材料力学教程 课件 第07章 组合变形

第07章

组合变形中北大学航空宇航学院

第一节概述ChapteroneGeneralintroduction工程实例简易吊车的立柱绞车abcABPF1F2xzy（2）构件变形为小变形。

采用叠加原理解决组合变形问题的前提条件是（1）材料服从虎克定律，即力与内力、应力与位移是线性关系。Notes:Limitingcondition:Linearelasticityandsmalldeformation解决组合变形强度问题的步骤可以归纳为：（1）将外力分解或简化为几组静力等效的载荷，其中每一种载荷对应着一组基本变形

（2）分别画出每种基本变形的内力图，确定危险截面。

（3）用将每种基本变形在同一点引起的应力叠加，确定危险点的位置。

（4）分析危险点的应力状态。选择适宜的强度理论进行强度计算。

当危险点为单向应力状态时，可采用轴向拉压时的强度条件；当危险点为二向或三向应力状态时，则应采用适宜的强度理论进行强度计算。

受力分析与计算简图内力分析与内力图确定危险截面由应力分布确定危险点的应力状态，确定主应力根据危险点的应力状态选用合适的设计准则分别写出图示刚架各段的变形形式：图a:AC段______，BC段_______，CD段_______；图b:AB段______，BC段_______，CD段_______;UnsymmetricalBendingCombinedBendingandTensionor

CompressionCombinedBendingandTorsion

第二节skewbendingx1.外力简化

将集中力P沿y轴和z轴分解，得

斜弯曲可以看作是两个互相垂直平面内的平面弯曲的组合。对于距离固定端x处的m-n截面

2.内力分析在固定端D处，和皆为最大值，故此截面为危险截面。对于斜弯曲，一般弯曲剪应力很小，可忽略不计。

Dx3.应力分析在xy平面内的平面弯曲（由于的作用）产生的正应力为在xz平面内的平面弯曲（由于的作用）产生的正应力为

+=4.强度计算对于有棱角的矩形截面没有明显棱角的截面，切不可用上式进行强度计算。因为此时由和引起的最大正应力点的位置与引起的最大正应力点的位置不一定重合。

若材料的抗拉和抗压强度不等5中性轴位置的确定

设中性轴上任一点的坐标为和

=0中性轴是通过截面形心的一条斜直线

中性轴这条斜直线把横截面分成两个区域：一个区域是拉应力区，另一个区域是压应力区

（1）对于的截面，则

梁发生斜弯曲时，其中性轴与载荷P所在的纵向平面不垂直

（2）对于圆形、正方形和其它正多边形截面，由于

=，故可得

即此类梁不会产生斜弯曲。

6变形计算

在xy平面内自由端因所引起的挠度是在xz平面内自由端因所引起的挠度是yzP解：（1）外力分析将P沿y轴和z轴分解，得=7cos=6.58kN=7sin=2.39kNjsinPPz=将分别使梁在xy和xz平面内产生平面弯曲

和

显然，在梁中点C处，和同时取得最大值

（2）内力计算

例1图示结构的梁为16号工字钢，材料为A3

钢，

=160MPa，E=200GPa，载荷P与y轴的夹角，P=7kN，梁的跨度=4m。试校核梁的强度及计算梁中点的挠度。kNmxkN·mxP两边缘的交点和点分别产生最大拉应力和最大压应力（3）强度计算

==159.4MPa<[]若载荷不偏离y轴（），C截面弯矩最大kN·m=49.6MPa因此，若梁横截面的和相差较大时，应注意斜弯曲对梁强度的不利影响。（4）

挠度计算

在和作用下，C截面形心沿y方向和z方向的挠度分别为m=3.88mmm=17.1mm==17.5mm挠度与y轴的夹角为所以，对高的矩形、工字钢和槽钢等截面梁，在最大刚度平面内弯曲时，将能很好地工作。但在斜弯曲时，却很不利。所以在很难估计外力平面与主惯性平面能否准确地重合时，设计者应避免采用这类截面，或者采用附加结构措施（设置约束），以防止梁由于斜弯曲而发生大的侧向变形。水坝qPhg

