电工与电子技术（第2版）课件 第4章 正弦稳态电路分析

第4章正弦稳态电路分析4.2正弦量的相量表示法4.4阻抗和功率4.1正弦量的基本概念4.3电路元件的相量模型4.5正弦稳态电路的分析4.6功率因数的提高4.7交流电路中的谐振第4章正弦稳态电路分析1.理解正弦量的特征及其各种表示方法；2.理解电路基本定律的相量形式及阻抗；

熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法，会画相量图；3.掌握有功功率和功率因数的计算,了解瞬时功率、无功功率和视在功率的概念；4.了解提高功率因数的意义和方法；5.了解串、并联谐振的条件及特征。本章要求

4.1

正弦量的基本概念正弦量：

随时间按正弦规律做周期变化的量。Ru+_

_

_+_正弦交流电的优越性：

便于传输；易于变换便于运算；有利于电器设备的运行；

.....正半周负半周Ru+_iu设正弦交流电流：角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量的大小

幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。初相角：决定正弦量起始位置

Im

2TiO4.1.1频率、周期与角频率周期T：变化一周所需的时间（s）角频率：（rad/s）频率f：（Hz）T*电网频率：我国

50Hz

，美国

、日本

60HziO4.1.2幅值与有效值有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。幅值：Im、Um、Em则有交流直流幅值必须大写,下标加m。同理：有效值必须大写

给出了观察正弦波的起点或参考点。

:4.1.3初相位与相位差

相位：

注意：交流电压、电流表测量数据为有效值交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值初相位：

表示正弦量在t=0时的相角。

反映正弦量变化的进程。iO如：若电压超前电流

两同频率的正弦量之间的初相位之差。4.1.3相位差

：uiui

ωtO电流超前电压电压与电流同相

电流超前电压

电压与电流反相uiωtui90°OuiωtuiOωtuiuiOuiωtui

O(2)不同频率的正弦量比较无意义。

(1)两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。注意:tO4.2

正弦量的相量表示法瞬时值表达式波形图正弦量的表示方法重点必须小写相量uO计算不方便计算不方便+j+1Abar04.2.1复数设A为复数:(1)代数式A=a+jb复数的模复数的辐角实质：用复数表示正弦量式中:(2)三角式(3)指数式

可得:

(4)极坐标式由欧拉公式:正弦量用旋转有向线段表示ω设正弦量:若:有向线段长度

=ω有向线段以速度

按逆时针方向旋转则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。有向线段与横轴夹角

=初相位u0xyOO4.2.2正弦量的相量表示设正弦量:相量:表示正弦量的复数称相量电压的幅值相量+j+1Um0ωxyO相量的模=正弦量的最大值

相量辐角=正弦量的初相角对应正弦量的相量表示旋转有向线段复数相量正弦量电压的有效值相量(1)相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:？=(2)只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。(3)只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。或相量的模=正弦量的有效值

相量辐角=正弦量的初相角(5)相量的书写方式

模用最大值表示，则用符号：(4)相量的两种表示形式

相量图:

把相量表示在复平面的图形

实际应用中，模多采用有效值，符号：可不画坐标轴如：已知则或相量式:+1+jO旋转因子：⑥“j”的数学意义和物理意义设相量相量乘以，将顺时针旋转

，得到

相量乘以，将逆时针旋转，得到？正误判断1.已知：？有效值？3.已知：复数瞬时值j45

•？最大值？？

负号2.已知：4.已知：

落后于超前落后？解:(1)相量式(2)相量图例1:

将u1、u2

用相量表示+1+j例2:已知有效值I=129A求：1.电压与电流的关系设(2)大小关系：(3)相位关系：u、i

相位相同根据欧姆定律:(1)频率相同相位差：相量图4.3

电路元件的相量模型Ru+_相量式：4.3.1

电阻元件的交流电路2.功率关系(1)瞬时功率

p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写结论:

