理论力学（第2版）张俊彦第2章平面力系课件

1静力学

平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。引言①平面汇交力系平面力系②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况)③平面一般力系(平面任意力系)研究方法：几何法，解析法。例：起重机的挂钩。力系分为：平面力系、空间力系平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平行力系。在平面汇交力系的研究中，我们可以用几何法与解析法两种思路完成力的合成与平衡分析。几何法的核心是依托力的平行四边形法则与三角形法则实现力的等效替换。两个共点力的合成过程中，以两个力为邻边构建平行四边形，邻边所夹的对角线就是对应的合力。任意个共点力的合成可以按顺序拼接前一个力的末端作为后一个力的起点，最终从第一个力的起点指向最后一个力末端的封闭边就是总合力，这种拼接形成的图形也叫做力多边形。针对合力的具体计算，我们可以结合数学定理推导量化结果。运用余弦定理能算出合力的大小，公式为，其中α是两个分力的夹角。运用正弦定理可以确定合力的方向，通过分力与对应夹角的正弦值比例关系，就能明确合力的指向角度。这套方法把抽象的力矢量计算转化为具象的几何作图与公式运算，为后续平面汇交力系的平衡分析提供基础。从几何法的局限性切入，坐标轴投影是解析法的核心基础。通过建立直角坐标系，可将任意方向的力分解为两个垂直分量，为复杂力系的定量计算提供了精准工具。力在x轴的投影X等于力的大小F与力和x轴夹角余弦的乘积，即。力在y轴的投影Y等于力与x轴夹角正弦的乘积。这一投影关系将矢量运算转化为代数运算，奠定了解析法的数学基础。投影的正负号由力与坐标轴的夹角决定。当力的指向与坐标轴正方向一致时，投影为正；反之则为负。这种符号规则确保了力的方向信息能够通过投影值完整表达，为后续的合力计算和平衡分析提供了准确依据。求解拉过障碍物的水平拉力，需依托平衡条件推导核心数值。选定压路机碾子为研究对象，拉过障碍物的临界状态为关键分析节点：碾子即将离地时，原地面的支撑力归零，此时水平拉力、碾子自重、障碍物的支撑力构成完整平衡力系。以力多边形封闭的几何条件为核心，结合碾子半径、障碍物高度的几何关系，算出水平拉力为11.5kN，障碍物对碾子的支撑力为23.1kN。根据作用力与反作用力的对应关系，碾子对障碍物的压力与障碍物对碾子的支撑力大小相等，即碾子对障碍物的压力为23.1kN。该问题也可通过比例尺绘制力多边形的方式直接测量得到结果。这类几何法解题遵循固定流程：第一步选定研究对象，第二步绘制受力图，第三步选定合适比例尺作力多边形，第四步求解未知力。但几何法存在明显局限，求解精度受作图误差影响较大，对作图精度要求高，且无法直观展现各物理量间的函数关联，因此解析法成为后续力系分析的核心方法。解析法依托数学计算替代几何作图，能够规避几何法的精度误差问题，还可以清晰呈现各力学量间的函数关系，是后续解决平面汇交力系问题的核心工具。力在坐标轴上的投影是解析法的基础逻辑。将力矢量分解到水平x轴与竖直y轴上，得到的标量分量即为力的投影：力与x轴正方向夹角为α时，x轴投影X等于力的大小F与cosα的乘积；y轴投影Y等于力的大小F与sinα的乘积，也等价于力与y轴正方向夹角余弦的乘积。投影的正负由力的指向与坐标轴正方向的关系决定，同向为正，反向为负。这套投影规则搭建起了矢量力学到标量计算的桥梁。