2025年线性代数期末考试试卷（含矩阵对角化与相似矩阵）

2025年线性代数期末考试试卷（含矩阵对角化与相似矩阵）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\)和\(B=\begin{pmatrix}1&0\\-1&2\end{pmatrix}\)。1.计算\(A^2\)和\(B^2\)。2.判断矩阵\(A\)和\(B\)是否相似。若相似，求可逆矩阵\(P\)和对角矩阵\(D\)，使得\(A=PDP^{-1}\)；若不相似，请说明理由。二、已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&4\\2&3\end{pmatrix}\)。1.求矩阵\(A\)的特征多项式\(p(\lambda)\)。2.求矩阵\(A\)的所有特征值。3.对特征值\(\lambda_1=-1\)，求矩阵\(A\)对应的特征向量。三、设向量\(\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)和\(\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\)。1.证明向量组\(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}\)线性无关。2.判断是否存在可逆矩阵\(P\)和对角矩阵\(D\)，使得\(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}=PDP^{-1}\)。若存在，求出\(P\)和\(D\)；若不存在，请说明理由。四、设\(n\)阶矩阵\(A\)可对角化，且\(A\)的特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\)（重根按重数计），对应的线性无关特征向量分别为\(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\)。1.写出矩阵\(A\)相似对角化的条件，并说明其几何意义。2.若\(\mathbf{u}\)是\(A\)的属于特征值\(\lambda_1\)的特征向量，证明\(A^k\mathbf{u}\)也是\(A\)的属于\(\lambda_1\)的特征向量（其中\(k\)为正整数）。五、设\(A=\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}\)。1.判断矩阵\(A\)是否可对角化。2.若\(B=A+2E\)，判断矩阵\(B\)是否可对角化，并说明理由。六、设\(A\)是一个\(n\)阶矩阵，证明：如果\(A\)的每个特征值都是零，那么\(A\)必须是对角矩阵。试卷答案一、1.\(A^2=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&5\\0&9\end{pmatrix}\)\(B^2=\begin{pmatrix}1&0\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-3&4\end{pmatrix}\)2.矩阵\(A\)和\(B\)的特征多项式分别为：\(p_A(\lambda)=\det(\lambdaE-A)=\det\begin{pmatrix}\lambda-2&-1\\0&\lambda-3\end{pmatrix}=(\lambda-2)(\lambda-3)\)\(p_B(\lambda)=\det(\lambdaE-B)=\det\begin{pmatrix}\lambda-1&0\\1&\lambda-2\end{pmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-2)\)因为\(p_A(\lambda)\neqp_B(\lambda)\)，所以\(A\)和\(B\)不相似。二、1.\(p(\lambda)=\det(\lambdaE-A)=\det\begin{pmatrix}\lambda-1&-4\\-2&\lambda-3\end{pmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-3)-(-4)(-2)=\lambda^2-4\lambda-5\)2.令\(p(\lambda)=0\)，得\(\lambda^2-4\lambda-5=(\lambda-5)(\lambda+1)=0\)，所以特征值为\(\lambda_1=5\)和\(\lambda_2=-1\)。3.对\(\lambda_1=-1\)：\((\lambda_1E-A)\mathbf{x}=(-1-1)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)即\(\begin{pmatrix}-2&-4\\-2&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)得\(-2x_1-4x_2=0\)，即\(x_1=-2x_2\)。取\(x_2=1\)，则\(x_1=-2\)。对应的特征向量为\(\mathbf{v}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}\)。（或任意非零倍数）三、1.假设存在数\(c_1,c_2\)使得\(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2=\mathbf{0}\)。即\(c_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)得方程组：\(\begin{cases}c_1+c_2=0\\c_1-c_2=0\end{cases}\)解得\(c_1=0,c_2=0\)。因此，向量组\(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}\)线性无关。2.假设存在可逆矩阵\(P\)和对角矩阵\(D\)，使得\(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}=PDP^{-1}\)。则\(D\)的特征值应为\(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)的特征值。\(\det(\lambdaE-D)=\det\begin{pmatrix}\lambda-1&0\\0&\lambda-(-1)\end{pmatrix}=(\lambda-1)(\lambda+1)\)特征值为\(\lambda_1=1,\lambda_2=-1\)。令\(D=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)。由\(P^{-1}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}P=D\)可得\(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}P=PD\)。即\(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}\\p_{21}&p_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{11}&-p_{12}\\p_{11}&p_{22}\end{pmatrix}\)得方程组：\(\begin{cases}p_{11}+p_{21}=p_{11}\\p_{12}+p_{22}=-p_{12}\\p_{11}-p_{21}=p_{11}\\p_{12}-p_{22}=p_{22}\end{cases}\)解得\(p_{21}=0,p_{12}=-\frac{1}{2}p_{22}\)。取\(p_{11}=1,p_{22}=1\)，则\(p_{21}=0,p_{12}=-\frac{1}{2}\)。所以\(P=\begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}\\0&1\end{pmatrix}\)。显然\(P\)可逆。因此，存在可逆矩阵\(P=\begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}\\0&1\end{pmatrix}\)和对角矩阵\(D=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)，使得\(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}=PDP^{-1}\)。四、1.矩阵\(A\)相似对角化的条件是：存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=D\)，其中\(D\)是对角矩阵。几何意义是：矩阵\(A\)有n个线性无关的特征向量。因为\(P\)的列向量就是\(A\)的n个线性无关的特征向量，\(D\)的对角元就是对应的特征值。2.设\(\mathbf{u}\)是\(A\)的属于特征值\(\lambda_1\)的特征向量，即\(A\mathbf{u}=\lambda_1\mathbf{u}\)。等式两边同时左乘\(A^k\)，得\(A^k\mathbf{u}=A^{k-1}(A\mathbf{u})=A^{k-1}(\lambda_1\mathbf{u})=\lambda_1A^{k-1}\mathbf{u}\)。重复此过程\(k-1\)次，得\(A^k\mathbf{u}=\lambda_1^k\mathbf{u}\)。因为\(\mathbf{u}\)是特征向量，非零，所以\(A^k\mathbf{u}\)也是\(A\)的属于特征值\(\lambda_1\)的特征向量。五、1.\(A\)的特征多项式\(p(\lambda)=\det(\lambdaE-A)=\det\begin{pmatrix}\lambda-3&-1\\0&\lambda-3\end{pmatrix}=(\lambda-3)(\lambda-3)=(\lambda-3)^2\)。特征值为\(\lambda=3\)（重根为2）。对应的特征向量需满足\((3E-A)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)。\((3E-A)=\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix}\)。得方程\(-x_2=0\)，即\(x_2=0\)。\(x_1\)任意。特征向量为\(k\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)（\(k\neq0\)）。只有一个线性无关的特征向量，数量少于矩阵阶数\(n=2\)。因此，矩阵\(A\)不可对角化。2.\(B=A+2E=\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\0&5\end{pmatrix}\)。\(B\)的特征多项式\(p(\lambda)=\det(\lambdaE-B)=\det\begin{pmatrix}\lambda-5&-1\\0&\lambda-5\end{pmatrix}=(\lambda-5)^2\)。特征值为\(\lambda=5\)（重根为2）。对应的特征向量需满足\((5E-B)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)。\((5E-B)=\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix}\)。得方程\(-x_2=0\)，即\(x_2=0\)。\(x_1\)任意。特征向量为\(k\begin{pmatrix}1\\0\end{pmat