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证明：若和是与对易的任意两个矢量算符，则有。证明：2.电子处于三维库仑势阱中。已知时电子的波函数为其中，代表电子的空间定态波函数。电子的轨道角动量算符记为。（1）求时刻电子能量的可测值（以基态能量为单位）及相应几率；（2）求时刻和的可测值及相应几率；（3）求时刻自旋算符和的可测值及相应几率；（4）写出时电子的波函数；（5）电子处于自旋向上状态的几率是否随时间变化，说明理由。解：(1).能量可测值：相应几率：3/4相应几率：1/4(2).可测值和相应几率：可测值和相应几率：(3)可测值和相应几率：可测值和相应几率：(4)(5)不随时间变化，因为是守恒量。3.设由两个自旋均为1/2的粒子组成的二粒子体系，其哈密顿量为其中，和分别为粒子1和粒子2的自旋泡利矩阵，和分别为和的分量，和均为实常数，求该体系的本征能量。解：方法一、选择耦合表象，构成完整力学量组，耦合表象即为自身表象(本征表象)，耦合表象基底即为共同本征态，H矩阵对角元即为本征值。即本征态为对应本征值为：。方法二、选择非耦合表象，此表象下，哈密顿矩阵为此4维哈密顿矩阵可分成1+2+1维子哈密顿来求解，可得本征值为对应本征态：4.只计入电子-核之间的库仑场相互作用时，氢原子的电子态有严格的本征解。在完全力学量集下，该能量本征态记为，其中分别是主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数。设电子轨道和自旋角动量耦合而成的总角动量算符记为。计算矩阵元和期望值。解：因为，总角动量平方算符并不改变主

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