华东师大版八年级上册数学第10章《数的开方》全章教学课件（新教材）

教

学

课

件华东师大版八年级上册数学（25秋新教材）第10章数的开方10.1平方根和立方根1.平方根新课导入问题1：要剪出一张面积为25cm2的正方形纸片，正方形的边长是多少？()2=25.5问题2：若正方形的面积如下，请填表：正方形的面积/cm2149162536正方形的边长/cm123456思考：你能发现问题1与问题2有哪些共同的点吗？上述问题的实质都是已知一个正数的平方，求这个正数.5的平方等于25，所以5是25的一个平方根.25的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于25？

举例探究新知如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.概括又因为(-5)2=25，所以

-5也是25的一个平方根.这就是说，5与

-5都是25的平方根.求法根据平方根的意义，可以利用平方运算来求一个数的平方根.例1

求100的平方根.解因为102=100，(-10)2=100，除了10和-10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和-10.也可以说，100的平方根是±10.1.144的平方根是什么？2.0的平方根是什么？3.-4有没有平方根？为什么？±120没有，因为一个数的平方不可能是负数.

通过这些题目的解答，你能发现什么？思考：正数有几个平方根?0有几个平方根?负数呢?试一试1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.2.0的平方根还是0.3.负数没有平方根.因为任何有理数的平方都不可能是负数，所以，负数没有平方根.平方根的性质：一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数.显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到另一个.概括正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即.因此，正数a的平方根可以记作

，其中a称为被开方数.根号被开方数a是非负数，a≥0.特殊：0的算术平方根是0.记作.

平方根与算术平方根的区别与联系：平方根算数平方根区别定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根数量一个正数有两个平方根，它们互为相反数一个正数只有一个算术平方根表示方法结果正数的平方根是一正一负正数的算术平方根一定是正数联系具有包含关系一个非负数的平方根包含它的算术平方根，正数的算术平方根是其平方根中的正值存在条件相同只有非负数才有平方根和算术平方根，0的平方根与算术平方根都是0名称关系求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根.在例1中，我们可以先求出100的算术平方根，有，然后得知100的平方根是.平方与开平方有什么关系？平方与开平方互为逆运算例2将下列各数开平方：（1）49；（2）.解（1）因为72=49，所以，因此49的平方根为.（2）因为，所以，因此的平方根为1.填一填（1）9的算术平方根是

；（2）0.01的算术平方是

；（3）8100的算术平方是

；（4）10的算术平方根是

；

（6）(-4)2的算术平方根是

.30.1904针对训练

2.判断（1）5是25的算术平方根；（2）-6是36的算术平方根；（3）0的算术平方根是0；（4）0.01是0.1的算术平方根；（5）-5是

-25的算术平方根.问题3：如何求出一个较大的数的开平方运算的结果呢？对于较大的数，或无法直接找到平方等于某个数时，可以借助计算器来求一个数的算术平方根（有时会是近似值）.计算器计算算术平方根的方法：在计算器上依次键入:被开方数EXE用计算器求下列各数的算术平方根：（1）529；（2）44.81（精确到0.01）.说明用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可.例3解

（1）本小题的按键顺序是：，显示结果为23，所以529的算术平方根为5EXE29用计算器求下列各数的算术平方根：（1）529；（2）44.81（精确到0.01）.例3解

（2）本小题的按键顺序是：

，显示结果为6.694027188，要求精确到0.01，所以44.81的算术平方根为4EXE4.811.完成下列表格：被开方数0149162536496481100算术平方根平方根001±12±23±34±45±56±67±78±89±910±10【选自教材P4练习第1题】随堂练习2.说出下列各数的平方根：（1）6400；

（2）0.25；

（3）.±80±0.53.用计算器计算：（1）

；

（2）

；

（3）（精确到0.01）.265.282.06【选自教材P4练习第2题】【选自教材P5练习第3题】4.下列说法正确吗？为什么？如果不正确，请予以改正.（1）16的平方根是4；（2）解：（1）不正确.因为16的平方根是±4.（2）不正确，因为正数的算术平方根只有一个，正确答案应是5.【选自教材P5练习第4题】平方根平方根的概念和性质用计算器求一个数的算术平方根算术平方根的概念和性质课堂小结第10章数的开方10.1平方根和立方根2.立方根新课导入问题要做一只容积为216cm3的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？

与“平方根”类似，试作一些讨论和研究.