讲解力在坐标轴上的投影时，先明晰投影是矢量向坐标轴的数值转化，是搭建力系代数分析框架的核心基础。观察投影公式，X=Fx=F·cosa、Y=Fy=F·sina=F·cosb，明确投影数值由力的大小与夹角共同决定，正负符号关联力的指向与坐标轴正方向的关系，直接影响后续代数运算结果的准确性。回顾几何法作图误差大、函数关系表达不直观的局限，力的投影将矢量的几何关系转化为可量化计算的代数量，搭建起几何逻辑与代数运算的衔接桥梁，为后续合力投影定理推导、平衡方程构建奠定核心基础。推导合力投影定理时，会依托投影的数值化特性，整合各分力的投影值，完成合力的代数表达。学习完几何法求解平面汇交力系的合成与平衡问题，我们会发现这种方法存在明显局限性：手工作图的精度难以控制，结果误差较大，同时无法清晰呈现各物理量之间的函数关系。为了实现更精准、高效的力学分析，我们引入解析法这一新的研究工具，其核心基础是力在坐标轴上的投影计算。力在坐标轴上的投影是一个标量，通过力的大小与对应方向夹角的余弦值计算得出。具体来说，若将力F置于平面直角坐标系中，力与x轴正方向的夹角为α，那么它在x轴上的投影X就等于力的大小F乘以cosα；而它在y轴上的投影Y，则等于力的大小F乘以sinα，也可以等价表示为力与y轴正方向夹角β的余弦值乘以F，即Y=F·cosβ。这里要特别注意投影的正负号规则：当力的分量指向坐标轴正方向时，投影为正；指向负方向时，投影为负。掌握力的投影计算方法，就能将矢量形式的力转化为标量进行代数运算，这一转变打破了几何法的精度限制，为后续推导合力投影定理、建立解析法平衡方程奠定了关键基础。解析法是平面汇交力系分析的核心工具。明确力在坐标轴上的投影规则，力沿x轴的投影X等于力的大小F乘以力与x轴夹角α的余弦值，力沿y轴的投影Y等于力的大小F乘以夹角α的正弦值，投影的正负由力的指向与坐标轴正方向是否一致确定。基于投影规则推导的合力投影定理明确：合力在任意坐标轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。该定理直接给出了合力大小的计算方法：先分别计算所有分力在x轴、y轴的投影代数和，再通过勾股定理计算合力的大小。合力的方向由合力与x轴的夹角确定，夹角的正切值等于y轴投影代数和与x轴投影代数和的比值。合力的作用点与平面汇交力系的汇交点重合，这是平面汇交力系的基本特性。进一步推导平衡条件，平面汇交力系平衡的核心判定标准是合力为零，对应解析表达式为x轴、y轴的投影代数和均为零，这两个方程就是平面汇交力系的平衡方程，也是后续求解静力学未知力的核心依据。承接上一道例题的思路，通过精确求解碾子越过障碍物所需的拉力与压力，我们得出结果F=11.5kN，NB=23.1kN。根据作用力与反作用力原理，碾子对障碍物的压力与NB大小相等，方向相反，这是力学分析中必须掌握的对应关系。我们也可以通过绘制力多边形，使用比例尺进行测量来验证结果，这种直观的几何方法在工程估算中具有快速实用的价值。通过这道例题，我们总结出几何法的核心解题步骤：选定研究对象、绘制受力图、按比例构建力多边形、最终求解未知力。大家在学习几何法时，需要清晰认知其技术局限性——一方面，测量精度受作图质量影响较大，存在不可避免的误差；另一方面，该方法无法直接呈现各物理量之间的函数关系，难以深入分析变量间的内在联系。这正是我们接下来引入解析法的核心原因，解析法能够通过代数运算弥补几何法的不足，为复杂力学问题的求解提供更精准、更具普适性的分析路径。