2026-2027学年北师大版小学数学六年级上册（第1-4单元）每课教学设计p183

北师大版·小学数学六年级上册每课教学设计适用年级：小学数学·六年级上册教材：北师大版学年：

2026-2027学年北师大版(新教材)小学数学六年级上册(第1-4单元)每课教学设计分数除法(一)分数除法(二)分数除法(三)整理与复习第二单元圆圆的认识(一)圆的认识(二)圆的面积(一)圆的面积(二)整理与复习第三单元用字母表示(二)探索规律(一)探索规律(二)分数的应用(一)分数的应用(二)整理与复习分数除法(一)在五年级已经学过分数的加减法和乘法，会求一个数的倒数，熟悉“平均分生对“分数除以整数”还比较陌生，尤其对“除以2为什么等于乘这类算理缺少直观《分数除法(一)》是北师大版六年级上册第一单元《分数除法》的起始课，属于“数与运算”领域的重要知识。教材以“把一张纸的平均分成2份、3份”为情境，先让写出,进而把转化为最后归纳出“除以一个不为零的整数，等依据《义务教育数学课程标准(2022年版)》提出的“会用数学的眼光观察现实世界、1.通过分一分、涂一涂的操作，理解分数除以整数的意义和算理，会用数学的眼光观2.经历由具体操作到抽象概括的过程，归纳分数除以整数的计算法则本课教学过程分2个课时完成。第1课时解决分子能被整数整除的情形，帮助学生第1课时分数除以整数(一):把平均分成2份(教师出示教材情境：把一张纸的平均分成2份，每份是师：请大家拿出课前准备好的长方形纸片。这张纸被平均分成了5份，其中4份涂(学生动手操作：把涂色的4份再平均分成2份，发现每份有2份涂色部分，也就是整张纸的生：我把涂色的4份平均分成2份，每份是2份涂色部分，也就是整张纸的师：想一想，把平均分成2份，每份是这个结果可以用怎样的算式表示?师：你是怎样算出这个结果的?师：也就是当分子能被整数整除时，我们可以直接把分子平均分。还有没有不同的想法?(教师引导：把平均分成2份，每份正好是生：每份是的一半，也就是的,所以师：大家看，用“分子直接平均分”和“乘这个数的这两种方法，结果一样吗?生：一样，都是师：2的倒数是多少?和2有什么关系?生：是2的倒数，它们互为倒数。师：把改写成除号变成了乘号，除数变成了它的倒数，被除数不变。这是一种很巧妙的思路。请同学们在图上再圈一圈、比一比，看看为什么和的结果结果师：两种方法都得到了说明“除以2”与“乘是相通的。这就是我们这节课学习的重要思路——把除法转化为乘法。【设计意图】通过分一分、涂一涂，让学生直观看到把平均分成2份的结果；再通过两种算法的对比，沟通除法与乘法的联系，初步体会“除以一个数等于乘这个数的倒数”,为归纳法则埋下伏笔。(三)尝试迁移，初步运用师：刚才我们研究的是把平均分成2份。想一想，把平均分成4份，每份是多少?请先画一画，再算一算。(学生独立完成，同桌互查)生：把涂色的4份平均分成4份，每份是1份，就是整张纸的列式：师：你能用今天学的两种方法分别算一算，并比较结果吗?师：两种方法结果都是再来看一道：把平均分成3份，每份是多少?你能很快算出来吗?生：也可以师：看来，当分子能被整除时，两种方法都可以，结果总是相同的。我们既可以把分子直接平均分，也可以把除法转化为乘这个整数的倒数，这为我们进一步研究提供了方便。【设计意图】在理解算理后，让学生动手迁移，巩固分子能被整除情形的计算方法，同时初步沟通两种算法，为第2课时研究分子不能被整除的情况做好铺垫。第2课时分数除以整数(二):把平均分成3份与法则归纳(一)制造冲突，引出新问题师：同学们，上节课我们能把平均分成2份、4份，也能把平均分成3份，因为分子都能被整除。现在请把平均分成3份，每份又是这张纸的几分之几呢?(学生尝试分一分、涂一涂，遇到困难)师：这一回，分子4还能平均分成3份吗?生：不能，4不是3的倍数，没法把4份整数地平均分成3份。师：既然“分子直接平均分”的方法行不通，那该怎么办呢?请小组合作，用上节课学(二)合作探究，沟通转化(小组动手分纸、涂色，交流讨论)师：请各小组汇报，你们把平均分成3份后，每份是几分之几?是怎样想的?生：我们先把这张纸平均分成5份，再把每一份都平均分成3份，这样整张纸就分成了15份，涂色的4份也都被平均分开了，每份是整张纸的师：说得非常清楚。把5份中的每一份再平均分成3份，总份数变成了5×3=15份。那么每份到底是几小份呢?我们在图上数一数。(课件演示：涂色的4份，每份再分成3小份，共12小份；平均分成3份，每份4小份，即师：从图上可以看出，把平均分成3份，每份就是结合上节课的发现，平均分成3份，每份应该是原来的几分之一?师：所以可以写成怎样的算式?师：对照图看一看，是不是正好对应涂色部分平均分成3份后的一份?这里的15是怎么来的?生：分母5乘3得到15,表示把整张纸分成15份；涂色的4份不变，分子还是师：很好!把平均分成3份，其实就是求的是多少，所以用乘法来计算，结果和图上分出来的完全一致。【设计意图】让学生在操作与讨论中，从图形直观看到再把它与对应起来，理解除法转化为乘法的算理，从而突破本课难点。(三)对比归纳，概括法则师：现在，我们把这两节课研究的两类情况放在一起对比。(出示算式：师：仔细观察这两道算式，除号变成了什么?除数变成了什么?被除数有没有变化?生：除号都变成了乘号；除数2变成3变成被除数都不变。师：和2、和3分别是什么关系?生：分别互为倒数。师：谁能用一句话，概括出分数除以整数的计算方法?生：分数除以一个不为零的整数，等于分数乘这个整数的倒数。师：为什么要强调“不为零的整数”?除数能为0吗?生：不能，0不能作除数，0也没有倒数。师：说得对!这个方法我们可以概括为“两变一不变”——除号变乘号，除数变为它的倒数，被除数不变。请同学们结合刚才的算式，再互相说一说，加深理解。【设计意图】通过对比两道算式，引导学生发现共同规律，抽象概括出分数除以整数的计算法则，并用“两变一不变”帮助记忆，体会从特殊到一般的推理过程，发展推理意识。(四)巩固练习，深化应用1.填一填，算一算(学生独立完成，指名板演，全班讲评，提醒先约分再计算)2.解决实际问题把一块巧克力的平均分成3份，每份是这块巧克力的几分之几?画一画，算一师：先画图表示这块巧克力的再把它平均分成3份，看每份是多少。生：每份是这块巧克力的3.判断辨析下面的计算对吗?把不对的改正过来。(学生辨析：第①题错了，除以2应乘2的倒数,应为师：计算时要特别注意，除以一个整数要乘这个整数的倒数，千万不能把被除数也取倒数。【设计意图】通过填空、解决实际问题和辨析纠错三类练习，从算法到应用再到纠错，帮助学生把法则用熟用对，突破“不把被除数取倒数”这一易错点，同时体会分数除法在生活中的应用。(五)课堂小结，布置作业师：通过这两节课的学习，你有哪些收获?谁来总结一下分数除以整数的计算方法?生：分数除以一个不为零的整数，等于分数乘这个整数的倒数；用“两变一不变”来记，就是除号变乘号、除数变倒数、被除数不变。师：遇到分子不能被整除的情况时，我们用“转化为乘法”的方法来解决，这就是重要的“转化”思想。请同学们课后完成教材“练一练”中的相关练习，并想一想：一个数除以分数，是不是也能这样转化呢?为下节课的学习做准备。【设计意图】回顾梳理本课核心知识与思想方法，帮助学生形成整体认识；以问题引导学生提前思考下节课内容，实现课与课之间的自然衔接。《分数除法(一)》作为本单元《分数除法》的起始课，以“把一张纸的平均分成2份、3份”为情境，引导学生经历“分一分、涂一涂一算一算一说一说”的完整探究过程。教学分两个课时推进：第1课时通过分子能被整除的情形，让学生在操作中理解算理、初步掌握“除以一个整数等于乘它的倒数”的转化思路；第2课时在认知冲突中探索分子不能被整除的情形，对比归纳出“分数除以整数(0除外),等于分数乘这个整数的倒数”这“一个数除以分数”以及分数除法的应用打下了坚实基础。