华东师大版八年级上册数学13.1.3《反证法》教学课件（25秋新教材）

教

学

课

件华东师大版八年级上册数学（25秋新教材）第3课时

反证法13.1勾股定理第13章勾股定理学习目标1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题.(重点)2.理解并体会反证法的思想内涵.(难点)3.通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念.

如图，在△ABC

中，AB

=

c，BC

=

a，AC

=

b

(a≤b≤c)有关系

a2+

b2

=

c2

时，这个三角形一定是直角三角形吗？

解析：由

a2+

b2

=

c2，根据勾股定理的逆定理可知∠C

=

90°，这个三角形一定是直角三角形.cabACB思考

若将上面的条件改为“在△ABC

中，AB

=

c，BC

=

a，AC

=

b

(a≤b≤c)，a2+

b2≠c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.

探究：(1)假设它是直角三角形；(2)根据勾股定理，一定有

a2+

b2

=

c2

，与已知条件

a2+

b2≠c2

矛盾；(3)因此假设不成立，即它不是直角三角形.cabACB反证法

这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)

先假设结论的反面是正确的；(2)

然后通过逻辑推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；(3)

从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.像这样的证明方法叫“反证法”.知识要点例1写出下列各结论的反面：(1)a∥b；(2)a≥0；(3)b是正数；(4)a⊥b.a＜0b是0或负数a不垂直于

ba不平行于

b典例精析例2

在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.ABC证明：假设

，则

(

).这与

矛盾．假设不成立．∴

．∠B＝∠CAB＝AC等角对等边已知

AB≠AC∠B≠∠C小结：反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC

中，如果

AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么

a2+

b2

=

c2”是一个真命题.对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢?即“在△ABC

中，如果

AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+

b2≠c2

”是真命题吗?想一想1.反设：证明：3.得出结论：2.

推出矛盾：假设在△ABC

中，∠C≠90°时，

a2+

b2

=

c2

成立.根据勾股定理的逆定理，当

a²+b²=c²

时，△ABC

是直角三角形且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾.所以假设不成立，即原命题“在△ABC

中，如果AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°，那么

a²+b²≠c²”是真命题.例3

求证：两条直线相交只有一个交点.已知：如图，两条相交直线

a，b.求证：a

与

b

只有一个交点.分析：想从已知条件“两条相交直线

a，b”出发，经过推理，得出结论“a，b只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.abA●典例精析证明：假设

a

与

b

不止一个交点，不妨假设有两个交点

A

和

A'，因为两点确定一条直线，即经过点

A

和

A'的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立.所以两条直线相交只有一个交点.小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.abA●A'●例4

求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于

60°.已知：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设

，即

，于是

，这与

矛盾．假设不成立．所以

．△ABC

中没有一个内角小于或等于60°∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°三角形的内角和为180°△ABC中至少有一个内角小于或等于60°点拨：至少的反面是没有！∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180°

准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.

原词语否定词原词语否定词等于任意的是至少有一个都是至多有一个大于至少有

n

个小于至多有

n

个对所有

x成立对任何

x不成立不是不都是不大于

不小于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某个

x不成立存在某个

x成立不等于某个1.试说出下列语句的反面：（1）a

是实数； （2）b大于

2；（3）对任意的x都成立； （4）至少有两个；（5）最多有三个；

a不是实数b小于或等于2存在某个x不成立最多有一个至少有四个2.用反证法证明“若a2

≠

b2，则

a≠b”的第一步是

.3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步

.

假设

a=b假设这个三角形是等腰三角形4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（

）A.有两个内角是直角B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角D.没有一个内角是直角C5.否定“自然数

a，b，c中恰有一个偶数