我们要解决的这个问题，核心是推导球体平衡时的角度α和地面对球体的反力ND。已知两个关键条件，一是球体自身重力为P，二是挡板施加的作用力为Q，我们需要通过静力学平衡原理，把这两个已知力和待求的未知量关联起来。解题的第一步，先确定研究对象为球体。因为球体同时受到重力P、挡板作用力Q、地面支持力ND和接触点的弹力，所有力的作用线都汇交于球心，完全符合平面汇交力系的平衡条件，能够通过解析法建立方程求解。接着，我们建立适配的投影坐标轴，让坐标轴的方向和已知力的方向尽可能对齐，减少三角函数的复杂计算，提升求解效率。我们将水平方向设为x轴，竖直方向设为y轴，这样拆分后每个方向的受力平衡都能单独列方程计算。首先列x方向的平衡方程，水平方向上只有挡板作用力Q的水平分力和接触点弹力的水平分力，两个力大小相等方向相反，合力为零。我们整理这个方程，就能得到接触点弹力和α、Q的关系。再列y方向的平衡方程，竖直方向上有球体的重力P、地面反力ND、接触点弹力的竖直分力，三个力的合力为零。把x方向得到的弹力关系代入y方向的方程，就能逐步消去中间未知量，先解出平衡时的角度α，再进一步算出地面的反力ND。这个解题过程完全遵循平面汇交力系解析法的标准逻辑，通过拆分力、列平衡方程、联立求解，把复杂的受力问题转化为可计算的代数方程，最终得到我们需要的结果。第12页我们分析块体的受力逻辑，F力持续作用会对球产生斜向推力，当球离开地面时，地面支持力NB会归零，这是临界状态的判定标准。已知球的重力P、半径R与离地高度h，我们可以基于力的分解与平衡条件，结合块体受力推导临界状态下的F值。球离开地面后仅受重力P、块体的推力与地面支持力，临界状态下地面支持力为0。我们可先对球进行受力分析，作力三角形并解出对应分力，再将其代入块体的平衡方程，就能得出使球离开地面的F临界值。这类问题是静力学临界平衡分析的典型，核心在于明确临界状态的力学特征，即支持力为零，再通过受力图拆解力的分量，利用几何关系与平衡条件联立求解，帮助大家掌握多物体系统的临界问题分析思路。第13页球在即将离开地面的临界状态下，受重力P、水平力F、挡板反力NB与地面支持力ND共同作用，我们可以通过作力三角形来精准求解各力的平衡关系。临界平衡的核心是球与地面的接触状态即将发生改变，当ND的数值趋近于0时，球就会脱离地面。我们可以联立球与块体的受力平衡方程，将地面支持力ND的表达式推导出来，再代入ND=0的临界条件，就能解出使球刚好离开地面所需的水平力F的大小。这个推导过程完全契合静力学平衡的核心逻辑，同时也能帮助我们熟练掌握几何法在临界静平衡问题中的应用技巧。第14页平面汇交力系的解题方法选择，直接影响解题效率与结果准确性。我们构建的方法选择逻辑，可帮助快速定位适配方案。针对仅受三个力作用、且角度特殊的物体，采用几何法解力三角形，能依托特殊角度的几何特性简化推导流程，快速得出受力结果；针对受多个力作用的物体，无论角度是否特殊，均适用解析法，通过建立投影方程拆分未知量，适配复杂受力场景的求解需求。投影轴的选择遵循两个核心原则：一是与未知力方向垂直，降低投影计算复杂度；二是尽量让单个方程仅包含一个未知数，避免多元联立增加求解难度，同时可降低计算出错概率。针对力的方向无法精准判定的场景，优先选择解析法：可先任意设定力的方向，若计算结果为负值，即代表实际方向与假设方向相反；针对二力构件，统一预设为拉力，若计算结果为负值，即代表构件实际承受压力，该规则可统一受力分析的前置假设，减少方向判定的主观偏差。2