分数除法(二)本课是北师大版(2026年秋季新教材)六年级上册第一单元《分数除法》的第二课时，对应教材第4至5页。教材以“4张同样大的饼”为素材，先算“每2张一份”“每1张一圈一圈、数一数，直观看到份数由少变多，理解的数，等于乘这个数的倒数”,并用试一试中的0三道题巩固算法。本数是分数的除法”还较陌生，对“4除以二分之一为什么等于4乘2”这类问题需有图形的4.经历圈一圈、数一数、算一算的过程，理解一个数除以分数的算理，会用数学的眼光观察现实世界(落实数感与量感)。学的思维思考现实世界(落实运算能力与推理意识)。6.能借助图形说理并与同伴交流，会用数学的语言表达现实世界(落实模型意识与表·教学难点：一是说清“4除以二分之一为什么等于4乘2”;二是理解“除以一个数就是乘它的倒数”的转化道理；三是计算时不把被除数也取倒数五、教学过程(一)第1课时理解算理，探索算法教师出示教材情境：这里有4张同样大的饼(出示4张饼的图卡),并提出问题。师：同学们，上节课我们学习了分数除以整数。谁来举个例子，说一说分数除以整数是怎样计算的?师：为什么除以一个整数，可以转化为乘这个整数的倒数呢?生：因为一个整数可以看成分母是1的分数，除以它就等于乘它的倒数。师：大家说得很好。那如果除数不是整数，而是分数，又该怎样计算呢?今天我们就带着这个问题，走进《分数除法(二)》的学习。【设计意图】通过复习分数除以整数，唤起学生对“除法可以转化为乘法”这一已有生：4÷2=2(份)。师：如果每1张一份呢?生：4÷1=4(份)。教师结合图卡，分别圈出“每2张一份”“每1张一份”的分法，并让学生观察对比。师：请同学们比较这两个算式，除数从2变成1,越变越小，而得到的份数呢?生：份数越来越多，从2份变成了4份。师：这说明什么?生：分的份越小，能分出的份数就越多。师：观察得很准。除数变小，份数却变多。那如果除数继续变小、变成分数，份数又会怎样变化呢?我们带着这个猜想继续往下看。【设计意图】用“每2张一份”“每1张一份”两个整数除法作铺垫，让学生先感受“除数变小、份数变多”的规律，并顺势把猜想引向“除数变成分数”的情形，为后面的探究奠定直观基础。3.圈一圈、数一数，探究师：如果每二分之一张一份呢?请大家先猜一猜，4张饼能分成几份?生1:我猜能分成8份。生2:我觉得是4份。师：大家的猜想不一样。到底能分成几份?请拿出圆形纸片，或者用笔画一画，在图上圈一学生动手操作：把每张饼平均分成2份，数出1张饼里有2个二分之一张，4张饼里有8个二分之一张。生：我把每张饼都平均分成2份，1张饼有2个二分之一张，4张饼就有8个二分之一张，所以能分成8份。师：说得真好!谁能用一个算式表示出“能分成8份”?生：4乘2等于8。师：请同学们再想一想，为什么“每二分之一张一份”分出的份数，正好是“每1张一份”生：因为每张饼都被平均分成2份，1张能分出的份数变成了原来的2倍，所以4张饼分出的总份数也跟着变成原来的2倍，也就是4×2。【设计意图】这是全课的重点也是难点。通过“圈一圈、数一数”的操作，让学生亲眼看到份数由“4份”变成“8份”,再与“4×2”对上号，并从“1张变2份、份数乘2”的角度进一步说理，从而理解“除以二分之一就是乘2”的道理，借助图形突破难点。师：如果把“每二分之一张一份”改成“每三分之一张一份”,又该怎样计算呢?请同学们先在图上圈一圈、数一数，再试着写出算式。学生操作：把每张饼平均分成3份，数出1张饼里有3个三分之一张，4张饼里有12生：因为4×3=12,所以生：因为1张饼里有3个三分之一张，4张饼里就有4个3,也就是12个三分之一张。为0这一前提。教师巡视，重点提醒学生“被除数不变，只把除数变成它的倒数”,并请学生结合算理师：在做第3题时，很多同学容易出错，谁能说说它应该等于多少?生：不是1,因为被除数9不变，只把除数变成它的倒数9。(二)第2课时分数除以分数，巩固应用1.回顾法则，引出新问题用这个法则解决更一般的情况——当被除数也是分数时，它还适用吗?请同学们带着这个问【设计意图】通过设问引出新问题，把学生的注意力聚焦到“法则是否具有普适性”2.试一试，探究分数除以分数师：请同学们打开教材试一试，试着计算下面三道题：师：为什么等于乘6?生：因为的倒数是6,除以等于乘6。师：再看第二题被除数是分数，还能用这个法则吗?师：大家看，这里能约分的要先约分。2和4还能约分吗?生：可以。中，2和4都可以除以2,先约分再算，就变成师：第三题除数是整数10,又该怎样算?生：把10看成分母是1的分数，10的倒数是,所以3.观察比较，发现规律师：我们再观察这几道算式(被除数都不为0):4÷2=2,。当除数小于1时，商与被除数相比谁大?生：除数小于1时，商大于被除数。师：当除数大于1时呢?生：除数大于1时，商小于被除数。【设计意图】让学生通过观察归纳出“除数与1的大小关系决定商与被除数的大小关4.综合应用，解决实际问题1.一根绳子长米，每米剪成一段，可以剪成几段?生：(段)。结合生活实际，如果要剪成整段，还要根据具体情况2.一瓶果汁有升，如果每升装一杯，可以装几杯?3.一块长方形菜地的面积是平方米，宽是米，长是多少米?生：(米),所以长是米。个另一个数”或“已知面积和宽求长”这类问题用除法计算，并请学师：通过这两节课的学习，我们知道了一个重要的法则，谁来完整地说一说?生：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。师：计算时要注意些什么?【设计意图】用师生共同回顾的方式收束本课时，把两节课的核心知识凝练为一条法本课以“4张饼分份”的生活情境为线索，引导学生经历“圈一圈、数一数、算一算”数除以整数”推广到“一个数除以分数”,统一为“除以一个不为零的数，等于乘这个数的分数除法(三)本课是北师大版(2026年秋季新教材)小学数学六年级上册第一单元《分数除法》的数除法实际问题，帮助学生建立“已知量÷对应分率=单位‘1'的量”的数量关系模型，教材以“操场上参加活动的人数”这一贴近学生生活的情境的人数是操场上参加活动总人数的,求操场上参“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的数量关系，掌握求单位“1”的量的一般方根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》对核心素养的培养要求，结合本课内容，借助线段图分析问题，能运用方程或除法正确解答此类实际问题，发展运算能力和3.在解决实际问题的过程中，感受分数除法在生活中的广泛应用，养成认真审题、检验反思的学习习惯，增强应用意识。本课共安排2课时。第一课时重点探究“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的数量关系与基本解题方法；第二课时通过变式与综合练习，深化理解教师出示复习题：果园里有桃树30棵，梨树的棵数是桃树的梨树有多少棵?请学生口答并说出数量关系式。学生回答后，教师追问：这里谁是单位“1”?为什么用乘法计算?师：要求梨树的棵数，我们用“桃树棵数梨树棵数”。反过来想一想，如果已知梨树有12棵，又知道梨树的棵数是桃树的你们会求桃树的棵数吗?这就是我们今天要研究的新问题。【设计意图】通过“求一个数的几分之几是多少”的乘法数量关系引入，利用分数乘法与分数除法数量关系的互逆性，唤醒学生已有经验，为学习“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”做好铺垫。(二)探究新知，构建模型1.出示例题，理解题意。教师出示教材情境：操场上同学们正在参加各种活动，跳绳的有6人，跳绳的人数是操场上参加活动总人数的操场上参加活动的总人数是多少?师：认真读题，说一说题中已知什么、要求什么?谁是单位“1”?