第三节拉伸（压缩）与弯曲的组合CombinedBendingandTensionorCompression一、受力特点（Characterofexternalforce）

杆件将发生拉伸（压缩）与弯曲组合变形

作用在杆件上的外力既有轴向拉(压)力,还有横向力二、变形特点（Characterofdeformation）F

F1

产生弯曲变形F2

产生拉伸变形FyFxFy

产生弯曲变形Fx

产生拉伸变形F1F2F2

示例1

示例2三、内力分析（Analysisofinternalforce）xyOzMzFN

横截面上内力（internalforceoncrosssection）

2.弯曲

1.拉(压):轴力FN

（axialforce）弯矩

Mz

（bendingmoment）剪力Fs（shearforce）

因为引起的切应力较小,故一般不考虑.

FS

横截面上任意一点（z,y）处的正应力计算公式为四、应力分析（Analysisofstress）

1.拉伸正应力（Axialnormalstress）

2.弯曲正应力（Bendingnormalstress）xyOzMzFN(z,y)

轴力（axialforce）

所以跨中截面是杆的危险截面F1F2F2l/2l/23.危险截面的确定（Determinethedangercrosssection）

作内力图

弯矩（bendingmoment）xxFN图M图F2F1l/4

拉伸正应力

最大弯曲正应力

杆危险截面下边缘各点处上的拉应力为4.计算危险点的应力（Calculatingstressofthedangerpoint）F1F2F2l/2l/2

-

当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件.五、强度条件（Strengthcondition）

由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件为:1.外力分析2.内力分析

各横截面危险程度相当。3.应力分析轴力对应的正应力在横截面上均匀分布

而与弯矩对应的弯曲正应力在横截面上沿截面高度线性分布，其值为

4.强度分析例题1悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成.其抗弯刚度Wz

=237cm3,横截面面积A=35.5cm2,总荷载F=34kN,横梁材料的许用应力为[

]=125MPa.校核横梁AB的强度.FACD1.2m1.2mB30°BADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°解：（1）分析AB的受力情况AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形

中间截面为危险截面.最大压应力发生在该截面的上边缘（2）压缩正应力（3）最大弯曲正应力（4）危险点的应力FACD1.2m1.2m30°BBADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°例题2小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的许用拉应力[

t]=30MPa,许用压应力[

c]=160MPa.试按立柱的强度确定压力机的许可压力F.yzz0z15050150150350FF解：（1）确定形心位置A=1510-3m2z0=7.5cmIy

=5310cm4

计算截面对中性轴y

的惯性矩yzz0z15050150150350FFFnnFNMy（2）分析立柱横截面上的内力和应力

在n-n

截面上有轴力FN及弯矩Mynn350FFyzz0/p>

由轴力FN产生的拉伸正应力为FnnFNMynnyzz0z1350FF5050150150

由弯矩My产生的最大弯曲正应力为5050150150yzz0z1拉nn350FFFnnFNMy（3）叠加在截面内侧有最大拉应力[F]45.1kN5050150150yzz0z1拉压nn350FFFnnFNMy

在截面外侧有最大压应力[F]171.3kN[F]45.1kN所以取5050150150yzz0z1拉压nn350FFFnnFNMyPP解：内力分析如图坐标如图，挖孔处的形心PPMN2010020yzyC例4

图示钢板受力P=100kN，厚度10mm.试求最大正应力；若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少应力分析如图孔移至板中间时PPMN2010020yzyC例题5正方形截面立柱的中间处开一个槽,使截面面积为原来截面面积的一半.求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍.FFaaaa/v?vid=13505444836988746204&pd=bjh&fr=bjhauthor&type=video11FFa/2未开槽前立柱为轴向压缩解：Faa开槽后1-1是危险截面危险截面为偏心压缩将力F

向1-1形心简化未开槽前立柱的最大压应力开槽后立柱的最大压应力Solution:

(1)Determineinternalforce.Example6.

