八年级数学上册 第三章 勾股定理 单元测试题 苏科版

八年级数学上册第三章勾股定理单元测试题苏科版一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（）A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝622．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m3．如图，面积为1的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，则数轴上点E所表示的数为（）A． B． C． D．4．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（）A． B． C． D．5．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、136．如图，三个正方形围成一个直角三角形，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．514 B．8 C．16 D．647．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：，b＝mn，n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，258．勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．9．杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐AB＝AC＝5米，横梁BC＝8米，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头需要长度可能是（）A．2.5米 B．6米 C．4米 D．8米10．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20cm，此时底部边缘A处与E处间的距离AE为15cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm，则底部边缘A处与C之间的距离AC为（）A．13cm B．15cm C．20cm D．24cm二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2﹣S3＝12，则图中阴影部分的面积为_____．12．如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，H是DE的中点．若AD的长为5，则阴影部分的面积为_______．13．如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则∠ABC＝________．14．如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为_______m2．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M，N分别是AB，DE的中点，则MN的最小值为_____．16．已知三角形的三边分别为6，8，10，则最长边上的高等于________．17．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第4个勾股数组为______________．18．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了_____米．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）某段公路限速是27m/s．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达B处，测得AB＝500m，若AC⊥BC．求出速度并判断可疑汽车是否超速？20．（8分）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架AC＝80cm，CB＝60cm，两轮中心的距离AB＝100cm．（1）判断支架AC，BC是否垂直；（2）求点C到AB的距离．21．（8分）在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．（1）求证：△ACD为直角三角形；（2）求四边形ABCD的面积．22．（10分）如图所示，一架25米长的云梯AC斜靠一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C离墙7米．（1）这个梯子的顶端A距离地面多远？（2）如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？23．（10分）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是4，求（a+b）2的值．24．（10分）为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点A处，另一端固定在地面上的点B处，电线杆AC垂直于地面BC．已知AC＝8m，BC＝6m（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）．（1）求钢丝绳AB的长度．（2）为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点B调整为点D（点D在CB的延长线上），点A的位置不变．若B，D两点的距离为9m，求钢丝绳增加的长度．25．（12分）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km．（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？（2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？

参考答案一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．解：由图可得，x2+62＝（10﹣x）2，故选：C．2．解：由勾股定理得，AB＝＝10（m），∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故选：D．3．解：∵面积为1的正方形ABCD的顶点A在数轴上，∴AD＝DC＝1，在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝，∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，（点E在点A的左侧），∴，∵点A表示的数是1，∴点E所表示的数为．故选：D．4．解：∵72＝49，152＝225，202＝400，242＝576，252＝625，∴72+242＝252，152+202＝252，∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，故选：B．5．解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故正确；B、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故错误；C、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故错误；D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故错误．故选：A．6．解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．7．解：∵，∴．∵，∴a2+b2＝c2．∴a，b是直角三角形的直角边，∵m，n是互质的奇数，∴A．3＝1×3，∴当m＝3，n＝1时，，b＝mn＝3，，∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；B．5＝1×5，∴当m＝5，n＝1时，，b＝mn＝5，，∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；C．6＝2×3，8＝2×4，∵m，n是互质的奇数，∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；D．7＝1×7，∴当m＝7，n＝1时，，b＝mn＝7，，∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．故选：C．8．解：A、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，∴（a2+b2）+ab＝ab+c2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；C、大正方形的面积为：（a+b）2，也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴C选项不能证明勾股定理；D、大正方形的面积为：c2，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；故选：C．9．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝5米，BC＝8米，∴BE＝CE＝BC＝×8＝4（米），在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝＝3（米），由题意可知，AE≤AD＜AC，即3米≤AD＜5米，故这根木头需要长度可能是4米，故选：C．10．解：由题意可知，AB＝AD，DE＝20cm，AE＝15cm，BC＝7cm，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD＝＝＝25（cm），∴AB＝AD＝25cm，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝24（cm），故选：D．二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，即S1+S3＝S2，∵S1+S2﹣S3＝12，∴S1+S1+S3﹣S3＝12，即2S1＝12，解得：S1＝6，．则阴影部分的面积为3．故答案为：3．12．解：由“赵爽弦图”可知AE＝DH，设EH＝x，则DH＝AE＝x，∵AD的长为5，AE2+ED2＝AD2，∴x2+（2x）2＝52，∴，∴阴影部分的面积：，故答案为：15．13．解：∵正方形的边长为1，∴AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝，∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，故答案为：45°．14．解：如图，连接AC．在△ACD中，∵AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，∴AC＝15m，又∵AC2+BC2＝152+202＝252＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×15×20﹣×9×12＝96（平方米）．故答案为：96．15．解：如图，连接CM，CN．∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴＝10．∵DE＝6，点M，N分别是AB，DE的中点，∴，CM＝＝5，当C，M，N在同一条直线上时，MN取得最小值，为CM﹣CN＝5﹣3＝2，∴MN的最小值为2．故答案为：2．16．解：设三角形的最长边上的高的长度是h，∵三角形的三边分别为6，8，10，∴62+82＝102，∴三角形是直角三角形（斜边长是10），∵三角形的面积S＝＝，解得：h＝4.8，故答案为：4.8．17．解：根据图中给出的数据可得：由4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…第四个为4×（9+1）＝40，∴第4组中间的数为4×（9+1）＝40．故答案为：（9，40，41）．18．解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9．三．解答题（共7小题，满分66分）19．解：可疑汽车超速；理由如下：∵AC⊥BC，AB＝500m，AC＝400m，∴根据勾股定理可得：，∴该汽车的速度为，∵27m/s＜30m/s，∴可疑汽车超速了．20．解：（1）∵AC＝80cm，CB＝60cm，AB＝100cm，∴AC2+BC2＝802+602＝10000，AB2＝10000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°），∴AC⊥BC；（2）连接AB，过C作CD⊥AB于点D，∵△ABC的面积＝，∴80×60＝100×CD，解得：CD＝48cm，即点C到AB的距离为48cm．21．（1）证明：∵AB＝4，BC＝3，∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，∵CD＝12，AD＝13，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形；（2）解：由图可得，S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝+＝+＝6+30＝36．22．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，即AB2+72＝252