生：已知跳绳的有6人，跳绳的人数是总人数的要求总人数。参加活动的总人师：单位“1”未知，这就是“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题。2.画图分析，明确数量关系。教师引导学生在练习本上画线段图，把参加活动的总人数看作单位“1”,平均分成9份，跳绳的6人占其中的2份。教师在黑板上同步画出线段图并标注。师：把总人数看作单位“1”,平均分成9份，跳绳人数占其中的2份。这2份对应的实际人数是多少?生：跳绳的6人对应其中的2份。师：那么1份是多少人?总人数是几份?教师根据学生的回答板书：6÷2=3(人),3×9=27(人)。并引导学生归纳：先求出1份是多少，再求9份，也就是先求部分再求整体。【设计意图】借助线段图把抽象的分数关系直观化，帮助学生看清“6人对应总人数的2份”这一对应关系，在数形结合中理解“先求1份、再求9份”的算理，发展几何直观。3.建立数量关系，列方程解答。教师引导学生根据线段图写出数量关系式。师：根据线段图，跳绳人数与总人数之间有怎样的等量关系?生：总人数跳绳人数。师：如果把总人数设为x人，你能列出方程吗?生：0师：怎样解这个方程?教师板书：解：设操场上参加活动的总人数是x人。并强调检验：(人),与题中跳绳人数一致，解答正确。师：还有没有其他方法?4.沟通联系，形成方法。教师引导学生比较两种方法，并指出：已知量÷对应分率=单位“1”的量，即由到,恰好印证了分数除法就是分数乘法的逆运算。【设计意图】在列方程解答中，引导学生用字母表示未知量、列等量关系式，体会方程是解决实际问题的重要工具；再通过两种方法的对比，帮助学生建立“已知量÷对应分率=单位‘1’的量”的模型，沟通分数乘、除法数量关系的联系，发展模型意识与运算能力。(三)巩固练习，内化方法出示教材“练一练”中的题目：操场上参加活动的有27人，其中跳绳的人数占,跳绳的有多少人?请学生先找出单位“1”和对应分率，再列式解答并检验。师：这道题与例题相比，已知量和未知量有什么不同?生：例题是已知部分量和对应分率求总量，这道题是已知总量和分率求部分量，单位“1”已知，用乘法计算。师：所以“求一个数的几分之几是多少”用乘法，“已知一个数的几分之几是多少求这个数”用除法或方程。接着安排两道同构练习：①学校合唱队有女生24人，占全队人数的全队有多少人?②一袋大米吃去正好吃去12千克，这袋大米原有多少千克?学生独立完成，指名板演，集体订正，重点说一说数量关系式。【设计意图】通过结构相同的巩固练习，让学生在实际应用中熟练运用“已知量÷对应分率=单位‘1’的量”,在对比中进一步区分分数乘、除法应用题的数量关系，形成解题技(四)课堂小结教师引导学生回顾：今天学习了什么内容?我们是怎样分析“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题的?学生回答后，教师小结：先找单位“1”,再根据数量关系画图分析，用方程或除法解答，最后检验。(一)复习回顾，承上启下教师出示：六年级有男生20人，恰好占全班人数的全班有多少人?学生独立列式解答，并说数量关系式。教师追问：如果把“占全班人数的改成“比全班人数的还多5人”,又该怎样求全班人数?由此引出本节课要解决的较复杂问题。(二)变式探究，突破难点1.出示例题：学校图书馆有科技书120本，正好是故事书本数的还多15本。图书馆有故事书多少本?教师引导学生读题、画线段图。师：这道题单位“1”是什么?谁和谁对应?生：单位“1”是故事书的本数，把故事书本数平均分成4份，其中的3份还多15本就是科技书的120本。师：线段图该怎么画?先画什么?生：先画单位“1”故事书，把它平均分成4份，标出其中的3份，再在这3份的基础上多画一小段表示15本，合起来对应120本。教师根据学生的回答在黑板上画出线段图，并在图上标出120本与15本的对应师：你能根据线段图写出等量关系式吗?师：设故事书有x本，怎样列方程?师：这个方程怎么解?生：等式两边先同时减15,得教师板书完整解答过程，并引导学生检验：(本),【设计意图】在例题基础上增加“还多(少)几”这一变式，使数量关系从“部分量对应分率”拓展到“部分量对应‘分率×总量+几'”,突破难点，进一步提升学2.对比归纳。教师引导学生比较：这类问题与第一课时的例不同?师：它们的共同点是什么?生：都是单位“1”未知，都要设单位“1”为x,根据等量关系列方程，用除法或师：不同点呢?生：第一课时是“总量×分率=部分量”,这题是“总量×分率+几=部分教师小结：解决这类问题，关键是找准单位“1”,理清分率与对应量之间的关系，(三)综合练习，形成技能1.基础巩固：光明小学今年有学生2400人，比去年多去年有学生多少人?(提示：2.情境运用：张叔叔买一套衣服共用了240元，其中裤子的价钱是上衣的上衣和裤子各多少元?(提示：设上衣为x元，则裤子为元，)学生独情境中综合运用方程知识解决稍复杂的分数问题，进一步巩固“找单位‘1’一列等量关系一列方程求解一检验”的完整过程，发展应用意识(四)课堂小结教师引导学生回顾本课收获：今天我们在“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的基础上，又学习了哪些较复杂的情况?解决这类问题的关键步骤是什么?学生回答后，教系，帮助学生建立起“已知量÷对应分率=单位‘1’的量”的数学模型，为后续学习分数分析数量关系、找准单位“1”的能力不足，在选用除法或乘法上易混淆；三是知识较为零依据《义务教育数学课程标准(2022年版)》对“数与运算”领域核心素养的要求，结合本课内容，确定如下目标：1.数感与运算能力：系统回顾分数除法的意义，掌握“除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数”的计算方法，能熟练、正确地进行各类分数除法计算，体会整数、小2.推理意识：通过观察、比较、归纳，发现并概括“除数大于1时商小于被除数，除数等于1时商等于被除数，除数小于1时商大于被除数”的规律，经历由具体到一般的推理过程，发展推理意识。教学难点：理解分数除法算理的本质(计算计数单位的个数),准确分析数量关系、找第一课时回顾与交流——梳理知识，理解算理(一)回顾导入，唤醒知识师：同学们，第一单元《分数除法》我们已学完三节新课，今天这节课，我们一起来对本单元进行系统的整理和复习。(教师板书课题：整理与复习)师：在动手整理之前，先请同学们回忆一下：本单元我们都学习了哪些内容?可以看看课本目录，也可以回忆老师讲课的内容。生1:我们学习了分数除以整数，比如生2:还学习了整数除以分数、分数除以分数，比如生3:学习了用方程解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题。生4:还知道了分数除法的意义和计算方法。师：大家说得真全面!今天，我们就要把这些零散的知识整理起来，看看它们之间有什么联系。(教师随机板书：意义、计算方法、解决实际问题)【设计意图】以“本单元学习了什么内容”的开放性问题引导学生主动回忆，唤醒经验、激发兴趣，为梳理知识网络作铺垫。(二)对比算理，深化理解师：我们先从“算”说起。请看课本“回顾与交流”中的40÷2、0.4÷2、,先算出结果，再画一画，想一想每一步表示什么意思。(学生独立计算并画图，教师巡视并选取典型作品展示。)师：谁来结合自己的图和算式说一说?先看40÷2。生1:40÷2=20。40里面有2个十，平均分成2份，每份是1个十，也就是20。师：讲得真好，把“计数单位”都说出来了。再看0.4÷2呢?生2:0.4÷2=0.2。0.4里面有4个0.1,平均分成2份，每份是2个0.1,也就是0.2。师：那谁能看着图说清楚?生3:,把平均分成2份，每份是也就是师：仔细观察这三组算式和它们的计算过程，有什么相同的地方?