（耗能元件）,且随时间变化。piωtuOωtpOiu瞬时功率在一个周期内的平均值大写(2)平均功率(有功功率)P单位:瓦（W）PRu+_ppωtO注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。

基本关系式：(1)

频率相同(2)

U=IL

(3)

电压超前电流90

相位差1.电压与电流的关系4.3.2

电感元件的交流电路设：+-eL+-LuωtuiiO或则:

感抗(Ω)

电感L具有通直阻交的作用直流：f=0,XL=0，电感L视为短路定义：有效值:交流：fXL感抗XL是频率的函数可得相量式：电感电路复数形式的欧姆定律相量图超前根据：则：O2.功率关系(1)瞬时功率(2)平均功率L是非耗能元件储能p<0+p>0分析：瞬时功率

：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0p<0放能储能放能

电感L是储能元件。iuopo结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。可逆的能量转换过程用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率达到的最大值表征，即单位：var(3)

无功功率Q瞬时功率

：

例1:把一个0.1H的电感接到f=50Hz,U=10V的正弦电源上，求I，如保持U不变，而电源

f=1000Hz,这时I为多少？解：(1)当f=50Hz时（2）当f

=1000Hz时

电压有效值一定时，频率愈高，则通过电感元件的电流有效值愈小，所以电感元件具有通低频阻高频的特性。电流与电压的变化率成正比。

基本关系式：1.电流与电压的关系(1)

频率相同(2)

I=UC

(3)电流超前电压90

相位差则：4.3.3

电容元件的交流电路uiC+_设：iuiu或则:

容抗（Ω）定义：有效值所以电容C具有隔直通交的作用XC直流：XC，电容C视为开路交流：f容抗XC是频率的函数可得相量式则：电容电路中复数形式的欧姆定律相量图超前O由：2.功率关系(1)瞬时功率uiC+_(2)平均功率Ｐ由C是非耗能元件瞬时功率

：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0充电p<0放电+p>0充电p<0放电po所以电容C是储能元件。结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。uiou,i同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。(3)无功功率Q单位：var为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设则：

例1:解：当f

=50Hz时把一个47μF的电容元件接到频率为50Hz，电压有效值为10V的正弦电源上，问电流是多少?如保持电压值不变，而电源频率改为1000Hz，这时电流将为多少?当f=1000Hz时可见，在电压有效值一定时，频率愈高，则通过电容元件的电流有效值愈大。指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？在电阻电路中：在电感电路中：在电容电路中：【练习】电路元件的相量模型的基本关系小结参数LCR基本关系阻抗相量式相量图电路元件的相量模型分析计算小结电路参数电路图(参考方向)阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i

同相0LC设则则u领先i90°00基本关系+-iu+-iu+-设u落后i90°4.3.4相量形式的基尔霍夫定律用相量法分析时，线性电阻电路的各种分析方法和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析，差别仅在于所得电路方程为以相量形式表示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，而计算则为复数运算。【例4.3.4】图示电路中，若A，A

求

的值。解：根据KCL故有4.5

阻抗和功率4.4.1阻抗N0为含线性电阻、电感和电容等元件，但不含独立源的一端口网络。端口的电压相量与电流相量上的比值定义为该一端口的阻抗Z。一端口的阻抗阻抗

Z的模表示u、i的大小关系，辐角（阻抗角）为u、i的相位差。Z

是一个复数，不是相量，上面不能加点。注意电路参数与电路性质的关系：阻抗模：阻抗角：当X

>0时，

>0

，u

超前i

呈感性当X

<0时，

<0

，u

滞后i

呈容性当X

=0时，

=0

，u.

i同相呈电阻性

由电路参数决定。导纳：阻抗的倒数如：导纳:导纳:称为电导称为电纳称为该支路的导纳模(单位:西门子S)对于单个元件R、L、C，它们的导纳分别为：称为感纳称为容纳称为电导电阻电感电容4.2.2交流电路中的功率储能元件上的瞬时功率耗能元件上的瞬时功率

