2025年西安交通大学高等数学（上）期末考试试卷：线性空间与线性变换

2025年西安交通大学高等数学（上）期末考试试卷：线性空间与线性变换考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题4分，共20分。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.设V是实数域R上的线性空间，α₁,α₂,α₃是V中的向量。若α₁,α₂线性无关，且α₁,α₂,α₃线性相关，则下列结论正确的是（）。A.α₃是α₁,α₂的线性组合B.α₃是α₁的线性组合C.α₃是α₂的线性组合D.α₁,α₂,α₃均线性相关2.设V是n维线性空间，α₁,α₂,...,αₙ是V的一组基。向量β∈V在基α₁,α₂,...,αₙ下的坐标为(1,-2,3,...,-2)。若取V的另一组基为β₁=α₁+α₂,β₂=α₂,β₃=α₂+α₃,...,βₙ=α₂+αₙ，则向量β在基β₁,β₂,...,βₙ下的坐标为（）。A.(1,-2,3,...,-1)B.(1,-2,3,...,-2)C.(0,-2,3,...,-1)D.(0,-2,3,...,-2)3.设T是线性空间V上的线性变换，B和C是V中的两个不同的基。若T在基B下的矩阵为A，则在基C下的矩阵一定为（）。A.AB.PᵀAP，其中P是B到C的过渡矩阵C.PAP，其中P是B到C的过渡矩阵D.P⁻¹AP，其中P是B到C的过渡矩阵4.设T是线性空间V上的线性变换，T²=0（零变换），则下列结论不一定正确的是（）。A.T的核空间(N(T))中非零向量在T下的像都是零向量B.T的像空间(Im(T))中的任意向量都在T的核空间(N(T))中C.T的核空间(N(T))与像空间(Im(T))的维数之和等于V的维数D.T可能是零变换5.设V是n维线性空间，α₁,α₂,...,αₙ是V的一组基。若线性变换T在基α₁,α₂,...,αₙ下的矩阵为A，则T是可逆变换的充分必要条件是（）。A.A的行列式为零B.A的行列式不为零C.A的特征值均为零D.A的特征值均为非零二、填空题（每小题5分，共25分。请将答案填在题后的横线上。）6.设V是线性空间，α₁,α₂,α₃是V中的向量。若α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁线性相关，则α₁,α₂,α₃线性_______。7.设V是n维线性空间，B={β₁,β₂,...,βₙ}是V的一组基。若向量α∈V在基B下的坐标为(x₁,x₂,...,xₙ)ᵀ，则向量α可以表示为_______。8.设T是线性空间V上的线性变换，N(T)是T的核空间，Im(T)是T的像空间。若V的维数为n，N(T)的维数为k，则Im(T)的维数为_______。9.设T是线性空间V上的线性变换，A是T在基B={β₁,β₂,...,βₙ}下的矩阵。若向量γ∈V在基B下的坐标为(y₁,y₂,...,yₙ)ᵀ，则T(γ)在基B下的坐标为_______。10.设V是线性空间，T是V上的线性变换。若存在向量α∈V，使得T(α)=α，则称α是T的_______。三、计算题（每小题10分，共30分。）11.在R³中，已知向量α=(1,2,1)ᵀ，β=(1,0,1)ᵀ，γ=(2,1,1)ᵀ。判断向量α,β,γ是否线性相关。如果线性相关，求出其中一个向量由另外两个向量线性表示的表达式。12.设V是3维线性空间，B={e₁,e₂,e₃}和C={e₁+e₂,e₂+e₃,e₃}是V的两组基。求从基B到基C的过渡矩阵。13.设线性空间R²上的线性变换T由下式给出：T(x,y)=(x+y,x-y)。求T在标准基{(1,0)ᵀ,(0,1)ᵀ}下的矩阵表示。四、证明题（每小题10分，共20分。）14.设V是线性空间，T是V上的线性变换。证明：T的核空间N(T)是V的一个子空间。15.设A是n阶可逆矩阵，T是n维线性空间V上的线性变换，A是T在基B下的矩阵。证明：存在V的基C，使得T在基C下的矩阵为A⁻¹。---试卷答案一、选择题1.A2.C3.D4.B5.B二、填空题6.相关7.α=Σᵢ(xᵢβᵢ)8.n-k9.(Ay)ᵀ10.特征向量三、计算题11.解：设xα+yβ+zγ=0，代入α,β,γ得：x(1,2,1)ᵀ+y(1,0,1)ᵀ+z(2,1,1)ᵀ=(0,0,0)ᵀ得方程组：x+y+2z=02x+z=0x+y+z=0解此方程组，得x=-z,y=z。令z=1，则x=-1,y=1。故α,β,γ线性相关，且α=-β+γ。12.解：设过渡矩阵为P=(pᵢⱼ)，则(e₁+e₂,e₂+e₃,e₃)=(e₁,e₂,e₃)P即(1,0,0;1,1,0;0,1,1)=(1,0,0;0,1,0;0,0,1)P解得P=(1,0,0;1,1,0;0,1,1)。13.解：设标准基为{(1,0)ᵀ,(0,1)ᵀ}，记为e₁=(1,0)ᵀ,e₂=(0,1)ᵀ。T(e₁)=T(1,0)ᵀ=(1,0)ᵀ+(1,0)ᵀ-(0,1)ᵀ=(2,-1)ᵀT(e₂)=T(0,1)ᵀ=(0,1)ᵀ+(0,1)ᵀ-(1,0)ᵀ=(-1,2)ᵀT在标准基下的矩阵为A=[T(e₁)T(e₂)]=((2,-1);(-1,2))。四、证明题14.证明：首先，零向量0∈V，且T(0)=T(0α)=0α=0，故0∈N(T)。其次，设α₁,α₂∈N(T)，则T(α₁)=0,T(α₂)=0。对于任意k₁,k₂∈R，有T(k₁α₁+k₂α₂)=k₁T(α₁)+k₂T(α₂)=k₁*0+k₂*0=0故k₁α₁+k₂α₂∈N(T)。由子空间定义知，N(T)是V的子空间。15.证明：设B={e₁,e₂,...,eₙ}是V的基，A是T在基B下的矩阵。存在可逆矩阵P，使得(T(e₁),T(e₂),...,T(eₙ))=(e₁,e₂,...,eₙ)AP令C=(e₁,e₂,...,eₙ)P，则C也是V的一组基（因为P可逆）。此时T(eᵢ)=ΣⱼAᵢⱼeⱼ=ΣⱼAᵢⱼ(Peⱼ)=ΣⱼAᵢ