生4:它们都是把计数单位的个数平均分成2份。计数单位，分数除法就是在数这样的分数单位。原来它们都是在“算有多少个计数单【设计意图】借助“画一画、算一算”把整数、小数、分数除法并置对比，引导学(三)梳理方法，构建网络师：算理弄明白了，那分数除法的计算方法是什么呢?请同学们在小组里互相说一说，分数除法的计算方法：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。生1:先把除号变成乘号，再把除数变成它的倒数，被除数不变。生2:在计算过程中能约分的要先约分，这样更简便。生3:除数不能是0,因为0没有倒数。师：总结得真完整。那分数除法的意义和整数除法的意义有什么相同之处?生4:分数除法的意义和整数除法的意义一样，都是已知两个数的积和其中一个数，求(四)分层练习，巩固法则师：掌握了方法和算理，我们来练一练。请先完成课本“巩固与应用”第1、2题，画师：第1题，把一个圆的平均分成2份，每份是整个圆的几分之几?生1:,每份是整个圆的◎师：第2题，冬冬3天看了一本书的平均每天看了这本书的几分之几?生2:平均每天看了这本书的生3:因为它们都是把已知的量平均分成若干份，求每份是多少。师：说得对。接着完成“巩固与应用”第5题的计算，看谁算得又对又快，再和同桌交(学生完成第5题并核对答案，教师讲评典型错误。)师：通过练习，大家发现计算分数除法最关键的是什么?生4:把除法转化成乘法，注意除数要取倒数。【设计意图】通过“分数除以整数”的看图计算和综合计算，分层巩固计算方法，(一)复习导入，明确任务(二)观察比较，发现规律师：请先完成“巩固与应用”第3题，算一算，再观察商和除数、被除数之间的关系。师：请同学们仔细观察，被除数都是把商和它相比，你有什么发现?生1:小于除数3大于1,商比被除数小。,生2:也小于除数大于1。生3:除数等于1,商等于被除数。生4:除数小于1,商1大于被除数也大于师：谁能把大家的发现完整地总结出来?生5:除数大于1时，商小于被除数；除数等于1时，商等于被除数；除数小于1时，商大于被除数。师：总结得真好!需要提醒的是，这里的被除数应是大于0的数，除数应是不为0的数，这个规律在判断商的大小、估算结果时非常有用。师：运用这个规律完成第4题，在○里填“>”“<”或“=”,并说说是怎样判断的。(学生独立完成并交流：【设计意图】通过观察、比较商与被除数的大小，引导学生在具体计算的基础上归纳规律，发展推理与概括能力，掌握判断商大小的简便方法。(三)解决问题，渗透模型师：掌握了规律，我们用它来解决生活中的实际问题。请看“巩固与应用”第7题。(出示情境：人造卫星的运行速度约是宇宙飞船的人造卫星每秒约运行5.2千米。宇宙飞船每秒约运行多少千米?)师：先找一找题目中的单位“1”是什么?请同学们先独立思考，再在小组里交流。生1:单位“1”是宇宙飞船每秒运行的速度。生2:“人造卫星的运行速度约是宇宙飞船的,就是说宇宙飞船速度的等于5.2千师：单位“1”未知，该怎样列式?为什么?生3:应该用除法，列式师：为什么用除法?说说你的理由。生4:因为“宇宙飞船速度已知一个数的是5.2,求这个数，用除法计师：还可以怎样想?生5:也可以设宇宙飞船每秒运行x千米，列方程来解。生6:(千米)。师：请看第8题。王老师从北京乘高铁去广州，列车行驶5小时约走了全程的按照师：这里的5小时对应全程的几分之几?方程，也可用算术方法(除法),关键要找准单位“1”、理清数量关系。(四)综合练习，查漏补缺师：学以致用，下面我们来完成“巩固与应用”第6题“填一填”,比一比谁能又快又生1:我是根据分数除法的计算方法，先把除法转化成乘法再计算的。师：还有不明白的地方，课下可以和老师、同学交流。我们还可以互相出几道题考一考同桌，看谁能全部算对。【设计意图】通过综合练习和互测互评，帮助学生查漏补缺，及时发现和纠正计算(五)总结提升，构建体系师：通过这两节课的整理与复习，你有哪些收获?生1:我知道了分数除法的意义和整数除法一样，都是已知两个数的积和其中一个数，生2:我掌握了分数除法的计算方法，除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数。生3:我知道了除数大于1商小于被除数、除数小于1商大于被除数的规律。生4:我会找准单位“1”,用方程或除法解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个师：大家收获真多!这节课我们把分数除法的知识整理成了网络，还发现了算理的一致性。希望大家今后也像这样勤于整理、善于思考。引导学生梳理分数除法的意义、计算方法与注意点，并借助整数、小数、分固与应用”,通过探究商与被除数的大小关系、综合计算和解决实际问题，尤其是借助找单第二单元圆一、教材分析《车轮为什么是圆的》是北师大版(2026年秋季新教材)小学数学六年级上册完整探究活动链，引导学生通过实验发现：圆上各点到圆心(中心点)的距离都二、学情分析世界的习惯,发展应用意识和创新意识。教学重点:理解圆的本质特征——圆上各点到圆心(中心点)的距离都相等。教学难点:通过操作与比较,体会圆形车轮滚动时圆心在一条直线上运动,从而理解车轮做成圆形的道理,并能用圆的知识解释生活现象。五、教学过程第1课时探究圆的特征:车轮为什么是圆的学生:硬纸板、圆规、直尺、剪刀、铅笔。(一)情境导入,聚焦问题师:同学们,请看一看大屏幕上的这些图片(课件出示自行车、汽车、火车、独轮车的图片)。这些车都有一个共同的部分,你们发现了吗?生:它们都有轮子。师:这些轮子都是什么形状的呢?师:那你们有没有想过,为什么车轮都做成圆的,而不是正方形、三角形呢?今天这节课,我们就一起来研究这个有趣的问题。(教师板书课题:车轮为什么是圆的)题引发认知冲突,激发学生的好奇心与探究欲望,自然引出本课的核心研究问题。(二)设计车轮,大胆猜想师:如果请你们当一回小设计师,来设计一辆车的车轮,你会设计成什么形状?先独立思考一下,再和同桌说一说你的想法。(学生自由发言:有的说圆形,有的说正方形,还有的说三角形、椭圆形......)师:大家的想法可真丰富!那么,车轮做成圆形和做成其他形状,乘坐起来的感觉会一样吗?平稳?哪一种会颠簸?生1:我猜圆形的最平稳。生2:正方形的车轮可能一颠一颠的，会很不舒服。生3:椭圆形的也可能不平稳。坐在车上平不平稳，我们要重点观察车轮的哪一部分呢?生：车轮滚动时，车轴(中心点)是不是忽高忽低。师：说得非常好!车轮的中心装着车轴，车轮滚动时，如果中心点始终在一个高师：下面我们就动手来做实验。请认真看操作要求(课件出示)。心处标出点A;3.用同样的方法，分别描出正方形、椭圆形车轮中心点A的痕迹；(四)交流汇报，归纳结论师：哪个小组愿意把你们的发现和大家分享?生1:圆形车轮滚动时，中心点留下的是一条直直的线。生2:正方形车轮的中心点一会儿高、一会儿低，留下的是高低起伏的波浪线。生3:椭圆形车轮的中心点也不是直直的，同样是高低起伏的。圆形正方形一条直线高低起伏(不是直线)高低起伏(不是直线)师：从这张表里，你发现了什么?就不行呢?请小组讨论讨论。(学生讨论后交流)师：请你看看这个圆，圆上的每一点到中心点(圆心)的距离，它们相等吗?师：对!正是因为圆上各点到圆心的距离都相等，圆形车轮滚动时，圆心到地面(师生共同归纳，完成板书)【板书设计】【板书设计】圆上各点到圆心(中心点)的距离都相等圆形：中心点轨迹是直线→平稳正方形：中心点轨迹高低起伏正方形：中心点轨迹高低起伏→颠簸椭圆形：中心点轨迹高低起伏→颠簸(一)复习导入，引出问题藏着的数学道理是什么?(教师板书课题)(二)认识圆心、半径和直径师：请看老师画出的这个圆(课件演示)。一个圆里，有几个很重要的部分。1.圆心O:就是圆的中心点，也就是画圆时圆规针尖所在的点，通常用字母O2.