第七章 《命题与证明》能力卷-北师大版数学八上单元测试卷

第七章《命题与证明》能力卷--北师大版数学八上单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．有A，B，C，D，E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，由比赛过程中统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，那么同学E赛了()A．1盘 B．2盘 C．3盘 D．4盘2．下列结论推理合理的是()A．王强和小明体重看起来不等，那么他们的体重一定不等B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多3．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜3分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开7分钟；（5）用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各工序除（4）外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（）A．14分钟 B．13分钟 C．12分钟 D．11分钟4．已知a，b，c是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是()A．若a⊥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．若a∥b，b⊥c，则a∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c5．“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题.正确的反例是（）A．两个角互为邻补角B．α＝90°，α的补角β＝90°，β＝αC．α＝120°，α的补角β＝60°，β＜αD．α＝80°，α的补角β＝100°，β＞α6．下列命题中，说法错误的个数有（）①等角的余角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等；⑤过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段叫做这个点到这条直线的距离．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．下列说法中，正确的个数是()①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；⑥两个角互补，则一个角一定是钝角，另一个角一定是锐角.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，下列命题：①若∠1＝∠2，则∠D＝∠4；②若∠C＝∠D，则∠4＝∠C；③若∠A＝∠F，则∠1＝∠2；④若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A＝∠F；⑤若∠C＝∠D，∠A＝∠F，则∠1＝∠2.其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE．下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD=∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE，其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③④ D．①④10．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①∠ACB＝∠CBN；②∠CBD＝58°；③当∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝29°；④当点P运动时，∠APB∶∠ADB＝2∶1的数量关系不变.其中正确结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题3分，共18分）11．好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互握手一次，中途统计各位同学握手次数：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，请你推断一下，E同学握手次.12．对于正整数m，若存在正整数x和y，使得m可以用x2−3y2来表示，称①1是“小屋数”；②对于任意大于1的整数m,m2−3是“小屋数”；③5是“小屋数”；④若m为“小屋数”，则对于任意自然数13．如图所示，①AC平分∠BAD；②AB=AD；③AB⊥BC，AD⊥DC.以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①.其中正确的命题个数是.14．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序ABCDEFG所需时间/分99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟.15．标有1－25号的25个座位如图摆放.甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位.游戏规则如下：①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位；②每人使自己所选的座位号数字之和最小；③座位不能重复选择.（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被选择；（2）如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为.16．如图，点A，B，C，D在一条直线上，BE∥CF，现有如下3个选项：①AE∥DF；②AB=CD；③BE=CF.从其中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题.并说明理由.条件：，，结论.(只需填写序号)三、解答题（共8题，共72分）17．一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b，若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个数的和能被11整除吗?我们可验证一下：比如23，把它的十位数字与个位数字对调后得到新的两位数32.而23+32=55.因此我们断定，这两个数的和能被11整除.上述说法正确吗?请说明理由.18．数学课上，张老师在黑板上写出下列三个判断题(如图所示).下面是三位同学的回答：小明：问题(1)是正确的，图中的线段a比线段b长.小颖：问题(2)是正确的.小贝：问题(3)不正确，当x=0时，y=x2你认为他们的回答对吗?如果不对，请说明理由.19．一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”.观察：101-(1+0+1)=99=9×11；232-(2+3+2)=225=9×25；555-(5+5+5)=540=9×60…（1）猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被整除.（2）验证：若一个“对称数”是979，请通过计算验证猜想；（3）设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字为b，请你通过推理说明猜想是正确的.20．已知∠ABC和∠DEF，请根据下面要求解决相应的问题.如图1，图2所示，当DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P时.（1）填空：图1中∠ABC与∠DEF的数量关系为；图2中∠ABC与∠DEF的数量关系为；（2）请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程.（3）请用“如果……，那么……”的形式把上述结论表述出来：.21．对于一个任意的四位数M，若M的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为3+7=1+9，所以四位数3197是稳定数．（1）填空：2025稳定数（填“是”或“不是”）；（2）已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数；（3）命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由．22．勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90∘，连接AE交BG于点P，连接BE，得到图1．若（1）求证：EF=DF；（2）延长AE，交BC于点M，若AB=5，求CM的长．23．阅读与思考阅读下列材料，并完成相应任务．如图1，物理学中把经过入射点O，并垂直于平面镜的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角．在反射现象中，入射角等于反射角．因为法线ON垂直于平面镜，且入射角i=反射角r，所以∠1=∠2（依据）．利用这个规律，人们制造了潜望镜与自行车的尾灯．如图2，这是潜望镜的工作原理示意图，AB，CD是平面镜，m是射入潜望镜的光线，如图3，自行车的尾灯本身不发光，但无论光线从哪个方向射到尾灯上，都可以沿与入射光线平行的方向反射回去，从而起到警示作用．任务：（1）上述材料中，“依据”指的是．（2）如图2，AB∥CD，m∥n．若∠1=41°，求∠6的度数．（3）小明拆开自行车的尾灯，看到了多面互相垂直的小平面镜．几经思考，他终于想明白了其中的道理．请你结合图4，说明反射光线DE与入射光线AB平行的理由．（其中射线BM和射线DN为法线）24．灯光秀是广州珠江夜游的靓丽风景线，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在江的两岸A、B安置了可旋转探照灯．假定江两岸EF∥GH，如图1所示，桥AB⊥GH，灯A射线从AF开始绕点A顺时针旋转至AE后立即回转，灯B射线从BG开始绕点B顺时针旋转至BH后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是1度/秒、3度/秒．（1）若两灯同时转动，在灯B射线第一次到达BH之前，两灯射出的光束交于点C．①如图1，若∠ACB=90°，则需要______秒；②如图2，在射线AF上取一点D，且∠ACD=k∠ABC，则在转动过程中，是否存在实数k使得∠BCD为定值？若存在，请求出实数k的值及∠BCD的度数；若不存在，请说明理由；（2）若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线第一次到达AE之前，求灯B转动多少秒，两灯的光束互相平行？

