山西省太原市第四中学校2026-2027学年高二（上）素质测试数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年山西省太原市第四中学校高二（上）素质测试数学试卷（10月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.直线x-y+1=0的倾斜角为（）A. B. C. D.2.已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，连接AG，则+（+）=（）A. B. C. D.3.直线2x-y+2=0在x轴上的截距是（）A.-1 B.1 C.-2 D.24.已知=（2，-1，2），=（-1，3，-3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A.2 B.3 C.4 D.65.已知向量，，且与互相垂直，则的值是（

）A. B. C. D.6.已知直线l过原点且与直线7x+3y-1=0垂直，求直线l一个方向向量是（）A.（-7，3） B.（3，-7） C.（3，7） D.（7，3）7.设m∈R，则“m=2”是“直线l1：mx+2y-1=0与直线l2：3x+（m+1）y+1=0”平行的（）条件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要8.已知四面体ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，则异面直线AE，CF所成的夹角为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则满足条件的直线方程有（）A.y-x=1 B.y+x=3 C.y=2x D.y=-2x10.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E=D，AF=AC，则（）A.EF⊥AD

B.EF⊥A1D

C.EF与BD1异面

D.EF∥BD111.下列说法正确的有（）A.直线y=ax-2a+3（a∈R）过定点（2，3）

B.若两直线ax+2y=0与x+（a+1）y+4=0平行，则实数a的值为1或-2

C.若AB＞0，BC＞0，则直线Ax-By-C=0不经过第二象限

D.点A（2，-3），B（-3，-2），直线l：mx+y-m-1=0与线段AB相交，则实数m的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l的一个方向向量，且过点（-1，2），则直线l的点斜式方程为

.13.已知向量，​的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=

．14.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若DG⊥EF，则线段DF长度的取值范围为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知：=（x，4，1），=（-2，y，-1），=（3，-2，z），∥，⊥，求：

（1），，；

（2）+与+所成角的余弦值．16.(本小题15分)

已知点A（-2，2），直线l1：3x-4y+2=0.

（1）求过点A且与直线l1垂直的直线方程；

（2）求过点A且和直线l1平行的直线方程.17.(本小题15分)

已知直线l经过点P（-1，2）.

（1）若l在两坐标轴上截距和为零，求l的一般式方程；

（2）设l的斜率k＞0，l与两坐标轴的交点分别为A、B，当△AOB的面积最小时，求l的斜截式方程.18.(本小题17分)

如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD=AB=2，M，N分别为AB，PC的中点，求证：

（1）MN∥平面PAD；

（2）求PD与平面PMC所成角的正弦值．19.(本小题17分)

已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，，点D为AC的中点，点E在线段AA1上

（I）当AE：EA1=1：2时，求证：DE⊥BC1；

（Ⅱ）是否存在点E，使二面角D-BE-A等于60°，若存在求AE的长；若不存在，请说明理由．

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】AC

10.【答案】BD

11.【答案】ABC

12.【答案】y-2=

13.【答案】2

14.【答案】

15.【答案】解：（1），，解得，，故，4，，，，，又因为，所以，即，解得，故，，（2）由（1）可得，2，，，，，设向量与所成的角为，则

16.【答案】解：（1）由题意点A（-2，2），直线l1：3x-4y+2=0，

可设与直线l1垂直的直线方程为4x+3y+m=0，

因为过点A（-2，2），所以-8+6+m=0，解得m=2．

所以过点A且与直线l1垂直的直线方程为4x+3y+2=0；

（2）由题意点A（-2，2），直线l1：3x-4y+2=0，

可设与直线l1平行的直线方程为3x-4y+n=0，

因为过点A（-2，2），所以-6-8+n=0，解得n=14．

所以过点A且与直线l1平行的直线方程为：3x-4y+14=0．

17.【答案】解：（1）由直线l经过点P（-1，2）且在两坐标轴上截距和为零，

可知l的斜率存在且不为0，设斜率为k,

则l的方程为y-2=k（x+1），则它在两坐标轴上截距分别为和k+2，

所以，解得k=-2或k=1，

所以l的方程为y-2=-2（x+1）或y-2=x+1，即2x+y=0或x-y+3=0；

（2）设l的斜率k＞0，l与两坐标轴的交点分别为A、B，

则由（1）可知，点，B（0，k+2），

△AOB的面积，

当且仅当k=2时，等号成立，

所以l的斜截式方程为y=2x+4．

18.【答案】（1）证明：取PD中点Q，连接AQ，QN，则QN∥DC，，

又因为AM∥DC，，所以四边形AMNQ为平行四边形，

所以MN∥AQ，因为MN⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，

所以MN∥平面PAD；

（2）解：建立空间直角坐标系如图，因为PA=AD=AB=2，

所以P（0，0，2），D（0，2，0），M（1，0，0），C（2，2，0），，，．

设平面PMC法向量为：=（x，y，z），

则，，解得x=2z，y=-z，令z=1，

则=（2，-1，1）．

设PD与平面PMC所成角为θ，则sinθ=|cos===．

19.【答案】解：（Ⅰ）证明：如图，

连结DC1，因为ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，

又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥DE．

因为AE：EA1=1：2，AB=2，，所以，AD=1，

所以在Rt△ADE中，∠ADE=30°，在Rt△DCC1中，，

所以，即ED⊥DC1，

所以ED⊥平面BDC1，又BC1⊂面BDC1，所以ED⊥BC1．

（Ⅱ）解：存在点E，使二面角D-BE-A等于60°．

事实上，假设存在点E满足条件，设AE=h．

取A1C1的中点D1，连结DD1，则DD1⊥平面ABC，所以DD1⊥AD，DD1⊥BD，

分别以DA、DB、DD1所在直线为x，y