2026年超几何分布的试题及答案

2026年超几何分布的试题及答案考试时长：120分钟满分：100分一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.超几何分布适用的条件是（）。A.样本抽取是有放回的B.总体量有限且抽取是无放回的C.总体量无限且抽取是有放回的D.样本量与总体量之比足够小2.设总体中有M个元素，其中K个元素为成功类，现随机抽取n个样本，则抽取到k个成功类的概率用超几何分布表示为（）。A.C(n,k)C(M-n,M-k)/C(M,n)B.C(k,n)C(M-k,M-n)/C(M,n)C.C(k,M)C(M-k,n-k)/C(M,n)D.C(n,k)C(M,n-k)/C(M,K)3.超几何分布的期望E(X)等于（）。A.npB.nK/MC.(n+1)(K+1)/(M+1)D.KM/n4.当总体量M趋于无穷大时，超几何分布趋近于（）。A.二项分布B.泊松分布C.正态分布D.均匀分布5.超几何分布的方差Var(X)等于（）。A.np(1-p)B.nK/M(1-K/M)C.n(K/M)(1-K/M)MD.nK(M-K)/M²6.已知总体M=100，K=30，抽取n=10，则抽取到k=3的成功类的概率为（）。A.0.0588B.0.0784C.0.1236D.0.09887.超几何分布的累计分布函数（CDF）表示为（）。A.P(X≤k)=ΣP(X=i)fori=0tokB.P(X=k)=C(K,k)C(M-K,n-k)/C(M,n)C.F(k)=(C(K,k)+C(M-K,n-k))/C(M,n)D.P(X=k)=k(M-k)/(M-n)8.超几何分布适用于以下哪个场景？（）A.硬币投掷实验B.无限总体中的抽样C.有限总体中的无放回抽样D.伯努利试验9.若超几何分布中n=20，M=200，K=50，则P(X=10)的值最接近（）。A.0.0217B.0.1234C.0.0567D.0.089110.超几何分布的均值与样本量n的关系是（）。A.线性正相关B.线性负相关C.平方关系D.对数关系二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.超几何分布的参数包括总体量______、成功类数量______、样本量______和成功类个数______。2.超几何分布的概率质量函数（PMF）为______。3.超几何分布的期望公式为______。4.当总体量M=100，K=20，n=10时，P(X=5)的值为______。5.超几何分布的方差公式为______。6.超几何分布的无记忆性______。7.超几何分布与二项分布的区别在于______。8.超几何分布的累积分布函数（CDF）为______。9.超几何分布的标准化形式为______。10.超几何分布的应用场景包括______、______和______。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.超几何分布适用于无限总体。（×）2.超几何分布的期望等于样本量乘以成功概率。（×）3.超几何分布的方差随样本量增大而增大。（√）4.超几何分布的概率质量函数与二项分布相同。（×）5.超几何分布的累计分布函数是连续的。（×）6.超几何分布适用于分层抽样。（√）7.超几何分布的均值不受总体量影响。（×）8.超几何分布的方差等于期望的平方。（×）9.超几何分布的无放回抽样会导致概率分布变化。（√）10.超几何分布适用于小样本量场景。（√）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.简述超几何分布与二项分布的区别。2.超几何分布在质量管理中的应用场景有哪些？3.超几何分布的期望和方差如何计算？4.超几何分布的适用条件是什么？五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.某班级有50名学生，其中30名男生，20名女生。现随机抽取10名学生组成小组，求小组中恰好有6名男生的概率。2.一批产品共200件，其中次品率为10%。现随机抽取15件进行检测，求抽到次品数不超过2件的概率。3.总体中有100个元素，其中50个成功类，50个失败类。随机抽取20个样本，求成功类个数X的期望和方差。4.某仓库有500件商品，其中100件为瑕疵品。现随机抽取30件，若抽到3件瑕疵品，求总体中瑕疵品比例的置信区间（α=0.05）。【标准答案及解析】一、单选题1.B解析：超几何分布适用于有限总体中的无放回抽样。2.A解析：超几何分布的概率质量函数为C(K,k)C(M-K,n-k)/C(M,n)。3.B解析：超几何分布的期望为nK/M。4.A解析：当M趋于无穷大时，超几何分布趋近于二项分布。5.B解析：超几何分布的方差为nK/M(1-K/M)。6.A解析：P(X=3)=C(30,3)C(70,7)/C(100,10)≈0.0588。7.A解析：超几何分布的累计分布函数为P(X≤k)=ΣP(X=i)fori=0tok。8.C解析：超几何分布适用于有限总体中的无放回抽样。9.C解析：P(X=10)=C(50,10)C(150,10)/C(200,20)≈0.0567。10.B解析：超几何分布的期望随样本量n增大而增大，但呈非线性关系。二、填空题1.M、K、n、k2.C(K,k)C(M-K,n-k)/C(M,n)3.nK/M4.0.05675.nK/M(1-K/M)6.不适用7.抽样方式不同（有放回vs无放回）8.P(X≤k)=ΣP(X=i)fori=0tok9.(X-nK/M)/sqrt(nK/M(1-K/M))10.质量检验、市场调研、遗传学三、判断题1.×解析：超几何分布适用于有限总体，无限总体应使用二项分布。2.×解析：超几何分布的期望为nK/M，而非np。3.√解析：超几何分布的方差随样本量增大而增大。4.×解析：超几何分布与二项分布的抽样方式不同。5.×解析：超几何分布的累计分布函数是离散的。6.√解析：超几何分布可用于分层抽样。7.×解析：超几何分布的均值受总体量M影响。8.×解析：方差不等于期望的平方。9.√解析：无放回抽样会导致概率分布变化。10.√解析：超几何分布适用于小样本量场景。四、简答题1.超几何分布与二项分布的区别：-抽样方式：超几何分布为无放回抽样，二项分布为有放回抽样；-总体量：超几何分布适用于有限总体，二项分布适用于无限总体；-概率质量函数：超几何分布涉及组合数，二项分布为二项式系数。2.超几何分布在质量管理中的应用：-产品抽样检验；-生产线质量控制；-抽样调查中的样本选择。3.超几何分布的期望和方差计算：-期望：E(X)=nK/M；-方差：Var(X)=nK/M(1-K/M)。4.超几何分布的适用条件：-总体量有限；-抽样为无放回；-样本量n与总体量M之比较小（n/M<0.1）。五、应用题1.解：P(X=6)=C(30,6)C(20,4)/C(50,10)≈0.0944。解析：使用组合数计算概率。2.解：P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)≈0.