半径r:连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示；3.直径d:通过圆心、两端都在圆上的线段，用字母d表示。师：现在请你想一想，同一个圆里，半径有多少条?它们都相等吗?生:半径有无数条,它们都相等。师:为什么都相等?生:因为圆上各点到圆心的距离都相等,而半径就是圆心到圆上一点的距离,所径和半径之间又有什么关系呢?师:为什么?生:因为直径通过圆心,可以看作是由两条半径组成的。师:那同一个圆里的直径有多少条?它们都相等吗?生:直径也有无数条,而且都相等,因为每条直径都等于两条半径之和。【设计意图】把上节课的探究结论与圆的各部分名称对接起来,让学生在“为什么”中真正理解半径都相等、直径是半径的2倍等特征,体会知识之间的内在联系,为后续学习打下基础。(三)用圆的知识解释生活现象师:“圆上各点到圆心距离都相等”这个特征,在生活中还有哪些应用呢?请看这些图片(课件出示井盖、陀螺、树桩截面、光盘等)。师:为什么井盖要做成圆形呢?生:圆形的井盖无论怎样转动,都不会掉进井里。因为圆上各点到圆心的距离都相等,井盖的直径都一样长,比井口宽,就掉不下去;要是方形的,转动一下就师:分析得很有道理!那陀螺为什么转起来很稳呢?生:陀螺的底面是圆的,圆上各点到圆心距离相等,转动时中心能保持稳定,所生1:车轮、轮胎。生2:表盘、硬币。生3:花坛、树桩的截面。师:同学们看,像硬币、表盘、花坛这样,许多圆形的物体,正是因为利用了“圆(四)综合运用，深化理解师：下面我们来检验一下大家学得怎么样(课件出示练习题)。1.判断：车轮做成圆形，是因为圆上各点到圆心的距离都相等。()2.想一想：如果车轮做成三角形，乘车时会有什么感觉?为什么?3.用圆规画一个半径是2厘米的圆，标出圆心、半径和直径，再量一量直径是4.说一说：把一根圆木锯成两段，它的截面为什么是圆形的?师：第2题谁来谈谈自己的想法?圆心(中心点)的距离都相等。正因为如此，圆形车轮滚动时圆心沿直线运动，认识了圆心、半径和直径，知道同一个圆里半径都相等、直径是半径的2倍，并圆的认识(一)一、教材分析本课是北师大版(2026年秋季新教材)六年级上册第二单元《圆》的起始眼光观察现实世界(落实空间观念与几何直观)。圆规画圆，会用数学的思维思考现实世界(落实推理意识)。的语言表达现实世界(落实模型意识与表达)。(一)第1课时认识圆心、半径、直径形、正方形有什么不同?生：长方形、正方形都是由线段围成的，圆是由那圆里面还藏着哪些秘密呢?今天我们一起来深入认识圆。教师板书课题：圆的认识(一)。对折，再展开。观察折痕，你发现了什么?师：请大家在自己的纸片上标出圆心。想一想，圆心在圆里的什么位置?师：请同学们在纸片上，从圆心O到圆上任意一点画一条线段。我们把这样的线段叫做半径，通常用字母r表示。教师板书：半径(r)——连接圆心和圆上任意一师：请观察你画的半径，它的两个端点分别在什么地方?生：一个端点在圆心O上，另一个端点在圆上。师：请你在同一个圆里再画几条不同的半径，数一数能画多少条?这些半径的长度有什么关系?师：为什么所有半径都相等呢?师：说得非常好!这正是圆最根本的特点——圆上任意一点到圆心的距离都段叫做直径，通常用字母d表示。教师板书：直径(d)——通过圆心并且两端都在圆上的线段。师：判断下面这条线段是不是直径?请结合定义说一说理由。师：在同一个圆里，能画多少条直径?它们的长度又有什么关系?师：请同学们量一量自己圆里的半径和直径，把数据记录下来，再比一比。你发现半径和直径的长度有什么关系?生1:我量的半径是2厘米，直径是4厘米，直径是半径的2倍。生2:我量的半径是3厘米，直径是6厘米，直径也是半径的2倍。生：d等于2r。师：那反过来，半径是直径的多少?生：半径是直径的一半，r等于d除以2。1.填一填：圆心通常用字母()表示；半径用字母()表示；直径用字母()表示。2.判断对错：(1)圆的直径一定比半径长();(2)同一个圆里所有半径都相等();(3)通过圆心的线段就是直径()。教师结合图形引导辨析，重点说明第3题“通过圆心的线段，两端还必须在3.算一算：一个圆的半径是4厘米，它的直径是多少厘米?4.一个圆的直径是10分米，它的半径是多少分米?【设计意图】通过填空、辨析与计算，巩固圆的各部分名称、特征及关系，(二)第2课时用圆规画圆，运用圆的特征师：上节课我们认识了圆的哪些部分?它们各有什么特征?谁来说一说。相等；直径是半径的2倍。师：大家掌握得很好。那我们怎样才能画出一个规范的圆呢?今天我们就来一脚是铅笔。谁能说说用圆规画圆的方法?师：请同学们想一想，画圆时为什么要先把两脚间的距离定好?师：请大家用圆规画一个半径为3厘米的圆，注意针尖要固定住，旋转时两师：同学们都画出了圆。请大家想一想，圆心决定圆的什么?半径又决定圆的什么?生1:圆心决定圆的位置，圆心在哪，圆就在哪。生2:半径决定圆的大小，半径越长，圆越大；半径越短，圆越小。师：我们来验证一下。请画一个半径为2厘米的圆，再在另一处画一个半径为4厘米的圆，比较它们的大小和位置。生：半径4厘米的圆更大；圆心在不同位置，圆的位置就不同。要做成圆形?车轴为什么要安在圆心的位置?师：说得好!正因为在同一个圆中所有半径都相等，车轮滚动时，车轴(圆心)始终保持在一条直线上，车才能行驶得平稳。如果车轮是正方形或三角形，今天我们知道了圆的哪些知识?数条且都相等；直径是半径的2倍；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；还【设计意图】通过师生共同回顾，把两节课的核心知识梳理成清晰的线索，圆的认识(二)一、学情分析六年级学生已经在第一课时《圆的认识(一)》中认识了圆心、半径和直径，掌握了半径与直径的关系(d=2r),并能用圆规画圆，具备了一定的几何直观和动手操作能力。但学二、教材分析几何直观和推理意识的重要载体，也为后续学习圆的周长、面积以及扇形统计图打下基础。根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》对核心素养的培养要求，结合本课内容，1.通过折一折、转一转、看一看等操作活动，理解圆是轴对称图形，知道圆有无数条对称轴，理解“直径所在的直线是圆的对称轴”,掌握对折找圆心的方法，发展空间观念和几何直观。2.通过圆、正方形、等边三角形的旋转对比，发现圆旋转任意角度都与自身重合的旋转对称性，体会图形的对称美，发展推理意识和归纳能力。教学重点：理解圆是轴对称图形，掌握“直径所在的直线是圆的对称轴”,认识弧、圆心角、扇形，掌握对折找圆心的方法。教学难点：正确区分直径与对称轴(直径是线段、对称轴是直线),理解圆的旋转对称性，把握扇形大小与圆心角的关系。本课共安排2课时。第一课时通过折一折、转一转等活动，探索圆的轴对称性与旋转(一)复习引入，唤醒旧知教师出示复习题：任意画一个圆，标出圆心O、半径r和直径d,并填空：一个圆半径1.自主对折，初步感知。教师为每位学生准备一张圆形纸片，请学生沿任意一条直线对折，观察对折后两侧能否完全重合。师：请把圆形纸片沿着任意一条直线对折，仔细观察，对折后纸片的两边能完全重合吗?动手试一试。2.多次对折，数一数折痕。教师引导学生换不同方向反复对折，数一数能折出多少条师：大家多换几个方向对折，数一数你能折出多少条折痕?这些折痕有什么共同点?3.同桌交流，沟通折痕与直径。教师组织学生说一说折痕与上节课学的直径有什么关师：折出来的这条折痕和圆的直径有什么关系?和同桌交流。生：折痕就是圆的直径，每条折痕都经过圆心。师：有人说“直径是圆的对称轴”,这句话对吗?生：不对，直径是线段，对称轴是直线，两者不一样。师：那规范的表述应该是什么?教师小结：直径是一条线段，对称轴是一条直线，两者不能混为一谈，圆的对称轴是5.