湘教版八年级上册数学3.1 第1课时 二次根式的概念及性质 教学课件（25秋新教材）

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件湘教版八年级上册数学（25秋新教材）3.1二次根式的概念及性质第3章二次根式第1课时二次根式的概念及性质1.了解二次根式的定义；2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件；（重点）3.掌握二次根式的两条重要性质．（重点、难点）学习目标问题1

什么叫作平方根?

一般地，如果一个数的平方等于

a，那么这个数是

a的一个平方根.问题2

什么叫作算术平方根?

如果x2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根.用表示.问题3

什么数有算术平方根?我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内,非负实数才有算数平方根.(1)2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的?思考二次根式的概念及有意义的条件1

(2)用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度(称为第一宇宙速度)，才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道，第一宇宙速度

v

与地球半径

R

之间存在如下关系：v²=gR，其中

g

为重力加速度.若已知地球的半径

R，则第一宇宙速度

v

是多少？(用带有根号的式子表示).

(3)比较(1)(2)的结果，它们在表达形式上有什么共同特征？

因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.

知识要点

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式

，我们知道：（1）a为被开方数或式，为保证其有意义，可知

a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.

二次根式的被开方数(或式)非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性归纳总结例1当

x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?解：由

x-

1≥0，得x≥1.当

x≥1

时，在实数范围内有意义.【变式题】当

x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由题意得

x-

1＞0，所以

x＞1.

典例精析解：因为被开方数需大于或等于零，

所以

3

+

x≥0，所以

x≥-3.

因为分母不能等于零，

所以

x

-

1≠0，所以

x≠1.

所以

x≥-3且

x≠1.

要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.归纳(2)多个二次根式相加：如有意义的条件：(1)单个二次根式：如有意义的条件：A≥0；(3)二次根式作为分式的分母：如有意义的条件：

A＞0；(4)二次根式与分式的和：如有意义的条件：

A≥0且B≠0.归纳总结1.下列各式：.

其中一定是二次根式的有（）A.3个B.4个C.5个D.6个B2.(1)若式子

在实数范围内有意义，则

x

的取值范围是_______；(2)若式子

在实数范围内有意义，则

x

的取值范围是___________.x≥1

x≥0且

x≠2

练一练3.已知

a，b

为等腰三角形的两条边长，且

a，b

满足，求此三角形的周长．解：由题意得所以

a

=

3.所以

b

=

4.当

a

为腰长时，三角形的周长为

3

+

3

+

4

=

10；当

b

为腰长时，三角形的周长为

4

+

4

+

3

=

11．

若，则根据被开方数大于等于0，可得

a=0.归纳

＝a(a≥0).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略

a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.

（a≥0）的性质2例2

计算：解：(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？积的乘方：(ab)2=a2b2典例精析4.计算：解：练一练的性质2做一做

21.221.2

a(a≥0)，

综上可得：即任意一个实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.例3计算：解：，而3.14＜π，要注意

a的正负性.注意例4计算：

5.计算：

解:辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．（）（）（）（）××√√练一练议一议：如何区别

与

？从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方，后平方先平方，后开方a≥0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数

a的算术平方根的平方表示一个实数

a的平方的算术平方根例5

实数

a、b

在数轴上的对应点如图所示，请你化简：解：由数轴可知

a＜0，b＞0，a

-

b＜0，所以原式=

|

a

|

-

|

b

|+|

a-

b

|=

-

a

-

b

-

(a

-

b)=

-2a.ab2.式子有意义的条件是（）

A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤21.下列式子中，不属于二次根式的是（）CA3.若是整数，则自然数

n的值有（）

A.7个B.8个C.9个D.10个D4.当

x为何值时，

在实数范围内有意义？解：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数

x＋3≥0

和分母

x＋1≠0，解得

x≥－3

且

x≠－1.方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零.5.计算：答案：3.答案：.6.计算：答案：7.答案：3.答案：0.01.7.若

x，y

是实数，且

y＜

，求