2026-2027学年吉林省吉林市普通高中高二（上）期中调研测试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年吉林省吉林市普通高中高二（上）期中调研测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l的斜率为2，则直线l的一个方向向量为(

)A.(1,−2) B.(−2,1) C.(1,2) D.(2,1)2.圆心为A(2,−3)，半径等于5的圆的方程是(

)A.(x−2)2+(y+3)2=5 B.(x+23.如果AC>0且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不经过(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知椭圆x2m2+y2=1(m>0)A.22 B.10 C.85.如图，正四棱台ABCD−A1B1C1D1的高为2，AB=2A1B1=2A.−45

B.−25

C.6.若{a,b,A.{a+b,a,a−b7.动点M(x,y)与定点F(0,1)的距离和M到定直线l：y=4的距离的比是常数12，则动点M的轨迹方程是(

)A.x24+y23=1 B.8.已知直线l：(m+1)x+(m−1)y−2m=0(m∈R)，则原点到直线l的距离的取值范围是(

)A.[0,1] B.[0,1) C.[0,2]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l1：2x+y−1=0，直线l2，l3经过点P(1,1)，且l2//lA.直线l2的方程为2x+y−3=0 B.直线l2的方程为x+2y−3=0

C.直线l3的方程为x−2y+1=0 D.直线10.已知圆O1：x2+y2=4和圆O2：(x−m)2+(y+m)2=m+8(m∈R)关于直线l对称，点A.m=−4 B.直线l的方程为x−y+4=0

C.|PA|+|PC|的最小值是310−2 D.11.已知F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，椭圆E的离心率为e，过椭圆E上一点P作斜率为−1的直线l，恰好平分∠F1PF2的外角，分别过点FA.|OG|=a B.∠F1PF2=45°三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.两条平行直线6x−8y−5=0与3x−4y=0的距离为

．13.已知圆O1：x2+y2=r2(r>0)与圆O14.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，P，Q分别为棱CC1，BC的中点，动点M满足DM=λDA+μDD1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆C经过点A(1,1)，B(5,−1)，且圆心在直线l1：y=x−3上．

(Ⅰ)求圆C的方程；

(Ⅱ)若直线l2过点P(0,1)，且与圆C相切，求直线l216.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，短半轴长为1．

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)过左焦点F1作倾斜角为θ的直线l，交椭圆C17.(本小题15分)

如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=π2，AC=BC=CC1=2，E，F分别为BD1，AB的中点．

(Ⅰ)18.(本小题17分)

如图1，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，BD⊥BC，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，连接A′C，得到图2的三棱锥A′−BCD，且A′D⊥A′C．

(Ⅰ)求证：A′D⊥BC；

(Ⅱ)若A′B=A′D=2，在线段CD上是否存在点E，使直线A′D与平面A′BE所成角的正弦值为63？若存在，请说明点E19.(本小题17分)

已知点P(x,y)，O为坐标原点，r=|OP|，射线OP与x轴非负半轴的夹角为θ，将点P绕点O逆时针旋转角α得到点P′(x′,y′)．

(Ⅰ)若点P(1,3)，α=π3，求点P′的坐标；

(Ⅱ)证明：x′=xcosα−ysinαy′=xsinα+ycosα；

(Ⅲ)∀t∈R，点A(2cos(t+π3),2cost)总在曲线E上运动.若点M(u,v)在曲线E上，且u+v>0，u−v<0，直线y=x与曲线E在第三象限的交点为A，且线段MA交直线y=−x于点D；直线y=−x与曲线E在第四象限的交点为B，且线段MB交直线1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】ABC

11.【答案】ACD

12.【答案】1213.【答案】4或6

14.【答案】215.【答案】解：(Ⅰ)设圆C方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，

则(1−a)2+(1−b)2=r2(5−a)2+(−1−b)2=r2b=a−3⇒a=3b=0r=5，所以圆C的方程为(x−3)2+y2=5．

(Ⅱ16.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，椭圆焦距2c=2，故c=1，短半轴长b=1，

所以a2=b2+c2=12+12=2，

因此椭圆C的标准方程为x22+y2=1．

(Ⅱ)椭圆左焦点F1的坐标为(−1,0)，直线l的倾斜角θ∈[0,π)，

①当θ=π2时，直线l的方程为x=−1，代入椭圆方程得12+y2=1，解得y=±22，

此时|AB|=2≠423，不符合题意，舍去；

②当θ≠π2时，设直线l的斜率为k=tanθ，则直线方程为y=k(x+1)，

设A(x1,y1)，B(x17.【答案】解：(Ⅰ)证明：在△ABD1中，E，F分别是BD1，AB的中点，

由三角形中位线性质得EF/​/AD1，

因为AB/​/CD，CD//C1D1，AB=CD，CD=C1D1，

所以AB/​/C1D1，AB=C1D1，

所以四边形ABC1D1为平行四边形，故AD 1//BC1，

结合EF/​/AD1可得EF/​/BC1，又EF⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，

所以EF/​/平面BCC1B1；

(Ⅱ)因为∠ACB=π2，所以AC⊥BC，

因为CC1⊥底面ABCD，AC，BC⊂平面ABCD，所以CC1⊥AC，CC1⊥CB，

所以AC，CB，CC1两两垂直，

以C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，

根据AC=BC=CC1=2，结合平行四边形ABCD的性质，

可得C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(2,−2,0)，D1(2,−2,2)，F(1,1,0)，E(1,0,1)，

对平面EFC，取平面内两个不共线向量CF=(1,1,0)，CE=(1,0,1)，

设平面EFC18.【答案】解：(Ⅰ)证明：在翻折前的梯形中：由AB⊥AD，翻折后对应得A′D⊥A′B；

翻折后，A′D⊥A′C，且A′B∩A′C=A′，A′B，A′C⊂平面A′BC，

所以A′D⊥平面A′BC，

又BC⊂平面A′BC，因此A′D⊥BC；

(Ⅱ)存在，E为线段CD的中点，理由如下：

因为A′B=A′D=2，A′D⊥A′B，得BD=A′D2+A′B2=22．

由AB/​/CD，得∠ABD=∠BDC，又∠DAB=∠DBC=90°，故△ABD∽△BDC，

所以ABBD=BDCD，故CD=4，

由(Ⅰ)知A′D⊥BC，结合BD⊥BC，A′D∩BD=D，A′D，BD⊂平面A′BD，

则BC⊥平面A′BD，

以B为原点，以BD，BC为x，y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，A′(2,0,2)，D(22,0,0)，C(0,22,0)，

设E在CD上，令DE=λDC=(−22λ,22λ,0)，λ∈[0,1]，

则E(22−22λ,22λ,0)，

直线A′D的方向向量为A′D=(2,0,−219.【答案】解：(1)∵P(1,3)，∴r=|OP|=1+3=2，且tanθ=yx=3，

又∵点P在第一象限，∴θ=π3，点P′在2π3角的终边上．

∴x′=2cos(π3+π3)=−1y′=2sin(π3+π3)=3，

∴点P′(−1,3)．

(2)证明：∵P(x,y)，r=|OP|，∴x=rcosθ，y=rsinθ，

∴x′=rcos(θ+α)=rcosθcosα−rsinθsinα=xcosα−ysinα，

y′=rsin(θ+α)=rsinθcosα+rcosθsinα=ycosα+xsinα，

∴x′=xcosα−ysinαy′=xsinα+ycosα．

(3)设A0(x0,y0)，

∴x0=2cos(t+π3)=cost−3sinty0=2cost，

∴x0=y02−3sint，

∴sin