2025年线性代数（行列式与矩阵）大学课程期末考试复试试题及答案

2025年线性代数（行列式与矩阵）大学课程期末考试复试试题及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.设A为三阶矩阵，|A|=-1，则|3A|等于（）。(A)-3(B)-1(C)3(D)92.已知矩阵A=[[1,2],[3,4]],B=[[a,0],[0,b]]，则AB等于（）。(A)[[a+3b,2b],[3a+4b,4b]](B)[[a,2b],[3a,4b]](C)[[1a+2*0,1*0+2b],[3a+4*0,3*0+4b]](D)[[1a+3*0,1*2+2*0],[3a+4*0,3*2+4*0]]3.设向量α=[1,2,3]ᵀ，β=[1,-1,2]ᵀ，则向量α+β等于（）。(A)[2,1,5]ᵀ(B)[1,1,5]ᵀ(C)[0,1,1]ᵀ(D)[1,3,5]ᵀ4.矩阵A=[[1,2],[0,1]]和矩阵B=[[1,0],[k,1]]可逆的充分必要条件是（）。(A)k=0(B)k=1(C)k≠0(D)k≠15.齐次线性方程组x₁+2x₂+3x₃=0和2x₁+x₂+x₃=0的解空间维数是（）。(A)0(B)1(C)2(D)3二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在题中横线上。）6.行列式|A|=2，矩阵B=3A，则|B|=______。7.设A=[[a,1],[2,b]]，且A是可逆矩阵，则ab______0。8.矩阵[[1,0],[0,2]]的逆矩阵是______。9.向量组α₁=[1,0,1]ᵀ，α₂=[0,1,0]ᵀ，α₃=[1,1,1]ᵀ的秩是______。10.线性方程组x₁+x₂+x₃=1,2x₁+2x₂+2x₃=2的解的情况是______。三、计算题（每小题7分，共28分。）11.计算行列式|D|=|123|。|456||789|12.已知矩阵A=[[1,2],[3,4]],B=[[2,0],[1,2]]，求2A-3B。13.用初等行变换求矩阵A=[[0,1,2],[1,0,3],[2,3,0]]的逆矩阵（如果存在）。14.求解线性方程组：x₁+2x₂-x₃=1,x₂+x₃=2,-x₁+x₂+2x₃=-1。四、证明题（每小题9分，共18分。）15.证明：如果向量组α₁,α₂,α₃线性相关，且α₃不能由α₁,α₂线性表示，那么α₁和α₂线性相关。16.证明：如果矩阵A可逆，那么A的伴随矩阵A*也可逆，且A*也可逆，|A*|=|A|^(n-1)（n为矩阵A的阶数）。试卷答案一、单项选择题1.D2.C3.A4.C5.B二、填空题6.187.≠8.[[1,0],[0,1/2]]9.210.无穷多解三、计算题11.解：按第一行展开，|D|=1*|56|-2*|46|+3*|45|=1*(5*6-6*4)-2*(4*6-6*4)+3*(4*5-5*4)=1*(30-24)-2*(24-24)+3*(20-20)=1*6-2*0+3*0=6.12.解：2A-3B=2[[1,2],[3,4]]-3[[2,0],[1,2]]=[[2,4],[6,8]]-[[6,0],[3,6]]=[[2-6,4-0],[6-3,8-6]]=[[-4,4],[3,2]].13.解：对矩阵A进行行变换化为单位矩阵，同时将单位矩阵化为A的逆矩阵。[[0,1,2],[1,0,3],[2,3,0]]→[[1,0,3],[0,1,2],[2,3,0]]→[[1,0,3],[0,1,2],[0,3,-6]]→[[1,0,3],[0,1,2],[0,0,-12]]→[[1,0,3],[0,1,2],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]→[[1,0,-2],[0,1,-2],[0,0,1/12]]A⁻¹=[[1,0,-2],[0,1,-2],[0,0,1/12]].14.解：用初等行变换化增广矩阵为行简化阶梯形矩阵。[[1,2,-1,|,1],[0,1,1,|,2],[-1,1,2,|,-1]]→[[1,2,-1,|,1],[0,1,1,|,2],[0,3,1,|,0]]→[[1,2,-1,|,1],[0,1,1,|,2],[0,0,-2,|,-6]]→[[1,2,-1,|,1],[0,1,1,|,2],[0,0,1,|,3]]→[[1,2,0,|,4],[0,1,0,|,-1],[0,0,1,|,3]]→[[1,0,0,|,6],[0,1,0,|,-1],[0,0,1,|,3]]解得：x₁=6,x₂=-1,x₃=3.四、证明题15.证明：因为α₁,α₂,α₃线性相关，所以存在不全为零的数k₁,k₂,k₃使得k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0。因为α₃不能由α₁,α₂线性表示，所以k₃≠0。上式两边除以k₃得：(k₁/k₃)α₁+(k₂/k₃)α₂+1*α₃=0。令λ₁=k₁/k₃,λ₂=k₂/k₃，则λ₁α₁+λ₂α₂+α₃=0。因为λ₁,λ₂,1不全为零（至少1不为零），所以α₁,α₂线性相关。16.证明：方法一：因为A可逆，所以|A|≠0。由AA*=|A|E知，A*=|A|A⁻¹。因为|A|≠0，且A⁻¹可逆，所以A*也可逆，且|A*|=||A|A⁻¹|=|A|^(n)|A⁻¹|=|A|^(n)|A|^(−1)=|A|^(n−1)。方法二：因为A可逆，所以存在可逆矩阵P,Q使得A=PQ。则A*=|A|QᵀPᵀ=|PQ|QᵀP