P=15kN,e=40cm,cast-iron,Determinethediameterdofthecolumn.PedPeNMO(2)DeterminethediameterdofthecolumnBecauseinthecolumn,wegetDeterminedaccordingtothestrengthconditionunderbending,wehavePeNMOSelectd=125mm,checkthestrengthbycombinedstresses:Finally,selectd=125mm.PeNMO

第四节扭转与其他变形的组合电机传动轴1、外力分析2、内力分析危险截面在A端3、应力分析横截面上应力分布

讨论题

圆杆BO，左端固定，右端与刚性杆AB固结在一起。刚性杆的A端作用有平行于y坐标轴的力FP。若已知FP＝5kN，a＝300mm，b=500mm，

材料为Q235钢，许用应力

＝140MPa。

试求：分别用第三强度理论和第四强度理论设计圆杆BO的直径d。

解：1．将外力向轴线简化

FPFPFPFPMe

将外力FP向BD杆的B端简化，得到一个向上的力和一个绕x轴转动的力偶:FP＝5kN，Me＝FP×a＝1500N·m解：2．确定危险截面以及其上的内力分量

因此固定端处的横截面为危险面。危险面上的扭矩和弯矩的数值分别为

弯矩Mz＝FP×b＝5kN×103×500mm×10－3

＝2500N·m，扭矩T＝Me＝FP×a＝5kN×103×300mm×10－3＝1500N·m解：3．应用强度理论设计BO杆的直径

应用第三强度理论，则有应用第四强度理论，则有

拉（压）、弯扭组合变形的圆杆内危险点的应力为则按第三强度理论建立强度条件为（）。

（B）（C）

（D）（A）思考题例题7空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构,受力如图.AB杆的外径D=140mm,内外径之比α=d/D=0.8,材料的许用应力[

]=

160MPa.试用第三强度理论校核AB杆的强度ABCD1.4m0.6m15kN10kN0.8mABFＭe解:（1）外力分析将力向AB杆的B截面形心简化得

AB杆为扭转和平面弯曲的组合变形ABFMe+15kN·m（2）内力分析－画扭矩图和弯矩图固定端截面为危险截面-20kN·m例题8传动轴如图所示.在A处作用一个外力偶矩Me=1kN·m,皮带轮直径D=300mm,皮带轮紧边拉力为F1,松边拉力为F2.且F1=2F2,l=200mm,轴的许用应力[

]=160MPa.试用第三强度理论设计轴的直径zF1F2xyABl/2l/2MeMeMeCF=3F2解:将力向轴的形心简化

轴产生扭转和垂直纵向对称面内的平面弯曲+T=1kN·m+中间截面为危险截面1kN·mMeMeCF=3F2例题9图示一钢制实心圆轴,轴上的齿轮C上作用有铅垂切向力5kN,径向力1.82kN;齿轮D上作用有水平切向力10kN,径向力3.64

kN.齿轮

C

的节圆直径d1=400mm,齿轮D

的节圆直径d2=200mm.设许用应力

=100MPa,试按第四强度理论求轴的直径.BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kN解:（1）外力的简化将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kNxyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.64kN10kN1kN·m1kN·m使轴产生扭转5kN,3.64kN

使轴在xz

纵对称面内产生弯曲

1.82kN,10kN使轴在xy纵对称面内产生弯曲

（2）轴的变形分析T=1kN·m圆杆发生的是两个平面内的弯曲与扭转的组合变形由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面,故轴在xz和xy两平面内弯曲的合成结果仍为平面弯曲,从而可用总弯矩来计算该截面正应力1CT图-My图0.57CB0.36Mz图0.2271CBxyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.64kN10kN1kN·m（3）绘制轴的内力图B

截面是危险截面（4）危险截面上的内力计算1kN·mCT图-My图0.57kN