参考答案1．B2．D3．C4．D5．C6．D7．A8．C9．C10．D11．212．①②④⑤13．214．53；2815．（1）乙（2）11016．①；②；③17．解：正确，理由如下：由题意，得这个两位数为10a+b，对调后的两位数为10b+a，∴这两个数的和为10a+b+10b+a=11(a+b)，∴这两个数的和能被11整除.18．解：小明的回答错误，因为问题(1)中线段a、b一样长，所以小明的回答错误；小颖的回答错误，当a=-3、b=-1时，虽然|a|>|b|，但a<b，所以小颖的回答错误；小贝的回答正确，当x=0时x2+x0无意义，所以小贝的回答正确.19．（1）9（2）解：979-(9+7+9)=954=9×106，故将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除；（3）解：(100a+10b+a)-(a+b+a)=99a+9b=9(11a+b)，∵a，b为整数，∴9(11a+b)能被9整除，∴“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除.20．（1）∠ABC＝∠DEF；∠ABC＋∠DEF＝180°（2）解：选择题图1：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BPE（两直线平行，内错角相等）.∵BC∥EF，∴∠BPE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等），∴∠ABC＝∠DEF（等量代换）.选择题图2：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BPE（两直线平行，内错角相等）.∵BC∥EF，∴∠BPE＋∠DEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠ABC＋∠DEF＝180°.（3）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.21．（1）不是（2）解：设十位数字为a，个位数字为b，根据题意，得1+b=9+a∴b−a=8

∴a=0b=8或a=1b=9

∴所求的稳定数为1908或1919．（3）解：是假命题，反例如下：四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039

然而四位数5039不是稳定数

∴“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题22．（1）证明：∵∠ABE=∠AEB∴AB=AE∵AB=AD∴AE=AD∵∠DFA=90°∴EF=DF（2）解：如图，

由（1）知AE=AD

∵∠DFA=90°

∴∠1=∠3

∵△AFD≌△CHB，

∴∠1=∠2，

∵∠AGB=∠BHC=90°，

∴∠AGB=∠GHC=90°，

∴AF∥CH，

∴∠3=∠4=∠5，

∴∠2=∠5，

∴ME=MC，设ME=MC=x，

∴AM=AE+EM=5+x，

∵△BGA≌△CHB，

∴AB=BC=5,∠ABG=∠BCH，

∴BM=BC−CM=5−x

∵∠BHC=90°=∠BCH+∠HBC

∴∠ABG+∠HBC=∠ABC=90°，

∴AB2+BM2=AM2，

∴52+5−x23．（1）等角的余角相等（2）解：由题意，得∠2=∠1=41°，所以∠5=180°−∠1−∠2=98°；因为m∥n，所以∠6=∠5=98°（3）解：由题图，可知MB⊥CB，ND⊥CD，∠C=90°，所以∠NDC=∠NDB+∠BDC=90°，∠MBC=∠MBD+∠DBC=90°，∠DBC+∠BDC=90°，所以∠MBD+∠NDB=90°.根据光的反射，可知∠ABM=∠MBD，∠NDB=∠NDE，所以∠ABD