§2–1平面汇交力系合成和平衡的几何法§2–2平面汇交力系合成和平衡的解析法§2–3力矩、力偶的概念及其性质§2–4平面力偶系的合成与平衡§2–5平面平行力系的合成与平衡第2章平面力系13静力学

§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、合成的几何法2.任意个共点力的合成为力多边形1.两个共点力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理： 由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。4静力学

结论：即：

即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。二、平面汇交力系平衡的几何条件在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零5静力学[例]

已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。又由几何关系：①选碾子为研究对象②取分离体画受力图解： ∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故6静力学由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。F=11.5kN,NB=23.1kN所以几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图；

③作力多边形，选择适当的比例尺；

④求出未知数几何法解题不足：①精度不够，误差大②作图要求精度高；

③不能表达各个量之间的函数关系。

下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：

解析法。

7静力学§2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在坐标轴上的投影

X=Fx=F·cosa

：

Y=Fy=F·sina=F·cosb8静力学二、合力投影定理由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：9静力学合力的大小：方向：

作用点：∴为该力系的汇交点三、平面汇交力系合成与平衡的解析法

从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。 即：为平衡的充要条件，也叫平衡方程10静力学解：①研究AB杆

②画出受力图

③列平衡方程

④解平衡方程[例]

已知P=2kN求SCD,RA由EB=BC=0.4m，解得：；

11静力学[例]

已知如图P、Q，求平衡时=？地面的反力ND=？解：研究球受力如图，选投影轴列方程为由②得由①得①②12静力学又：[例]

求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h解：研究块,受力如图，解力三角形：13静力学再研究球，受力如图：作力三角形解力三角形：NB=0时为球离开地面14静力学1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。15静力学5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。16①

是代数量。当F=0或d=0时，=0。③

是影响转动的独立因素。⑤=2⊿AOB=F

d,2倍⊿形面积。静力学力对物体可以产生移动效应--取决于力的大小、方向

转动效应--取决于力矩的大小、方向§2-3力矩、力偶的概念及其性质-+一、力对点的矩说明：②F↑,d↑转动效应明显。④单位N

m，工程单位kgf

m。17静力学

定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和 即：二、合力矩定理由合力投影定理有： [证]od=ob+oc又∵18[例]

已知：如图F、Q、l,求：和 静力学

解：①用力对点的矩法

②应用合力矩定理

19①两个同向平行力的合力

大小：R=Q+P

方向：平行于Q、P且指向一致 作用点：C处 确定C点，由合力距定理静力学三、平面力偶及其性质力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。20静力学②两个反向平行力的合力

大小：R=Q-P

方向：平行于Q、P且与较大的相同 作用点：C处

（推导同上）性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。力偶无合力R=F'-F=021说明：①

m是代数量，有+、-；

②F、

d都不独立，只有力偶矩

是独立量；

③m的值m=±2⊿ABC

；

④单位：N•m静力学由于O点是任取的— +d22静力学性质3：平面力偶等效定理作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。[证]设物体的某一平面上作用一力偶(F,F')现沿力偶臂AB方向加一对平衡力(Q,Q'),Q',F'合成R'，再将Q,F合成R，得到新力偶(R,R'),将R,R'移到A',B'点，则(R,R')，取代了原力偶(F，F')并与原力偶等效。23静力学②只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。由上述证明可得下列两个推论：比较(F,F')和(R,R')可得m(F,F')=2△ABD=m(R,R')=2△ABC即△ABD=△ABC，且它们转向相同。①力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。24静力学§2-4

平面力偶系的合成与平衡平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系设有两个力偶 dd25静力学

平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。

结论:

平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。26静力学[例]

在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A

、B端水平反力?解:各力偶的合力偶距为根据平面力偶系平衡方程有:由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。27静力学§2-5

平面平行力系的合成和平衡平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼一、平面平行力系的合成

设在刚体上作用一平面平行力系，现求其合成结果。28静力学根据两个平行力合成理论可知，力与合成一个合力所以同理29静力学⑴.当时，原力系的合成结果是一个合力当力系平行于y轴时：合力作用线的位置：由⑵当时(即时)，原力系合成结果是一合力偶

30

由平面平行力系合成分析过程可知，平面平行力系总可以与两个平行力和等效，由公理1，二力和平衡的充要条件是：等值、反向、共线，即()和静力学平面平行力系平衡的充要条件为：力系中各力的代数和等于零，同时，各力对平面内任一点的矩的代数和也等于零。即：二、平面平行力系的平衡条件同时满足。因此，平面平行力系的平衡方程31静力学平面平行力系的平衡方程也可用两矩式表示，即其中：A、B两点的连线必须不与各力线平行[例]

已知：塔式起重机P=700kN,W=200kN(最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？ 32静力学限制条件：解得解：⑴

①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小Q为：②空载时，W=0由限制条件为：解得因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：33静力学⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA,NB为多少由平面平行力系的平衡方程可得：解得：34静力学第2章平面力系2平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。[例]力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知力系（平面汇交力系和平面力偶系）35第2章平面力系2