在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。(1)瞬时功率设：(2)平均功率P

（有功功率）单位:W总电压总电流u与i

的夹角cos

称为功率因数，用来衡量对电源的利用程度。(3)无功功率Q单位：var总电压总电流u与i

的夹角电感和电容与电源之间的能量互换(4)视在功率S

电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：V·A

注：SN＝UNIN

称为发电机、变压器等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。

P、Q、S

都不是正弦量，不能用相量表示。功率三角形SQP4.4.3

阻抗的串联与并联1阻抗的串联分压公式：对于阻抗模一般注意：+-++--+-通式:解：例1:RLC申联电路如图所示，其中R=15Ω，L=12mH，C=5pF，端电压

，试求：电路中的电流瞬时表达式和各元件的电压相量。

用相量法求解电流相量：先计算各部分阻抗为总阻抗电阻电压相量：电感电压相量：电容电压相量：电流瞬时值表达式：

下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？思考两个阻抗串联时,在什么情况下:成立。U=14V?U=70V?(a)3

4

V1V26V8V+_68

30V40V(b)V1V2+_解:同理：+-例2:

有两个阻抗,,它们并联接在的电源上;求:和并作相量图。2阻抗的并联分流公式：对于阻抗模一般注意：+-+-通式:

图示电路中【例4.4.2】求各支流电流和电压【解】总的阻抗各支路电流和电压计算如下：或者根据分流公式思考

下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？两个阻抗并联时,在什么情况下:成立。I=8A?I=8A?(c)4A4

4A4

A2A1(d)4A4

4A4

A2A1思考2.如果某支路的阻抗,则其导纳对不对?+-3.图示电路中,已知则该电路呈感性,对不对?1.图示电路中,已知A1+-A2A3电流表A1的读数为3A,试问(1)A2和A3的读数为多少?(2)并联等效阻抗Z为多少?4.5正弦稳态电路的分析

若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗（

)表示，则直流电路中介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流电路中都能使用。相量形式的基尔霍夫定律

电阻电路纯电感电路纯电容电路一般电路相量（复数）形式的欧姆定律有功功率P

有功功率等于电路中各电阻有功功率之和，或各支路有功功率之和。

无功功率等于电路中各电感、电容无功功率之和，或各支路无功功率之和。无功功率Q或或一般正弦稳态电路的解题步骤1.根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变)2.根据相量模型列出相量方程式或画相量图3.用相量法或相量图求解4.将结果变换成要求的形式【例4.5.1】在图4.5.1所示电路中，R1=5

，R2=4.3，XC=10，XL=7.2，=2.1

0

A。求：（1）电源电压u；（2）电路的有功功率P；（3）说明该电路呈何性质。

【解】这是已知所有电路结构参数与部分电流参数，求解其它部分电压电流参数的例子。（a）

（b）（1）各支路电流方向如右图所示

（3）电流超前于电压，该电路呈容性设则例1：

已知电源电压和电路参数，电路结构为串并联。求电流表达式。一般用相量式计算:分析题目：已知:R1=16

，R2=30

，X1=24

，X2=40

。求总电流i，总有功功率P及总功率因数

，画出相量。【解】

总电流功率因数总有功功率【例4.5.3】正弦交流电路如图所示，已知电流有效值I=18A，R1=10

，R2=20

，XL1=10

，XL2=20

。求电路的有功功率，无功功率和功率因数。

【解】：设

例4：下图电路中已知：I1=10A、UAB=100V，求：总电压表和总电流表

的读数。解题方法有两种：(1)用相量(复数)计算;(2)利用相量图分析求解。分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数,求总电流和电压AB

C1VA求：A、V的读数已知：I1=10A、

UAB=100V，解法1:

