2025年四川大学高等数学（上）期末冲刺测试卷：概率论基础与随机变量

2025年四川大学高等数学（上）期末冲刺测试卷：概率论基础与随机变量考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设事件A与B互斥，且P(A)>0,P(B)>0，则下列结论中正确的是（）。（A）A与B独立（B）A与B不独立（C）A与B互为对立事件（D）P(A|B)=P(A)2.已知随机变量X的分布函数为F(x)，则下列叙述中不正确的是（）。（A）P(a<X≤b)=F(b)-F(a)（B）P(X=a)=F(a)-F(a-0)（C）P(X>b)=1-F(b)（D）P(X=b)=F(b+0)3.设随机变量X的分布列为：X:-101P:1/31/6a则a的值为（）。（A）1/2（B）1/4（C）1/3（D）1/64.设离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X～B(n,p)，则E(X)和Var(X)分别为（）。（A）np,np(1-p)（B）np,p^2（C）n,np(1-p)（D）n,p5.设随机变量X的密度函数为f(x)={2x,0≤x≤10,其他则P(1/2<X≤1)为（）。（A）1/4（B）1/2（C）3/4（D）1二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）6.若P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A∪B)=0.7，则P(A|B)=。7.设事件A的概率为1/2，事件B的概率为1/3，且A与B相互独立，则P(A∩B')=。8.设随机变量X的分布函数为F(x)={0,x<0x^2,0≤x≤11,x>1则P(0.3<X≤0.7)=。9.若随机变量X的期望E(X)=2,方差Var(X)=0.25，则E(3X-4)=，Var(3X-4)=。10.设随机变量X服从参数为λ的正态分布，即X～N(μ,σ^2)，其密度函数为f(x)，则f(x)的图形关于x=μ对称。三、计算题：（本大题共4小题，共60分。）11.（10分）甲、乙两人约定在下午1点至2点之间在某地会面。他们约定先到者等待另一人15分钟，过时就离开。假设两人在下午1点至2点之间（60分钟内）的任何时刻到达都是等可能的，求两人能会面的概率。12.（15分）设随机变量X的分布列为：X:-1012P:p11/6p21/12其中p1,p2为未知参数。（1）求p1,p2的值；（2）求随机变量X的分布函数F(x)；（3）计算E(X)和Var(X)。13.（15分）设随机变量X的密度函数为f(x)={6x(1-x),0≤x≤10,其他（1）求常数a，使得F(x)=∫[0,x]f(t)dt是随机变量X的分布函数；（2）计算P(X>0.5)。14.（20分）设随机变量X服从参数为2的正态分布，即X～N(0,4)。记Y=X^2。（1）求随机变量Y的分布函数F_Y(y)；（2）求E(Y)。（提示：可以利用已知结论，如Y服从指数分布）试卷答案一、选择题：1.B2.D3.A4.A5.C二、填空题：6.0.37.1/68.0.499.2,2.2510.是三、计算题：11.解析思路：设X为甲到达时间，Y为乙到达时间，X,Y~U(0,60)。两人能会面需满足|X-Y|≤15。利用几何概型，计算满足条件的区域面积除以总区域面积。解：总样本空间Ω的面积为60×60。满足条件A:|X-Y|≤15的区域面积为60×60-2×(45×45)=2700。P(A)=2700/3600=3/4。12.解析思路：利用分布列性质p1+1/6+p2+1/12=1求参数。分布函数F(x)是累积分布函数，按X的取值分段计算。期望和方差按定义E(X)=Σxip(xi)和Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2计算。解：（1）p1+p2=1-1/6-1/12=5/6。又因为P(X=0)=1/6，所以p1+p2=5/6，p1=5/6-p2。无法唯一确定p1和p2，题目可能设置有误，若假设题意允许p1=p2，则p1=p2=5/12。此处按标准答案思路，常假设p1+p2=5/6，且分布列对称性，取p1=5/12,p2=5/12。（2）F(x)={0,x<-1p1,-1≤x<0p1+1/6,0≤x<1p1+1/6+p2,1≤x<21,x≥2若p1=5/12,p2=5/12，则F(x)={0,x<-15/12,-1≤x<011/12,0≤x<115/12,1≤x<21,x≥2（3）E(X)=(-1)*p1+0*(1/6)+1*p2+2*(1/12)=-5/12+5/12+1/6=1/6。E(X^2)=(-1)^2*p1+0^2*(1/6)+1^2*p2+2^2*(1/12)=5/12+0+5/12+4/12=14/12=7/6。Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=7/6-(1/6)^2=7/6-1/36=42/36-1/36=41/36。13.解析思路：首先根据密度函数性质∫[-∞,∞]f(t)dt=1，确定常数a（此处a=1）。然后利用分布函数定义F(x)=∫[-∞,x]f(t)dt，计算概率P(X>0.5)=1-P(X≤0.5)=1-F(0.5)。解：（1）∫[-∞,∞]f(t)dt=∫[0,1]6xt(1-t)dt=6∫[0,1](t-t^2)dt=6[(t^2/2-t^3/3)|[0,1]=6(1/2-1/3)=6*(1/6)=1。所以a=1。（2）F(x)=∫[0,x]6t(1-t)dt=6∫[0,x](t-t^2)dt=6[(t^2/2-t^3/3)|[0,x]=6(x^2/2-x^3/3)=3x^2-2x^3。P(X>0.5)=1-F(0.5)=1-(3(0.5)^2-2(0.5)^3)=1-(3*1/4-2*1/8)=1-(3/4-1/4)=1-1/2=1/2。14.解析思路：X~N(0,4)，即σ^2=4，σ=2。利用正态分布性质，Y=X^2服从参数为1/4的χ^2(1)分布（或称伽马分布Γ(1/2,2)）。分布函数F_Y(y)需分段计算。期望E(Y)利用χ^2分布期望性质E(Y)=df=1/4*2=2。解：（1）Y=X^2。由于X~N(0,4)，即X=2Z，其中Z~N(0,1)。则Y=4Z^2。Z^2服从χ^2(1)分布，所以Y=4Z^2服从参数为λ=1/4的伽马分布Γ(1/2,1/2)，也等价于服从指数分布Exp(1/2)。其分布函数为F_Y(y)={0,y<01-e^(-y/2),y≥0