这个实际问题，在数学上可以转化成一个怎样的计算问题？思考新课导入解：设正方体的棱长为xcm，则x3=216这就是要求一个数，使它的立方等于216.因为63=216，所以x=6.所以正方体的棱长为6cm.5cm3问题要做一只容积为216cm3的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？探究新知如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，记作，读作“三次根号a”.一个数a的立方根可以表示为：根指数被开方数其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.概括1.27的立方根是什么？2.-27的立方根是什么？3.0的立方根是什么？3-30

通过这些题目的解答，你能发现什么？思考：正数有立方根吗？如果有，有几个？负数呢？零呢？任何数的立方根如果存在的话，必定只有一个.正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.试一试讨论：你能归纳出平方根和立方根的异同点吗？被开方数平方根立方根正数有两个互为相反数有一个，是正数负数无平方根有一个，是负数000问题：要做一只容积为5cm3的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？解：设正方体的棱长为xcm，则x3=5.所以正方形的棱长为.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.立方开立方互逆(3)_____________________________________________.求下列各数的立方根：

(2)因为(－5)3=－125，

可以借助立方运算求立方根，也可以用立方运算检验开立方是否正确.因为(－0.2)3=－0.008，

仿照前两道小题的解答过程，写出小题(3)的解答.例4用计算器求下列各数的立方根：(1)1331；(2)9.263(精确到0.01).说明

用计算器求一个有理数的立方根，只需直接按书写顺序按键即可.解(1)本小题的按键顺序是：

例53EXE，1331(2)本小题的按键顺序是：显示结果为2.100151161，要求精确到0.01，可得

用计算器求下列各数的立方根：(1)1331；(2)9.263(精确到0.01).例53EXE，9·263

注意(2)使用该功能时，可先输入根指数，再按

，

最后输入被开方数；也可先按

，输入根

指数，然后按

，最后输入被开方数，按

求解.＞EXE随堂练习1.完成下列表格：被开方数-64-27-8-10182764立方根-4-3-2-101234【选自教材P7练习第1题】2.求下列各数的立方根：（1）512；

（2）-0.027；

（3）.3.用计算器计算：（1）

；

（2）

；

（3）（精确到0.01）.8-0.3192.61.79【选自教材P7练习第2题】【选自教材P7练习第3题】4.已知5x-1的算术平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x-2y的值.解：根据题意得解得则4x-2y=4×2-2×(-4)=8+8=16.5.已知一个正方体的体积是1000cm3现在要在它的8个顶角上各截去1个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是488cm3，截得的每个小正方体的棱长是多少？解：设截得的每个小正方体的棱长是xcm.依题意，得1000-8x3=488，所以8x3=512，解得x=4.答：截得的每个小正方体的棱长是4cm.课堂小结立方根定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方.用计算器可以求一个数的立方根.第10章数的开方10.1平方根和立方根习题10.11.下列说法正确吗？为什么？（1）0.09的平方根是0.3；（2）；（3）0没有立方根；（4）1的立方根是±1.不正确，0.09的平方根为±0.3.