§2–1力线平移定理§2–2平面一般力系向一点简化§2–3平面一般力系的简化结果•合力矩定理§2–4平面一般力系的平衡条件和平衡方程§2–5平面平行力系的平衡方程§2–6静定与静不定问题的概念•物体系统的平衡§2–7平面简单桁架的内力分析平面一般力系习题课36静力学§2-1力线平移定理力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来的力对新作用点B的矩。[证]力力系37静力学①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶（例断丝锥）②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d

③力线平移定理是力系简化的理论基础。说明：38静力学§2-2平面一般力系向一点简化一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系

（未知力系）

（已知力系）汇交力系力，

R'(主矢)，(作用在简化中心)

力偶系力偶，MO

(主矩)，(作用在该平面上)

39

大小：

主矢

方向：

简化中心(与简化中心位置无关)[因主矢等于各力的矢量和]静力学（移动效应）40静力学

大小：主矩MO

方向：方向规定+—

简化中心：(与简化中心有关)

（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）（转动效应）固定端（插入端）约束在工程中常见的雨搭车刀41静力学固定端（插入端）约束说明

①认为Fi这群力在同一平面内;②将Fi向A点简化得一力和一力偶;③RA方向不定可用正交分力YA,XA表示;④YA,XA,MA为固定端约束反力;⑤YA,XA限制物体平动,

MA为限制转动。42静力学§2-3平面一般力系的简化结果

合力矩定理简化结果：主矢

，主矩MO

，下面分别讨论。

②

=0,MO≠0

即简化结果为一合力偶,MO=M此时刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。①

=0，MO

=0，则力系平衡,下节专门讨论。

③

≠0,MO

=0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）,。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）

43静力学④≠0,MO

≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简

化为一个合力。合力的大小等于原力系的主矢合力的作用线位置44静力学结论：

平面任意力系的简化结果

：①合力偶MO

；②合力

合力矩定理：由于主矩而合力对O点的矩

———合力矩定理由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。45静力学§2-4平面一般力系的平衡条件与平衡方程

由于=0为力平衡

MO=0为力偶也平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为：

力系的主矢和主矩MO都等于零，即：46静力学②二矩式条件：x轴不AB

连线③三矩式条件：A,B,C不在同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。①一矩式47静力学

[例]已知：P,a,求：A、B两点的支座反力？解：①选AB梁研究

②画受力图（以后注明解除约束，可把支反力直接画在整体结构的原图上）解除约束48

设有F1,F2…Fn

各平行力系，向O点简化得： 合力作用线的位置为： 平衡的充要条件为主矢=0

主矩MO

=0静力学§2-5平面平行力系的平衡方程平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼。49静力学所以平面平行力系的平衡方程为：

二矩式条件：AB连线不能平行于力的作用线

一矩式实质上是各力在x轴上的投影恒等于零，即 恒成立，所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。50静力学[例]已知：P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m

求：A、B的支反力。解：研究AB梁解得：51静力学§2-6静定与静不定问题的概念

物体系统的平衡一、静定与静不定问题的概念我们学过：平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。 三个独立方程，只能求三个独立未知数。力偶系平面任意力系当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）52静力学[例]

静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。静定（未知数三个）静不定（未知数四个）53静力学[例]二、物体系统的平衡问题外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。54静力学物系平衡的特点：

①物系静止

②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体）解物系问题的一般方法：

由整体局部（常用），由局部整体（用较少）55静力学[例]

已知：OA=R,AB=l,当OA水平时，冲压力为P时，求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？

④冲头给导轨的侧压力？ 解：研究B56静力学[负号表示力的方向与图中所设方向相反]再研究轮57静力学由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统——桁架

§2-7平面简单桁架的内力分析58静力学桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。节点杆件59静力学桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；

③外力作用在节点上。 力学中的桁架模型(基本三角形)三角形有稳定性60静力学工程力学中常见的桁架简化计算模型61静力学解：①研究整体，求支座反力一、节点法已知：如图

P=10kN，求各杆内力？[例]②依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。62静力学节点D的另一个方程可用来校核计算结果恰与相等,计算准确无误。63静力学解：研究整体求支反力①二、截面法[例]已知：如图，h，a，P

