=1所围成的区域，则∬_Rxye^(-xy)dA=。(A)e^-1(B)1-e^-1(C)e(D)1+e^-1二、填空题（每题4分，共20分。请将答案填在题后的横线上。）6.函数z=arctan((y-x)/(y+x))的全微分dz=________。7.设函数f(u)可导，z=x²+y²+f(xy)，则x∂z/∂x-y∂z/∂y=________。8.设r=(√(x²+y²+z²))^(1/3)，则∇⋅r=________。9.级数∑_(n=1)^∞(n+1)/(2^n)的和为________。10.微分方程y''-4y'+3y=0的通解为________。三、解答题（请写出详细的解答过程。）11.(8分)计算二重积分∬_De^(x+y)dA，其中D是由y=x²,y=4所围成的区域。12.(10分)求函数u=x²+y²+z²-xy-xz-yz在点(1,1,1)处的梯度向量，并求其在该点沿方向(1,1,-1)的方向导数。13.(10分)计算曲线积分∫_C(x²y+x)dx+(xy²+2y)dy，其中C是抛物线y=x²从点(0,0)到点(1,1)的弧段。14.(12分)讨论级数∑_(n=1)^∞(sin(1/n))/n²的敛散性。15.(12分)求微分方程y''+4y'+4y=xe^(-2x)的通解。16.(12分)计算∬_SxdS，其中S是由平面x+y+z=1(x≥0,y≥0,z≥0)所围成的四面体的表面。17.(12分)将函数f(x)=x²(0≤x<1)展开成以2为周期的余弦级数。试卷答案一、选择题1.(A)2.(C)3.(A)4.(B)5.(B)二、填空题6.((y+x)/(1+(y-x)²))dx+((y-x)/(1+(y-x)²))dy7.2xy8.1/(2r^(2/3))9.410.(C_1+C_2x)e^(3x)三、解答题11.解：积分区域D为y=x²与y=4围成。∬_De^(x+y)dA=∫_0^2∫_(x²)^(4)e^(x+y)dydx=∫_0^2[e^(x+y)]_(y=x²)^y=4dx=∫_0^2(e^(x+4)-e^(x+x²))dx=[e^(x+4)-e^(x²+1/2x)]_0^2=(e^6-e^2)-(e^4-e^(1/2))=e^6-e^4-e^2+√e.12.解：梯度∇u=(∂u/∂x,∂u/∂y,∂u/∂z)∂u/∂x=2x-y-z,∂u/∂y=2y-x-z,∂u/∂z=2z-x-y在点(1,1,1)处，∇u|(1,1,1)=(0,0,0)方向向量(1,1,-1)的单位向量为(1/√3,1/√3,-1/√3)方向导数=∇u|(1,1,1)⋅(1/√3,1/√3,-1/√3)=0.13.解：添加直线段L从(1,1)到(0,0)，使C+L构成封闭曲线，围成区域D。原积分=∫_(C+L)-∫_L∫_(C+L)(x²y+x)dx+(xy²+2y)dy=∬_D(∂Q/∂x-∂P/∂y)dA=∬_D(y²+1-x²-1)dA=∬_D(y²-x²)dA=∫_0^1∫_(x²)^(4)(y²-x²)dydx=∫_0^1[(y³/3-x²y)]_(y=x²)^y=4dx=∫_0^1(64/3-16x²-x⁶/3)dx=(64x/3-16x³/3-x⁷/21)]_0^1=64/3-16/3-1/21=180/21-112/21-1/21=67/21.∫_L(x²y+x)dx+(xy²+2y)dy=∫_(1→0)(x²*0+x)dx+(x*0²+2*0)dy=∫_1^0xdx=-∫_0^1xdx=-x²/2|_0^1=-1/2.原积分=67/21-(-1/2)=67/21+21/42=134/42+21/42=155/42.14.解：考虑比较判别法。因为0≤sin(1/n)≤1对所有n≥1成立，所以0≤(sin(1/n))/n²≤1/n²。级数∑_(n=1)^∞1/n²是p=2的p-级数，收敛。由比较判别法，级数∑_(n=1)^∞(sin(1/n))/n²也收敛。15.解：对应齐次方程y''+4y'+4y=0的特征方程为r²+4r+4=0，解得r=-2(重根)。齐次方程通解为y_h=(C_1+C_2x)e^(-2x)。对于非齐次方程，考虑特解形式y_p=Axe^(-2x)。代入方程得：(Axe^(-2x))''+4(Axe^(-2x))'+4(Axe^(-2x))=A(-2x-2+1)e^(-2x)+4A(-2x+1)e^(-2x)+4Axe^(-2x)=A(-2x-2+1-8x+4+4x)e^(-2x)=A(-6x+3)e^(-2x)=xe^(-2x)。比较系数得A=-1/6。特解为y_p=(-1/6)xe^(-2x)。通解为y=y_h+y_p=(C_1+C_2x)e^(-2x)-(1/6)xe^(-2x)=(C_1+(C_2-1/6)x)e^(-2x)。16.解：曲面S由平面x+y+z=1(x≥0,y≥0,z≥0)和三个坐标面x=0,y=0,z=0围成四面体。S在xOy面上的投影区域D_xy为x+y=1(x≥0,y≥0)。∬_SxdS=∫_D_xyx√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²)dA+∫_S_1xdS其中S_1为S在xOy面上的投影区域D_xy，即x=0,y=0,0≤x+y≤1。在D_xy上，z=0，dS=√(1+0+0)dA=dA。∫_S_1xdS=∫_D_xy0dA=0。计算∫_D_xyx√(1+0+0)dA=∫_D_xyxdA。用直角坐标：∫_0^1∫_0^(1-x)xdydx=∫_0^1x(1-x)dx=∫_0^1(x-x²)dx=(x²/2-x³/3)]_0^1=1/2-1/3=1/6。所以∬_SxdS=1/6。17.解：函数f(x)=x²在[0,1]上定义，需拓展为周期为T=2的函数F(x)。由于要求余弦级数，F(x)需要拓展为偶函数。F(x)=x²,x∈[0,1]F(x)=x²,x∈[1,2]F(x)=F(-x),F(x)=F(2-x)F(x)在(-∞,+∞)上为偶函数。a_0=(1/π)∫_(-π)^(π)F(x)dx=(2/π)∫_0^πF(x)dx=(2/π)∫_0^1x²dx=(2/π)*(1/3)*x³|_0^1=2/3π.a_n=(1/π)∫_(-π)^(π)F(x)cos(nx)dx=(2/π)∫_0^πF(x)cos(nx)dx=(2/π)∫_0^1x²cos(nx)dx（因为F(x)在[0,1]上为x²）=(2/π)[(x²sin(nx)/n)|_0^1-∫_0^1(2xsin(nx)/n)dx]=(2/π)[(sin(n)/n)-(2/n)∫_0^1xsin(nx)dx]=(2/π)[(sin(n)/n)-(2/n)*(-cos(nx)/n|_0^1)]=(2/π)[(sin(n)/n)+(2/(n²))(cos(n)-1)]=(2/π)[(sin(n)/n)+(2cos(n)-2)/n²]b_n=0（因为是偶函数）f(x)=1/2a_0+∑_(n=1)^∞a_ncos(nx),x∈(-π,π)=1/2*(2/3π)+∑_(n=1)^∞(2/π)[(sin(n)/n)+(2cos(n)-2)/n²]cos(nx),x∈(-π,π)=1/3π+∑_(n=1)^∞(