不正确，.不正确，0的立方根为0.不正确，1的立方根是1.【选自教材P7习题10.1第1题】A组2.求下列各数的平方根：（1）；

（2）0.36；

（3）324.解：（1）因为，所以，因此的平方根为.（2）因为(0.6)2=0.36，所以，因此0.36的平方根为.（3）因为(18)2=324，所以，因此324的平方根为.【选自教材P8习题10.1第2题】3.求下列各数的立方根：（1）125；

（2）；

（3）0.729.解：（1）因为53=125，所以.（2）因为，所以.（3）因为(0.9)3=0.729，所以.【选自教材P8习题10.1第3题】4.用计算器计算（精确到0.01）：（1）

；

（2）.【选自教材P8习题10.1第4题】解：（1）本小题的按键顺序是，显示结果为4.1097445176069，要求精确到0.01，可得1EXE6.894.用计算器计算（精确到0.01）：（1）

；

（2）.（2）本小题的按键顺序是：显示结果为19.0304221771366，要求精确到0.01，可得3EXE，6892【选自教材P8习题10.1第4题】5.（1）在哪两个相邻的整数之间？（2）3.1＜＜3.2正确吗？（3）下列四个结论中，正确的是（） A.3.15＜＜3.16 B.3.16＜＜3.17 C.3.17＜＜3.18 D.3.18＜＜3.19在3和4之间.正确.B【选自教材P8习题10.1第5题】6.已知x的一个平方根是－8，求x的立方根.B组解：因为－8是x的一个平方根，所以x=(－8)2=64.又因为43=64，因此=4.所以x的立方根是4.【选自教材P8习题10.1第6题】7.如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得溢出的水的体积为40.5cm3.然后，小华将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.62cm.求烧杯内部的底面半径和正方体铁块的棱长.（用计算器计算，结果精确到0.1cm）【选自教材P8习题10.1第7题】解：烧杯中减少的水的体积为40.5cm3，水位下降了0.62cm，因此烧杯内部的底面面积为cm2.所以烧杯内部的底面半径为(cm).因为铁块的体积是烧杯中减少的水的体积，所以铁块的棱长为≈3.4(cm).第10章数的开方10.2实数新课导入利用计算器，把下列各数写成小数的形式，你有什么发现？发现：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.除了有限小数和无限循环小数，还有什么其它类型的小数吗？做一做2.利用平方运算验算第1题中所得的结果.1.用计算器求.

探究新知用计算机计算，你会发现：1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115278206057147010955997160597027453459686201472851741864088919860955232923048430871432145083976260362799525140798968725339654633180882964062061525835…

在数学上已经得知，没有一个有理数的平方等于

2，也就是说，

不是一个有理数.那么，是怎样的数呢？我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，也就是有限小数或者无限循环小数，例如：不是一个有理数，它是一个无限不循环小数.类似地，、圆周率π等，它们都是无限不循环小数.探究新知无限不循环的小数叫做无理数.无理数也像有理数一样广泛存在着.有理数和无理数统称为实数.你能举几个无理数的例子吗？概括实数的分类：实数有理数分数整数正整数0负整数自然数正分数负分数无理数正无理数负无理数有限小数及无限循环小数无限不循环小数（1）含π的数；（2）开方开不尽的数；（3）有规律但不循环的无限小数.也可以这样来分类：实数正实数0负实数正有理数正无理数负有理数负无理数1.判断下列的说法是否正确？(1)实数不是有理数就是无理数. （）(2)无理数都是无限不循环小数. （）(3)无理数都是无限小数. （）(4)带根号的数都是无理数. （）(5)无理数一定都带根号. （）(6)两个无理数之积不一定是无理数. （）(7)两个无理数之和一定是无理数. （）√√√××√×针对训练2.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？有理数集合无理数集合0.3154.963.14159-5.2323332…123456789101112…试一试思考：每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么有理数能不能将数轴排满？

无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？你能在数轴上找到表示的点吗？如图所示，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为.这就是说，边长为1的正方形的对角线长是.利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示的点，如图所示.发现：每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数.数轴上的每一个点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）都可以用数轴上的一个点来表示.概括实数与数轴上的点一一对应.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小.（用“＜”号连接）

解:如图所示.－21.5针对训练在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用.例如：与互为相反数与互为倒数涉及无理数的大小比较和运算，通常可以取它们的近似值来进行.