判断对称轴条数。教师出示半圆、长方形、等腰梯形三个图形，请学生判断各有几条对称轴。生：半圆只有1条对称轴，长方形有2条对称轴。(三)转一转，感知圆的旋转对称性1.分组操作。教师为每组分发圆、正方形、等边三角形三种纸片，每张纸片上都标记了中心点A。请学生先把图形与下方对应的图形完全重合，再绕中心点A缓慢旋转。2.对比记录，总结发现。教师引导学生在表格中记录三种图形旋转重合的条件，并小师：正方形、等边三角形和圆旋转重合的条件一样吗?师：这说明圆有什么独特的特征?生：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合。(四)对折找圆心，联系生活1.情境提问。教师出示一张没有标出圆心的空白圆形纸片，请学生想办法用对折找出师：老师这里有一张没有标出圆心的圆形纸片，只靠对折的方法，你能找到它的圆心吗?2.自主尝试。教师引导学生先沿任意方向对折一次，打开观察折痕；再换一个垂直方师：先沿任意方向对折一次，打开纸片，这条折痕是什么?师：但只凭一条折痕能找到圆心吗?师：再换一个和刚才垂直的方向对折，两条折痕相交的点是什么?3.方法总结与拓展。教师引导学生归纳找圆心的方法。师：谁来总结找圆心最简单的方法?生：把圆形纸片对折两次，两次的方向不一样，两条折痕相交的点4.生活应用。教师结合车轮、井盖等生活实例，引导学生用今天学的知识解释它们的师：生活里井盖、车轮都做成圆形，结合今天的知识，说说为什么?生：圆形井盖绕圆心旋转任意角度都不会掉进井里，很安全。生：车轮绕圆心转动，因为半径都相等，所以转动很平稳。(五)课堂小结教师引导学生回顾：今天通过折一折、转一转，我们发现了圆的哪些特征?怎样用对(一)复习回顾，承上启下教师出示一个圆，请学生指出圆心、半径、直径，并说一说圆的对称性。教师追问：我们已经知道圆上任何两点之间的曲线是什么?它和我们今天要认识的扇形有什么关系?由此引出新课。(二)做一做，认一认，认识弧师：在圆上点两个点A、B,观察连接这两点之间弯曲的这条线，它叫做弧，读作师：一个圆上能画出多少条不同的弧?生：能画出好多条不一样的弧。(三)认识圆心角1.观察角的特征。教师请学生连接A、B两点和圆心0,观察形成的角。师：连接A、B两点和圆心0,形成了一个角。观察这个角的顶点在哪里?两条边是什么?2.对比辨析。教师出示不同位置的角，请师：如果角的顶点在圆上或者圆内其他位置，还能叫圆心角吗?(四)认识扇形，理解扇形与圆的关系1.认识扇形。教师引导学生观察由一师：扇形是圆的一部分，一个圆可以分成多少个扇形?2.探究扇形大小与圆心角的关系。教师在同一个圆里画出两个圆心角不同的扇形，请学生比较大小。生：圆心角大的扇形，面积更大。(五)巩固练习，形成技能1.判断轴对称图形。出示圆、半圆、正方形、等边三角形、等腰梯形，请学生独立判断对称轴条数，并用直尺规范画出对称轴。2.找圆心。学生两人一组，一人随机拿圆形纸片，另一人用对折法找出圆心，互相检查是否正确。3.认识扇形。出示几个扇形图形，请学生指出弧、圆心角，判断扇形大小，并说一说(六)课堂小结通过两课时的学习，学生通过折一折、转一转、做一做等操作活动，深入理解了圆的等、直径是半径的2倍、圆是轴对称图形(对称轴是直径所在的直线)等特征，补全”,还缺少相应的经验与方法；部分学生在表述找圆心的推理过程时，语言本课是北师大版(2026秋季新教材)六年级上册第二单元《圆》中的综合实践直平分线(三点法)找圆心、外接正方形找圆心等多种方法。全课以真实任务为依据《义务教育数学课程标准(2022年版)》“图形与几何”领域核心素养要求，教学难点：理解确定圆心与半径的原理(圆的对称性、直径过圆心),能有条理(一)情境导入，明确任务师：同学们，请看大屏幕上的这幅图。(出示出土铜镜图片)这是我们出土的一的铜镜修复好。(板书课题：修复铜镜)【设计意图】以出土铜镜的真实情境导入，既了解铜镜的文化价值、激发学习(二)观察思考，明确复原条件个圆的哪些信息?生1:要知道圆心在哪里。生2:还要知道半径有多长。师：那怎样才能确定这个残缺圆的圆心和半径呢?请同学们结合我们学过的圆的半径决定大小”,明确修复的关键，为探究找圆心(三)动手探究，方法多样性找到圆心?师：谁来说说你是怎样做的?生1:我把残片沿一条边对折，让两边完全重合，再换一个方向对折一次，两条师：为什么要对折两次?生2:因为圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。对折一次得到一条师：说得好!两条直径都经过圆心，所以它们的交点就是圆心。这就是利用圆的师：找到圆心后，怎样确定半径呢?生3:用直尺量出圆心到圆上任意一点的距离，就是半径。方法二：垂直平分线找圆心(三点法)。该怎样确定圆心呢?请同学们看，老师在这段圆弧上标了三个点A、B、C。师：想一想，在圆上，圆心到A、B、C三点的距离有什么关系?生4:都等于半径，所以距离相等。师：那我们怎样找到一个点，使它到A、B两点的距离相等，又到B、C两点的距离相等?生5:到线段AB两个端点距离相等的点，在AB的垂直平分线上。师：对!所以我们可以连接AB、BC,分别画出这两条线段的垂直平分线，两条范，学生操作)师：这样找圆心有道理吗?谁能解释一下?生6:垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，两条垂直平分线的交点同时满师：非常棒!这就是用垂直平分线(也叫“三点法”)确定圆心的方法。量出圆心(四)梳理方法，感悟原理什么共同的地方?生1:都是利用圆和直径、半径的特征来找到圆心的。生2:都要先确定圆心，再确定半径，就能画出完整的圆。师：总结得真好!不管是哪一种方法，道理都是一样的——圆心决定圆的位置，(一)复习导入，重温方法怎样确定圆心和半径的?生1:可以对折两次，折痕的交点就是圆心。生2:也可以在圆弧上取三个点，作两条弦的垂直平分线，交点就是圆心。(二)动手修复，补全整圆师：请同学们拿出课前准备的“铜镜残片”(残缺的圆形纸片),运用你喜欢的找师：同学们都补出了完整的圆。我们怎样检验自己补出的圆是否正确呢?请想一生3:同一个圆里，半径都相等。我可以量一量，圆心到补出圆周上几个点的距生4:我先对折找到圆心，量出半径是4厘米，用圆规画了一个半径4厘米的圆，再量了几个地方，圆心到圆周的距离都是4厘米，说明我补的圆是正确的。在用半径都相等检验的过程中，深化对圆的特征的理解，培养动手实践能力和(三)拓展应用，解决问题问题一：圆形木料残料。并求出它原来的半径，可以怎样做?生5:在圆弧上取三个点，作两条弦的垂直平分线，找出交点(圆心),量出圆圆完整地画出来，该怎样做?生6:同样在保留的圆弧上取三个点，找出圆心，量半径，就能补画完整。师：同学们都能举一反三了!其实，这些方法都能用来解决“根据一段圆弧复原师：如果我们要在操场上画一个半径很大的圆(比如做游戏、布置场地),圆规不够大，又该怎样确定圆心和半径?生7:可以先确定圆心，用绳子的一端固定在圆心，另一端系上画粉，拉紧绳子(四)总结提升，感受价值师：通过这两节课的学习，你有哪些收获?生2:我学会了用对折、垂直平分线等方法确定圆心和半径。生3:我还明白了，数学知识可以帮助我们解决修复文物、补全图形这样的实际本课是《圆》单元的综合实践内容，共安排两个课时。第一课时以“修复铜镜”《欣赏与设计》是(北师大版新教材)六年级上册第二单元《圆》中的综合实践活动课，安排在圆的周长、面积等基础知能之后，属于"图形与几何"领域的综合应用。教材以若干由圆(含半圆、四分之一圆)组合而成的图案为载体，引导学生经历"观察一分析—表达一再现—创造"的过程：一方面欣赏图案中的圆及其组合方式，提炼出平移、旋转、轴对称等图形变换方法；另一方面借助圆规动手画一画、设计图案，将圆的特征(圆心、半径、直径)转化为操作技能。