四川省遂宁市射洪中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷含答案

高二数学高二数学第页射洪中学高2025级高二上期第一次综合素质测评数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将答题卡交回。第I卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点，点，则向量的坐标是（

）A． B． C． D．2．已知，，若，则x的值为（

）A．7 B．-8 C．6 D．-53．一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是（

）A．都是黑球 B．恰好有1个黑球 C．恰好有1个红球 D．至少有2个红球4．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（

）A． B． C． D．5．在棱长为的正方体中，为中点，则直线与EB所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．已知事件A，B，C满足，，，下列结论正确的是（

）A．B，C互为对立事件 B．若，则C．若A，B互斥，则 D．若A，B相互独立，则7．在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（

）A．若，则 B．向量是的一个单位向量C．若，则在上的投影向量为D．若为钝角，则 BCB1A18．已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（

BCB1A1A． B．C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9．下列说法正确的是（

）B．空间中三个向量，若，则向量共面C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面10．在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（

）A． B．事件A与事件B相互独立C．P(A+B)=56 D．事件B与事件11．在直四棱柱中，所有棱长均2，，分别为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（

）A．平面∥平面B．若∥平面，则的最小值为C．当点在线段上运动时，四面体的体积为定值D．若且，则的最小值为第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知，则______．13.一个布袋中装有2个黄球和3个蓝球，这5个球除颜色外完全相同，先从布袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是___________．14.PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于6”，“至少有一颗骰子的点数为4”(1)求事件，的概率；(2)求事件，的概率．▲16．（15分）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.(1)试用向量，，表示向量；(2)若，，，求的值.▲17．（15分）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立．(1)乙、丙两人各自能被录用的概率；(2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率．▲18．（17分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)设为棱上的点（不与重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．▲19．（17分）在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至．(1)若平面平面．（i）求证：；（ii）已知F在线段BC上，且CD//平面PEF，求点到平面PEF的距离；(2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由．▲

射洪中学高2025级高二上期第一次综合素质测评数学试题参考答案题号1234567891011121314答案DABBACCDABCABACD(4,1,-2)13311.【详解】因为M、P分别为的中点，所以且，因为，所以，四边形ABPM为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.因为分别为的中点，所以，又，所以，因为平面，平面，所以平面.因为,平面AMN，所以平面∥平面，A正确；由A选项知，若∥平面，则点Q的轨迹为线段MN，在△AMN中，当时，AQ取得最小值即为点A到直线MN的距离.因为且，所以△ABD为等边三角形，取AB的中点为点E，则有，所以在直四棱柱中，以D为坐标原点，以DE、DC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，,,,点A到直线MN的距离为，B错误；因为，平面，平面，所以平面，当点在线段上运动时点Q到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，C正确；，，因为，所以，代入上式可得，此式在平面直角坐标系中表示点到的距离之和，其距离之和的最小值为点与点之间的距离，D正确.故选：ACD14.【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为，作于点G，则平面，直线与平面所成角为.作于点H，连接，因平面，则，又平面，则平面，又平面，则.于是有，，即(*).因由对称性知，，代入（*）得，.解法二：如图所示，把放在正方体中，的夹角均为.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，所以，设平面的法向量，则令，则，所以，所以.设直线与平面所成角为，所以，所以15.【详解】（1），样本点总数，，所以，（2），所以所以.16.【详解】（1），．．点为的中点，．（2），，，．17【详解】（1）设乙、丙能被录用的概率分别为，则有，解得，所以乙、丙能被录用的概率分别为，．（2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立，则三人至少有两人能被录用包括，四种彼此互斥的情况，则其概率为：.18.【答案】(1)证明：因为平面，平面，平面，所以，，又因为，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，，，，，所以，，，因为，.所以，又，平面，平面.所以平面.（2）解：设平面的法向量，由（1）可知，设平面的法向量因为，.所以，即，不妨设，得.设平面APC与平面PCD的夹角为，则cosθ=cos（3）解：设，即，由于所以.因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，即，解得，即，19.【详解】(1)（i）因为，，在中，由余弦定理，，,所以，即，所以.因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面．因为平面，所以；（ii）因为CD//平面PEF，平面，平面BCD∩平面所以．因为平分，所以，所以，，由（1）知，，，，平面．法1：以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，因为，，，设平面（即）的一个法向量为，所以，即，令，则，，所以，设到平面的距离是，则，所以点到平面的距离是；法2：由，得，所以的面积为．由（1）知平面，平面，所以．又,平面，所以平面，因为平面，所以，所以，即；在中，由余弦定理得，所以，设到平面的距离为，因为，所以，所以，所以点到平面的距离是；（2）以