而π≈3.141592654，

例1计算：（精确到0.01）解：于是取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位.例2注：由于，所以原式由此算式，可直接将数据输入计算器进行计算.实数a在数轴上的位置如图：化简：|a-1|+=______.1针对训练随堂练习1.下列说法是否正确？为什么？(1)两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是一个无理数；(2)任意一个无理数的绝对值都是正数.解：(1)不正确.如分数，是无限循环小数，是有理数.(2)正确.【选自教材P12练习第1题】2.计算：（精确到0.01）解：【选自教材P12练习第2题】3.比较下列各对数的大小：(1)和； (2)和.解：(1)因为

而12＜18，所以(2)因为，而1.323＞1.047，所以-1.323＜-1.047，即【选自教材P12练习第3题】4.比较与的大小.解：因为故课堂小结实数概念：有理数和无理数统称实数.实数的分类：实数与数轴上的点的关系：一一对应实数的大小比较与运算第10章数的开方10.2实数习题10.21.判断下列说法是否正确：（1）无理数的平方一定是正数；（2）两个无理数的积仍为无理数；（3）分数一定可化为有限小数或无限循环小数.正确.

正确.【选自教材P15习题10.2第1题】A组2.下列各数中，哪些是无理数？【选自教材P15习题10.2第2题】

3.完成下列表格：实数π相反数绝对值﹣ππ【选自教材P15习题10.2第3题】4.比较下列各对数的大小：（1）与；（2）与.解：(1)因为所以(2)因为4＞3，所以所以【选自教材P15习题10.2第4题】5.计算：（精确到0.01）解：原式≈9×1.414-2×2.236-3×1.732≈3.06【选自教材P15习题10.2第5题】

B组

【选自教材P15习题10.2第6题】

=27.对于无理数，试解答下列问题：(1)在数轴上位于哪两个相邻的整数之间？(2)借助计算器找出有理数a和b，使a<<b，且b-a=0.001.解：(1)位于2和3之间.(2)a=2.645，b=646.【选自教材P15习题10.2第7题】数学活动探寻纸张规格的秘密新课导入在生活中，我们用的最多的印刷纸张的规格是A4，你们还知道其他规格的印刷纸张吗？据GB/T788一1999《图书和杂志开本及其幅面尺寸》，国家标准纸张开度及尺寸如图所示.探究新知（1）你知道16开、32开、64开的含义吗？如何把一整张纸64开？开本是指一本书幅面的大小.是以整张纸裁开的张数作标准来表明书的幅面大小的.把一整张纸切成幅面相等的16小页叫16开，切成32小页叫32开，切成64小页叫64开，其余类推.（1）你知道16开、32开、64开的含义吗？如何把一整张纸64开？把一整张纸对折长边裁切6次.（2）你知道A后面的数字有什么含义吗？这些数字最大、最小分别是多少？

A后面的数字表示将整张纸对折长边裁切的次数。数字最大是10、最小是0，从0到10，数字越大，纸张的面积越小.（3）从A4、A5、A6的尺寸，你能发现A系列不同规格的尺寸有什么规律吗？大一号纸张的宽是比它小一号纸张的长；大一号纸张的长是比它小一号纸张的宽的两倍.（4）分别研究A4、A5、A6三种规格的长与宽之比，你能发现什么规律？

（5）分别计算A5和B5的纸张面积，以及A6和B6的纸张面积，你能发现同型号的A、B系列规格的纸张面积有什么共同规律吗？A5：148×210=31080mm2B5：169×239=40391mm2A6：105×144=15120mm2B6：119×165=19635mm2

课堂小结1.开本是指一本书幅面的大小.是以整张纸裁开的张数作标准来表明书的幅面大小的.3.大一号纸张的宽是比它小一号纸张的长；

大一号纸张的长是比它小一号纸张的宽的两倍.