本课是沟通"认识圆"与"应用圆"的桥梁，重在培养学生的空间观念、几何直观与创新意识，同时渗透数学美育。面积；在前几册也接触过平移、旋转、轴对称等图形运动。但学生多停留在"会画单个圆"的层面，对"用多个圆组合设计图案"缺少方法提炼，画组合图案时容易出现圆2.几何直观：能借助图例说明图案由哪些基本图形、经何种4.应用意识：体会圆在生活与艺术中的广泛应用，感受数学与生活五、教学过程(一)情境导入，激趣启思师：同学们，我们的生活中有许多美丽的图形。大家看——(课件出示摩天轮、同心圆年轮、向日葵、飞碟造型的景观灯等图片)这些事物里藏着一种我们已经认识的图形，你们发现了吗?圆"变"出来的精美图案。(出示教材中几幅由圆组合成的图案：花朵纹样、几何花窗、波浪圆环等)请同学们猜一猜，这些漂亮的图案是怎样画出来的?(学生自由发言，猜测画法。)【设计意图】以生活实物唤醒学生对圆的已有认识，用精美图案激发兴趣，自然引出本课学习主题。师：请同学们翻开课本，仔细观察这一页上的几幅图案，说一说：每一幅图案让你想到了生活中的什么?是完整的圆，还是圆的一部分?【设计意图】先整体后局部，引导学生用数学的眼光观察图案，初步建立"图案由圆组合而成"的认知。(学生小组讨论，教师巡视。)生：因为它是对称的，左右两边是一样的。师：讲得非常好!那如果我们要把它画出来，第一步先画什么?第二步再画什么?师：这里老师要提醒大家一个关键：画半圆时，半圆的直径正好落在前面那个圆的半再确定它们之间的位置关系(相接、相切、包含),最后用平移、旋转、轴对称的方法把它(教师板书：基本图形+位置关系+变换方法=美丽图案)(四)动手实践，画一画师：(请两名学生展示作品)请这两位同学分别说说，你画的时候，第一步圆心定在哪里?第二步又是怎么确定半圆位置的?(五)课堂小结师：这节课我们欣赏了由圆组合而成的美丽图案，还动手画了出来。谁来说说，一幅圆图案里藏着哪些"数学秘密"?生：它是由圆、半圆、四分之一圆拼出来的。生：要用到平移、旋转、轴对称这些方法。生：画的时候要先定圆心，再定半径。师：大家总结得真全面。下节课，我们就要当一回"小小设计师",用这些方法自己创作一幅更漂亮的图案，好吗?师：上节课我们学会了"欣赏"圆的图案。先来考考大家——(出示两幅图案)说说这两生：第一幅用半圆旋转围成花瓣，第二幅用四分之一圆和平移拼在一起。师：很好!这些方法(指板书)就是我们的"创作工具箱"。今天，请同学们打开这个工(二)梳理方法，明确思路师：在设计之前，我们先一起理一理"设计一幅圆图案"的步骤。(结合学生回答，师生共同板书设计流程)师：第一步，想——你想设计一幅表现什么的图案?(如花朵、太阳、涟漪、风车)第二步，选——准备用哪些基本图形?(圆、半圆还是四分之一圆)第三步，排——这些图形怎样摆放?用平移、旋转还是轴对称?第四步，画——先定圆心、再定半径，依次画出来。第五步，美——用不同的颜色或粗细把图案打扮得更漂亮。生：原来设计一幅图这么有步骤!师：是的，有了清晰的思路，画画就不容易乱。老师这里再给大家看一个小窍门(课件演示):当我们需要四个、六个完全一样的部分围成一圈时，可以先在圆上均匀地分点，再(三)自主设计，动手创作(学生独立创作，教师巡回指导。对圆心定位困难的学生，提示"先画辅助圆、再擦去辅助线";对创意强的学生，鼓励大胆组合多圈图案。)师：(在巡视中即时点评)这位同学把四个半圆旋转排列成风车，方法用得很熟练；那(四)展示交流，评价提升师：设计好的同学，请把你的作品贴到黑板上来，让我们一起参观"圆的艺术展"。师：请这位同学介绍自己的作品：你设计的是什么?用了哪些基本图形和变换方法?画的时候最得意的一步是哪一步?的方式，说说黑板上哪幅作品最吸引你，为什么?它哪些地方做得特别好，哪些地方还可以改进?【设计意图】以"作品展"的形式搭建展示与交流的平台，让学生在互评中深化对图形组合方法的理解，体验成功与创造之美。(五)课堂小结生：还要想清楚用圆、半圆还是四分之一圆，用平移、旋转还是对称。两节课我们以"圆"为载体，走过了"欣赏一分析一再现一创造"的完整旅程：认识了圆、半圆、四分之一圆组合图案的构成规律，掌握了"先定圆心、再定半径、确定位置关系、运用变换方法"的作图要点，并独立设计出富有创意的圆图案。学生一、学情分析倍数关系(圆周率)也有一定难度。部分学生对小数乘除法的计算还不够熟练，《圆的周长》是2026秋新教材北师大版六年级上册第二单元《圆》中的重认识圆周率π,概括出圆的周长计算公式，并运用公式解决实际问题。本课既是(1)量感：在测量圆的周长、感知周长与直径关系中，体会度量单位的统(4)符号意识：理解并会用字母C、d、r、π表示圆的周长、直径、半径和(5)应用意识与创新意识：能运用圆的周长公式解决生活中求车轮周长、师：同学们，请看大屏幕(出示一幅自行车轮、钟面、圆形花坛等圆形物体图)。这些都是我们生活中常见的圆形物体。请想一想，沿着自行车轮的外边缘走一圈，走过的是什么呢?师：对!车轮外边缘的这一圈，是一条曲线。我们把“围成圆的曲线的长度叫作圆的周长”。(板书：圆的周长=围成圆的曲线的长度)请同学们翻开教材，师：你理解得很准确!我们以前学过的长方形、正方形的周长，是由线段围【设计意图】以学生熟悉的圆形实物引入，借助直观图形和问答，帮助学生从“曲线”的角度准确理解圆周长的含义，为后面探究测量方法作好铺垫。出它的周长吗?请大家以小组为单位，利用手中的圆形纸片、细绳、直尺，动手生1:我们组用绕线法，把细绳沿着圆的边缘绕一圈，再量出绳子的长度，生2:我们组用滚动法，先在圆上做一个记号，把圆片在直尺上滚动一周，师：你们的方法都非常巧妙!绕线法把弯曲的线变直再量，滚动法让圆在直的曲线，转化为能够测量的直线。(板书：化曲为直)大家要注意：绕线时绳子要紧贴圆周，接头处要对齐；生：我们测量的圆片，周长大约是31.4厘米。【设计意图】通过动手操作和小组合作，让学生亲历“化曲为直”的测量过程，既突破了测量曲线这一难点，又培养了动手实践能力和合作意识，为探究周长与直径的关系积累真实数据。圆的周长会与它直径的长短有关系吗?师：那它们之间会不会存在一定的倍数关系呢?让我们用实验来验证。请以(出示实验记录表：圆的周长/厘米|圆的直径/厘米|周长÷直径的商)圆的周长(厘米)圆的直径(厘米)34实验记录表：不同圆的周长与直径的关系师：请各小组汇报你们的测量结果和计算出的商。你发现了什么?生：我发现不管圆的大小怎么样，圆的周长除以直径的商都差不多，都在3师：观察得非常仔细!其实，圆的周长除以直径的商是一个固定不变的数，等于圆周率，大约是3.14。(板书：圆的周长÷直径=圆周率π≈3小数点后第七位，比国外早了约一千年。让我们为祖先的智慧感到自豪!【设计意图】通过测量、计算、比较的实验活动，让学生亲身经历“由具体数据归纳出周长与直径倍数关系”的探究过程，自然引出圆周率的概念，既落实了推理意识、运算能力的培养，又融入了数学文化，增强民族自豪感。生1:我知道了围成圆的曲线的长度叫作圆的周长。生3:我知道了圆的周长除以直径的商是圆周率，约等于3.14。圆周率表示什么?直接算出圆的周长呢?这就是我们今天要解决的问题。生：周长等于直径乘圆周率，所以C=πd。师：非常正确!圆的周长公式就是C=πd(板书)。我们知道直径等于半径的2倍，即d=2r,那么周长又可以用半径怎样表示呢?师：对，这是圆的周长公式的另一种形式C=2πr(板书)。当我们已知直径时用C=πd,已知半径时用C=2πr,这样更加方便。么?师：很好!只要知道直径或半径，再乘圆周率，就能求出圆的周长。师：下面请同学们看教材，结合例题来试一试。一个圆形车轮的直径是0.5米，它的周长是多少米?(得数保留两位小数)生：已知d=0.5米，求C。根据C=πd,C=3.14×0.5=1.57(米)。师：计算时注意π取3.14,得数保留两位小数。