用相量计算所以A读数为10安即：为参考相量，设：则：AB

C1VAV读数为141V

求：A、V的读数已知：I1=10A、

UAB=100V，AB

C1VA解法2:利用相量图分析求解画相量图如下：设为参考相量,由相量图可求得：I=10A求：A、V的读数已知：I1=10A、

UAB=100V，超前1045°AB

C1VAUL=IXL

=100VV

=141V由相量图可求得：求：A、V的读数已知：I1=10A、

UAB=100V，设为参考相量,1001045°10045°AB

C1VA4.6

功率因数的提高1.功率因数:对电源利用程度的衡量。X

+-的意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角时,电路中发生能量互换,出现无功当功率这样引起两个问题:(1)电源设备的容量不能充分利用若用户：则电源可发出的有功功率为：若用户：则电源可发出的有功功率为：而需提供的无功功率为:所以提高可使发电设备的容量得以充分利用无需提供的无功功率。2.功率因数cos

低的原因（2）增加线路和发电机绕组的功率损耗(费电)所以要求提高电网的功率因数对国民经济的发展有重要的意义。设输电线和发电机绕组的电阻为:要求:(Ｐ、Ｕ定值)时所以提高可减小线路和发电机绕组的损耗。(导线截面积)

日常生活中多为感性负载---如电动机、日光灯，其等效电路及相量关系如下图。相量图+-+-+-感性等效电路40W220V白炽灯

例40W220V日光灯

供电局一般要求用户的否则受处罚。

常用电路的功率因数纯电阻电路R-L-C串联电路纯电感电路或纯电容电路电动机空载电动机满载

日光灯（R-L串联电路）3.功率因数的提高(2)提高功率因数的措施

必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。

在感性负载两端并电容I(1)提高功率因数的原则+-

结论并联电容C后(2)

原感性支路的工作状态不变:不变感性支路的功率因数不变感性支路的电流(3)

电路总的有功功率不变因为电路中电阻没有变，所以消耗的功率也不变。(1)电路的总电流，电路总功率因数I电路总视在功率S4.

并联电容值的计算相量图:又由相量图可得即:+-思考题:1.电感性负载采用串联电容的方法是否可提高功率因数,为什么?2.原负载所需的无功功率是否有变化,为什么?3.电源提供的无功功率是否有变化,为什么?例1:解：(1)（2）如将从0.95提高到1，试问还需并多大的电容C。（1）如将功率因数提高到,需要并多大的电容C,求并C前后的线路的电流。某感性负载,其功率P=40.4kW,，接在电源电压上。即即求并C前后的线路电流并C前:可见:cos

1时再继续提高，则所需电容值很大(不经济)，所以一般不必提高到1。并C后:(2)从0.95提高到1时所需增加的电容值【例4.6.2】在图示正弦交流电路中，已知

，负载A，B的有功功率，功率因数分别为PA=10kW，

A=0.6(滞后)，PB=8kW，

B=0.8(滞后)。求：(1)要使电路的总功率因数提高到0.9，应并联多大电容？(2)并联电容后电路电流

的有效值为多大？解：(1)根据题意，设对于负载A

对于负载B

电流i

应并联电容（2）并联电容后电路电流有效值为4.7交流电路中的谐振

在同时含有L和C的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。串联谐振：L

与C

串联时u、i

同相并联谐振：L

与C

并联时u、i

同相

研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危害。谐振的概念：同相

由定义，谐振时：或：即谐振条件：谐振时的角频率串联谐振电路(1)谐振条件1.串联谐振RLC+_+_+_+_(2)

谐振频率根据谐振条件：或电路发生谐振的方法：(1)电源频率f

一定，调参数L、C使fo=f；(2)

谐振频率(2)电路参数LC

一定，调电源频率f，使f=fo

或：(3)

串联谐振特怔(1)

阻抗最小可得谐振频率为：当电源电压一定时：(2)电流最大电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗，和相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。(3)同相(4)电压关系电阻电压：UR=IoR=U大小相等、相位相差180

电容、电感电压：UC、UL将大于电源电压U当时：有：由于可能会击穿线圈或电容的绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐振，但在无线电工程上，又可利用这一特点达到选择信号的作用。令：表征串联谐振电路的谐振质量品质因数，所以串联谐振又称为电压谐振。