2.A、B后面的数字表示将整张纸对折长边裁切的次数。第10章数的开方章末复习知识结构实数有理数无理数实际问题平方根立方根算术平方根立方平方思考并回答下列问题：问题1：平方根与立方根的定义是什么？它们有什么性质？问题2：有理数与实数的定义是什么？问题4：实数的相反数、绝对值、倒数与有理数相同吗？问题5：实数运算法则、运算律与有理数相同吗？问题3：数轴上的点与实数有什么关系？你是怎么理解的？要点1.掌握平方根、算术平方根、立方根的意义是学习本章的关键.在研究时，要抓住平方根（立方根）与平方（立方）之间的关系，例如，可以通过平方（立方）运算来寻求平方根（立方根），并可以用来验证开平方（开立方）的正确性.2.在实数范围内，任意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.任意一个实数有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数.3.有理数和无理数统称为实数.实数与数轴上的点之间有着一一对应关系.这是数集从有理数集扩充到实数集的一大进步，使数的知识更加丰富.一、平方根、算术平方根和立方根的概念与性质

概念表示主要性质平方根

算术平方根

立方根

若

，则

x叫做

a的平方根.正数有两个平方根，互为相反数.0的平方根是0.负数没有平方根.若

，则x的非负数值叫做

a的算术平方根.非负性：当

a≥0时，

≥0.若

，则

x叫做的立方根.正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是

0.

联系

平方根与算术平方根：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种；(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都只有

才有；(3)0的平方根、算术平方根均为

.

平方根与立方根：(1)都与相应的乘方运算互为

运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研究．平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可通过转化为正数的立方根来研究，即

＝

；(3)0的平方根和立方根都是

0.非负数0逆二、开平方与开立方求一个非负数

a的

的运算，叫做开平方.其中

a叫做

.求一个数

a的

的运算，叫做开立方．其中

a叫做

.开平方与

、开立方与

都分别互为逆运算.平方根被开方数立方根被开方数平方立方[点拨](1)求正数的平方根时，往往先求出其算术平方根，再在求出的数前面加上“±”号；(2)根据平方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方根(立方根)．

用计算器求一个正数

a的算术平方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入.1.

用计算器求一个正数的算术平方根三、用计算器求算术平方根、立方根2.

用计算器求立方根

用计算器求一个数

a的立方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入.aEXE3EXEa四、实数1.实数的分类无理数：无限不循环小数有理数：有限小数或无限循环小数实数分数整数开不尽方的数开方所得结果有规律但不循环的无限小数……化简后含有的数按概念分：正实数负实数数实负有理数正有理数按符号分类：0负无理数正无理数0正实数负实数2.实数与数轴(1)实数和数轴上的点是一一对应的关系；(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的

数大.3.在实数范围内，有理数的有关概念、运算法则同样适用.典例精析例1（1）(-2)2的平方根是（） A.-2B.2C.±2D.±4（2）下列说法中，正确的是（）A.正数的立方根是正数B.负数的平方根是负数C.无理数是开方开不尽的数D.数轴上的点只能表示有理数CA（3）的立方根是______.（4）

的算术平方根是______.（5）实数a、b满足，则ab=______.3-2例2的小数部分为a，整数部分为b，求a-b的值.解：∵3＜＜4，4＜＜5，∴

的整数部分b=4，小数部分a=+1-4=-3，∴a-b=(-3)-4=-7.例3

已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示.b0ac试化简：解：根据数轴可知，c＞0，a-c＜0，a+b＜0，b+c＜0，∴原式=c+(a-c)-(a+b)+(b+c)=c+a-c-a-b+b+c=c．A组复习题1.下列说法是否正确？为什么？(1)4的平方根是2；(2)-8的立方根是-2；(3)40的算术平方根是20；(4)负数没有立方根；(5)正数有两个立方根；(6)0没有平方根.错误，4的平方根是±2.正确.错误，40的算术平方根是.

错误，负数有立方根.错误，正数有唯一的立方根，也为正数.错误，0的平方根是0.【选自教材P18复习题第1题】2.根据表格中所给信息，完成下列表格:被开方数1