大家掌握得很快!【设计意图】引导学生由周长与直径的关系式自主推出周长公式，结合教材例题进行规范计算示范，帮助学生在理解算理的基础上掌握计算方法，落实符号意识和运算能力。(1)圆形花坛。一个圆形花坛的直径是20米，绕花坛走一圈，大约要走多少米?师：先请同学们说一说，题目已知什么、要求什么,该选用哪个公式。生：已知直径20米，要求周长，用C=πd来算。生：C=πd=3.14×20=62.8(米),大约要走62.8米。道、公园里的圆形喷泉等等，只要找准圆的直径或半径，就能用周长公式解决。米，你能算出这棵古树树干的直径大约是多少米吗?师：这道题已知周长，要求直径，该怎样列式呢?请小组讨论一下。师：很好!由周长公式可以逆推出d=C÷π。当我们已知周长求直径时，就(3)已知半径求周长。一个圆形桌面，它的半径是0.6米，桌面的周长是多少米?师：这道题已知半径，选择公式C=2πr更合适。同学们要会根据已知条件型问题，让学生在具体情境中灵活运用周长公式，既巩固了正向计算，又渗透了逆向思维，提升应用意识与解决问题的能力。(1)一个圆形喷水池的周长是25.12米，它的直径是多少米?半径呢?(2)比较辨析：下面哪个圆的周长最大?①直径8厘米的圆；②半径5厘米的圆；③周长31.4厘米的圆。生：①C=3.14×8=25.12(厘米);②C=2×3.14×5=31.4(厘米);③周长是师：你们发现了吗?半径5厘米的圆和周长31.4厘米的圆，其实是同一个师：再请同学们口答：已知一个圆的周长是6.28厘米，你能求出它的半径是多少吗?生：先求直径d=C÷π=6.28÷3.14=2(厘米),再求半径r=d÷2=1(厘米)。师：思路非常清晰!从周长出发，先逆推直径，再求半径，这两个步骤环环【设计意图】通过求直径、半径的综合练习和比较辨析，帮助学生理清周长、直径、半径三个量之间的关系，深化对周长公式的理解，培养灵活分析和解决问题些方法?生：已知直径用C=πd,已知半径用C=2πr;如果已知周长，还可以用d=C÷π逆推求直径。师：总结得非常好!求圆的周长，关键是找到直径或半径，再选择合适的公在此基础上自主推导并掌握了圆的周长公式C=πd、C=2πr,并能灵活运用公式3.1415926和3.1415927之间，再到电子计算机把π算到小数点后约105万亿位。三、核心素养教学目标(按2026年秋季新教材最新标准)1.会用数学的眼光观察现实世界：通过阅读史料、观察图示，感知圆内接2.会用数学的思维思考现实世界：通过比较阿基米德与刘徽研究方法的异3.会用数学的语言表达现实世界：能整理并复述圆周率发展的主要史料，4.结合圆周率发展的历史故事，感悟数学家锲而不舍、不断创新的科学精五、教学准备(一)第一课时：走近历史，梳理发展历程1.温故启思，引出课题师：上节课我们学习了圆的周长，谁能说一说，圆的周长与什么有关?怎样计算圆的周长?师：公式里的π是多少?它是一个什么样的数?生：π约等于3.14,它是一个无限不循环小数。师：这个几乎天天陪着我们解题的π,其实是两千多年来无数数学家一点一2.自主阅读，初识史料圆周率大致经历了哪几个阶段?容易想到一个问题：一个轮子滚一圈能滚多远?显然轮子越大滚得越远，那么滚的距离与轮子的直径有没有关系呢?古人最早是怎样解决这个问题的?是直径的3倍多。师：在我国，现存有关圆周率的最早记载是哪部书?距今大约多少年?率，有什么不足?师：公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现：当正多边形的边数增加时，师：刘徽用的是什么方法?他算到了什么程度?生：他采用“割圆术”,用圆内接正多边形逐步逼近圆，一直算到圆内接正192边形，得到圆周率约是3.14。师：理解得非常到位。正多边形的边数越多，它的师：1500多年前，我国南北朝时期的科学家祖冲之进一步改进了刘徽的结果，他又取得了哪些成就?生：祖冲之算出了π的值在3.1415926和3.1415927之间，还得到了两个分师：约率是22/7,密率是355/113。大家看，355/113这个分数用整数355和113写出来，却能非常接近地表示圆周率，真是奇妙!这一成就在世界上领先在没有计算器、全靠手算笔算的时代，祖冲之要把π算到小数点后7位，需要付出多么大的心血和耐心?4.整体梳理，阶段小结古代劳动人民多次测量发现圆的周长总是直径的3倍多(周三径一),最早记载见于《周髀算经》公元前3世纪)值范围割圆刘徽(魏晋时期)精确祖冲之(南北朝，约1500年前)算出π介于3.1415926与3.1415927之间，得到约率22/7、密率355/113现代电子计算机2024年已将π算到小数点后约105万亿位步步算得越来越精确的?到取值范围；刘徽用割圆术算到3.14;祖冲之算到小数点后7位。(二)第二课时：感悟思想，走近现代圆周率1.回顾导入，对比方法师：上节课我们认识了哪几位与圆周率有关的数学家?他们各用了什么方法?后7位。同点?师：正多边形逼近圆的方法虽然巧妙，但它有没有不足?师：后来，电子计算机的出现带来了怎样的变化?生：用电子计算机计算，算得又快又多，2024年圆周率已经可以算到小数点后约105万亿位。师：从祖冲之的7位，到今天的105万亿位，科技的力量让我们叹为观止。师：课前，老师让大家搜集了有关圆周率的历史资生1:国际上把每年的3月14日定为圆周率日，因为3.14正是π的前三位。生2:我知道了祖冲之还写过《缀术》,可惜后来失传了。生3:韦达、莱布尼茨用级数的方法求π,和割圆术的思路不一样。→祖冲之(π介于3.1415926与3.1415927之间)→电子计算机(约105万亿位)逼近思想：正多边形边数越多，越接近圆。得领先世界约1000年的卓越成就，直至今天电子计算机把π算到小数点后约105圆的面积(一)六年级学生已掌握了长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等直线图形的面积计算方法，能够用"数方格""割补转化"等方法求面积，具备初步的转化意识。在学习圆的周长时，学生已认识了圆周率，并经历了"周长与直径的比值"的探究过程，对"化曲为直"有了感性认识。但圆是学生第一次系统研究的曲线图形，把曲线围成的圆"变"成直线图形来求面积，超出了学生已有的认知经验，多数学生难以主动想到"等分剪拼"的方法，对"份数越多，拼成的图形越接近平行四边形(长方形)“这一极限思想的理解也存在困难。因此，教学要以动手操作和直观演示为支撑，帮助学生跨越从"直线图形"到"曲线图形"的思维台阶。《圆的面积(一)》是第二单元《圆》的重要内容，上承圆的周长与圆周率，下启圆的拼一拼、说一说"的探究脉络：先让学生在方格纸上数格子，初步估算圆的面积，体会估算的价值与局限；再引导学生把圆平均分成若干份(8份、16份、32份),剪开后拼成近似的平行四边形，通过观察发现"拼成的平行四边形的面积等于圆的面积""平行四边形的底相当于圆周长的一半(πr),高相当于半径(r)",进而由平行四边形面积公式推导出圆的面积依据《义务教育数学课程标准(2022年版)》及北师大版2026年秋季新教材的编排理4.量感与几何直观：结合生活情境和方格纸操作，理解圆的面积的意义；能通过数方格估测圆的面积，借助数形对应直观感知圆面积与半径的关系。6.推理意识：能根据平行四边形面积与圆的面积的关系，有条理地推导出圆的面积计算公式S=πr²,并能用语言、图示完整表达推导过程。教学难点：理解"把圆等分、剪拼成近似平行四边形"的转化方法，体会极限思想；弄清拼成的平行四边形与原来圆的各要素之间的对应关系(底=圆周长的一半，高=半径)。五、教学过程本课教学分两个课时完成。第一课时重在"感知与转化",让学生经历数方格估算、动手等分剪拼、初步发现关系的完整过程；第二课时重在"推导与应用",在操作感悟的基础上系统推导公式并加以应用。(一)情境导