求：4，5，6杆的内力。②选截面I-I，取左半部研究IIA'64静力学说明：节点法：用于设计，计算全部杆内力截面法：用于校核，计算部分杆内力

先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力,与所设方向相反。65静力学三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零杆四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆内力等值、同性。两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零杆。三、特殊杆件的内力判断①②③66静力学《平面力系2习题课》一、力线平移定理是力系简化的理论基础力力+力偶

③平衡合力矩定理①合力（主矢）②合力偶（主矩）二、平面一般力系的合成结果小结：67一矩式二矩式三矩式静力学三、A,B连线不

x轴A,B,C不共线平面一般力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程成为恒等式

一矩式二矩式连线不平行于力线68静力学平面汇交力系的平衡方程成为恒等式平面力偶系的平衡方程四、静定与静不定独立方程数>未知力数目—为静定独立方程数=未知力数目—为静不定五、物系平衡物系平衡时，物系中每个构件都平衡，解物系问题的方法常是：由整体局部单体69静力学六、解题步骤与技巧

解题步骤解题技巧

选研究对象选坐标轴最好是未知力投影轴；画受力图（受力分析）取矩点最好选在未知力的交叉点上；选坐标、取矩点、列充分发挥二力杆的直观性；平衡方程。解方程求出未知数灵活使用合力矩定理。①①②②③③④④七、注意问题

力偶在坐标轴上投影不存在；力偶矩M=常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。70解：选整体研究受力如图选坐标、取矩点、Bxy,B点列方程为:

解方程得①②③④静力学

[例1]

已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。求AC杆内力？B点的反力？八、例题分析71

受力如图

取E为矩心，列方程

解方程求未知数静力学①②③④再研究CD杆72[例2]

已知:P=100N.AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m 且AB水平,ED铅垂,BD垂直于斜面；

求

?和支座反力？静力学解：研究整体画受力图选坐标列方程73静力学再研究AB杆，受力如图74静力学[例3]

已知Pd,求：a.b.c.d四杆的内力？解：由零杆判式研究A点：75静力学[例4]

