2025年线性代数（行列式与矩阵）大学本科期末考试冲刺试题及答案

2025年线性代数（行列式与矩阵）大学本科期末考试冲刺试题及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（每空4分，共24分）1.若矩阵A=(aij)是3阶矩阵，且aij=i+j，则|A|=_______。2.设A=[12;34]，B=[01;20]，则AB=_______，BA=_______。3.矩阵A=[12;34]的逆矩阵A⁻¹=_______。4.若方阵A经过初等行变换化为B=[10;01]，且A可逆，则r(A)=_______。5.行列式|A|的所有元素代数余子式Aij的转置矩阵称为A的_______矩阵，记作A*。6.若方程组Ax=b有无穷多解，则系数矩阵A的秩r(A)与增广矩阵(A|b)的秩r(A|b)的关系是_______。二、选择题（每题3分，共15分）1.下列说法正确的是（）。(A)两个可逆矩阵的和一定是可逆矩阵。(B)若矩阵A乘以某个矩阵后仍为零矩阵，则A必是零矩阵。(C)初等行变换不改变矩阵的秩。(D)若|A|≠0，则A必是可逆矩阵。2.设A是n阶方阵，k是常数，则|kA|=_______。(A)k|A|(B)|k||A|(C)kn|A|(D)kn|A|²3.矩阵A=[12;34]和B=[10;01]的乘积AB是（）。(A)[12;34](B)[10;01](C)[72;114](D)[70;04]4.下列运算中，错误的是（）。(A)A(B+C)=AB+AC(B)(AB)C=A(BC)(C)A²-B²=(A+B)(A-B)(D)(A+B)²=A²+2AB+B²5.若A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，则AB是（）矩阵。(A)m×s(B)n×n(C)m×n(D)s×s三、计算题（每题10分，共40分）1.计算行列式|A|的值，其中A=|123;014;560|。2.已知矩阵A=[123;014;001]，求A的逆矩阵A⁻¹。3.已知矩阵A=[12;34]，B=[10;02]，求2A-3B以及AB。4.用初等行变换求矩阵A=[123;251;342]的秩。四、综合题（每题11分，共22分）1.利用克拉默法则解线性方程组：x+2y=53x+4y=62.设矩阵A=[12;34]，矩阵B满足关系式AB=A+B，求矩阵B。试卷答案一、填空题1.62.[42;41],[23;06]3.[-21;1-1/2]4.n5.伴随6.r(A)<r(A|b)二、选择题1.(C)2.(B)3.(C)4.(C)5.(A)三、计算题1.解：|A|=1×(1×0-4×6)-2×(0×0-4×5)+3×(0×6-1×5)=1×(-24)-2×(-20)+3×(-5)=-24+40-15=12.解：因为|A|=1×(1×1-4×0)-2×(0×1-4×0)+3×(0×0-1×0)=1≠0，所以A可逆。A⁻¹=1/|A|*A*=A*A*=[123;014;001]的所有元素代数余子式组成的矩阵的转置：A*=[100;-210;6-41]ᵀA⁻¹=[1-26;01-4;001]3.解：2A-3B=2[12;34]-3[10;02]=[24;68]-[30;06]=[-14;62]AB=[123;014;001][10;02;00]=[1×1+2×0+3×01×0+2×2+3×0]=[14][0×1+1×0+4×00×0+1×2+4×0]=[02][0×1+0×0+1×00×0+0×2+1×0]=[00]4.解：(A|I)=[123|100;251|010;342|001]（对调第一行和第三行）→[342|001;251|010;123|100]（第一行/3）→[342|001;031/3|010-2/3*0;123|100-1/3*1]（第二行-2/3*第一行）→[342|001;031/3|010-2/3;123|100-1/3]（第三行-1/3*第一行）→[14/32/3|001/3;031/3|010;123|100]（第一行/3）→[14/32/3|001/3;011/9|01/30;123|100]（第二行/3）→[14/32/3|001/3;011/9|01/30;02/37/3|10-1]（第三行-第一行）→[14/32/3|001/3;011/9|01/30;006/3|10-1-2/3*1/3]→[14/32/3|001/3;011/9|01/30;002|10-1/9]→[14/32/3|001/3;011/9|01/30;001|1/20-1/18]（第三行/2）→[14/30|002/9;010|01/31/9;001|1/20-1/18]（第一行-2/3*第三行；第二行-1/9*第三行）→[100|-2/9-4/9;010|-1/31/3;001|1/20]（第一行-4/3*第二行）r(A)=3（矩阵B即为(A|I)右下角的3阶单位矩阵，按顺序为：B=[-2/9-4/9;-1/31/3;1/20]）四、综合题1.解：系数矩阵A=[12;34]，增广矩阵(A|b)=[12|5;34|6]。|A|=1×4-2×3=4-6=-2≠0。故方程组有唯一解。x=|A₁|/|A|=|12;54|/|-2|=(1×4-2×5)/2=-6/2=-3。y=|A₂|/|A|=|32;34|/|-2|=(3×4-2×3)/2=12/2=6。解为：x=-3,y=6。2.解：AB=A+BAB-A=BA(B-I)=BA(B-I)=I(因为A可逆，所以A⁻¹(A(B-I))=A⁻¹I，得到B-I=A⁻¹B)(A-I)(B-I)=I系数矩阵C=A-I=[02;33]。(C|I)=[02|10;33|01]。→[33|01;02|10]（第一行/3）→[11|01/3;02|10]（第二行-3/2*第一行）→[10|