已知：连续梁上，P=10kN,Q=50kN,CE铅垂,不计梁重求：A,B和D点的反力（看出未知数多余三个，不能先整体求出，要拆开）

解：①研究起重机76静力学③再研究整体②再研究梁CD演讲完毕在平面汇交力系的研究中，我们可以用几何法与解析法两种思路完成力的合成与平衡分析。几何法的核心是依托力的平行四边形法则与三角形法则实现力的等效替换。两个共点力的合成过程中，以两个力为邻边构建平行四边形，邻边所夹的对角线就是对应的合力。任意个共点力的合成可以按顺序拼接前一个力的末端作为后一个力的起点，最终从第一个力的起点指向最后一个力末端的封闭边就是总合力，这种拼接形成的图形也叫做力多边形。针对合力的具体计算，我们可以结合数学定理推导量化结果。运用余弦定理能算出合力的大小，公式为，其中α是两个分力的夹角。运用正弦定理可以确定合力的方向，通过分力与对应夹角的正弦值比例关系，就能明确合力的指向角度。这套方法把抽象的力矢量计算转化为具象的几何作图与公式运算，为后续平面汇交力系的平衡分析提供基础。从几何法的局限性切入，坐标轴投影是解析法的核心基础。通过建立直角坐标系，可将任意方向的力分解为两个垂直分量，为复杂力系的定量计算提供了精准工具。力在x轴的投影X等于力的大小F与力和x轴夹角余弦的乘积，即。力在y轴的投影Y等于力与x轴夹角正弦的乘积。这一投影关系将矢量运算转化为代数运算，奠定了解析法的数学基础。投影的正负号由力与坐标轴的夹角决定。当力的指向与坐标轴正方向一致时，投影为正；反之则为负。这种符号规则确保了力的方向信息能够通过投影值完整表达，为后续的合力计算和平衡分析提供了准确依据。求解拉过障碍物的水平拉力，需依托平衡条件推导核心数值。选定压路机碾子为研究对象，拉过障碍物的临界状态为关键分析节点：碾子即将离地时，原地面的支撑力归零，此时水平拉力、碾子自重、障碍物的支撑力构成完整平衡力系。以力多边形封闭的几何条件为核心，结合碾子半径、障碍物高度的几何关系，算出水平拉力为11.5kN，障碍物对碾子的支撑力为23.1kN。根据作用力与反作用力的对应关系，碾子对障碍物的压力与障碍物对碾子的支撑力大小相等，即碾子对障碍物的压力为23.1kN。该问题也可通过比例尺绘制力多边形的方式直接测量得到结果。这类几何法解题遵循固定流程：第一步选定研究对象，第二步绘制受力图，第三步选定合适比例尺作力多边形，第四步求解未知力。但几何法存在明显局限，求解精度受作图误差影响较大，对作图精度要求高，且无法直观展现各物理量间的函数关联，因此解析法成为后续力系分析的核心方法。解析法依托数学计算替代几何作图，能够规避几何法的精度误差问题，还可以清晰呈现各力学量间的函数关系，是后续解决平面汇交力系问题的核心工具。力在坐标轴上的投影是解析法的基础逻辑。将力矢量分解到水平x轴与竖直y轴上，得到的标量分量即为力的投影：力与x轴正方向夹角为α时，x轴投影X等于力的大小F与cosα的乘积；y轴投影Y等于力的大小F与sinα的乘积，也等价于力与y轴正方向夹角余弦的乘积。投影的正负由力的指向与坐标轴正方向的关系决定，同向为正，反向为负。这套投影规则搭建起了矢量力学到标量计算的桥梁。讲解力在坐标轴上的投影时，先明晰投影是矢量向坐标轴的数值转化，是搭建力系代数分析框架的核心基础。观察投影公式，X=Fx=F·cosa、Y=Fy=F·sina=F·cosb，明确投影数值由力的大小与夹角共同决定，正负符号关联力的指向与坐标轴正方向的关系，直接影响后续代数运算结果的准确性。回顾几何法作图误差大、函数关系表达不直观的局限，力的投影将矢量的几何关系转化为可量化计算的代数量，搭建起几何逻辑与代数运算的衔接桥梁，为后续合力投影定理推导、平衡方程构建奠定核心基础。推导合力投影定理时，会依托投影的数值化特性，整合各分力的投影值，完成合力的代数表达。学习完几何法求解平面汇交力系的合成与平衡问题，我们会发现这种方法存在明显局限性：手工作图的精度难以控制，结果误差较大，同时无法清晰呈现各物理量之间的函数关系。为了实现更精准、高效的力学分析，我们引入解析法这一新的研究工具，其核心基础是力在坐标轴上的投影计算。力在坐标轴上的投影是一个标量，通过力的大小与对应方向夹角的余弦值计算得出。具体来说，若将力F置于平面直角坐标系中，力与x轴正方向的夹角为α，那么它在x轴上的投影X就等于力的大小F乘以cosα；而它在y轴上的投影Y，则等于力的大小F乘以sinα，也可以等价表示为力与y轴正方向夹角β的余弦值乘以F，即Y=F·cosβ。这里要特别注意投影的正负号规则：当力的分量指向坐标轴正方向时，投影为正；指向负方向时，投影为负。掌握力的投影计算方法，就能将矢量形式的力转化为标量进行代数运算，这一转变打破了几何法的精度限制，为后续推导合力投影定理、建立解析法平衡方程奠定了关键基础。解析法是平面汇交力系分析的核心工具。明确力在坐标轴上的投影规则，力沿x轴的投影X等于力的大小F乘以力与x轴夹角α的余弦值，力沿y轴的投影Y等于力的大小F乘以夹角α的正弦值，投影的正负由力的指向与坐标轴正方向是否一致确定。基于投影规则推导的合力投影定理明确：合力在任意坐标轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。该定理直接给出了合力大小的计算方法：先分别计算所有分力在x轴、y轴的投影代数和，再通过勾股定理计算合力的大小。合力的方向由合力与x轴的夹角确定，夹角的正切值等于y轴投影代数和与x轴投影代数和的比值。合力的作用点与平面汇交力系的汇交点重合，这是平面汇交力系的基本特性。进一步推导平衡条件，平面汇交力系平衡的核心判定标准是合力为零，对应解析表达式为x轴、y轴的投影代数和均为零，这两个方程就是平