湘教版八年级上册数学5.4 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理 教学课件（25秋新教材）

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学

课

件湘教版八年级上册数学（25秋新教材）5.4角平分线的性质

第5章直角三角形第2课时角平分线的性质定理的逆定理1.理解角平分线性质定理的逆定理.(难点）2.掌握角平分线性质定理的逆定理的证明方法并应用其解题.（重点）3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.学习目标P到

OA的距离P到

OB的距离角平分线上的任意一点角的平分线上的点到角的两边的距离相等.1.叙述角平分线的性质定理.2.利用下图来解释说明一下角平分线的性质定理.可得

PD=PEAOBPDEC3.角平分线的性质定理：逆命题：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.那么这个命题的逆命题是什么，它是真命题吗？角平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质定理的逆定理探究：刚才我们通过角平分线的性质定理得到了它的逆命题：这个新命题是真命题吗？如何判断这个命题的真假？到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.1

已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是

D、E，PD=PE.求证：点

P在∠AOB的平分线上.证明：作射线

OP，∴点

P在∠AOB

的平分线上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，OP=OP(公共边)，PD=PE(已知)，BADOPE∵PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).∴∠AOP=∠BOP(全等三角形的对应角相等).角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：定理的作用：判断点是否在角平分线上.要点归纳（1）位置关系：点在角的内部（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.AOBPDEC应用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴点

P在

∠AOB的平分线上.典例精析例1

如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证：(1)点

B

在

∠ADC

的平分线上;

(2)

BD

平分∠ABC.证明(1)在

△ABC

中，因为∠1=∠

2，所以

BA

=

BC.又

BA⊥AD，BC⊥CD,所以点

B

在∠ADC的平分线上，(2)在

Rt∠BAD

和

Rt∠BCD

中，所以

Rt△BAD

≌Rt∠BCD（斜边、直角边)因此∠ABD＝∠CBD,从而

BD

平分∠ABC.BA=BC，BD

=

BD.如图，在△ABC中，D，E，F

分别是

BC，AB，AC

边上的点，若

BE

=

CF，S△BDE=S△CDF，则点

D

在∠BAC的平分线上吗?说一说

由于S△BDE=S△CDF，BE

=

CF，所以点

D

到

BE，CF

的距离相等，因而点

D

在

∠BAC

的平分线上.如图，已知

EF⊥CD

于点

E

，EF⊥AB

于点

F

，MN

⊥AC

于点

N

，M

是

EF

的中点.需要添加一个什么条件，就可使

CM

，AM

分别为∠ACD

和

∠CAB

的平分线呢?思考添加条件

MN

＝

ME

即可.因为

ME⊥CD，MN⊥AC，MN

=

ME，所以点

M

在∠ACD

的平分线上，即

CM

是∠ACD

的平分线.又

M

是

EF

的中点，则

MF

=

ME

=

MN.同理可证

AM

是∠CAB

的平分线.反思

添加条件

MN＝MF

可以吗?三角形的内角平分线2操作

任意作一个△ABC，在△ABC

内部找一点

P

，使其到三边的距离相等.ABC思考如何才能在△内部作出到三角形三边的距离都相等的点呢？

可以先作出到两条边距离相等的点，再证明这个点到第三条边的距离相等.ABC作图①

在△ABC

中分别作∠BAC与∠ABC

的平分线，它们交于点

P.②

过点

P

作

PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为点

D，E，F.③

因为

AP

是∠BAC

的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，所以

PD

=

PE.因为

BP

是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF

⊥BC，所以

PD

=

PF.

故

PD

=

PE

=

PF.DEFP想一想：点

P

在∠C

的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点

P在∠A的平分线上.

结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

变式：如图，在直角

△ABC

中，AC

＝

BC，∠C

＝90°，AP

平分∠BAC，BD

平分∠ABC；AP，BD

交于点

O，过点

O

作

OM⊥AC，若

OM

＝

4，MENABCPOD温馨提示：不存在垂线段———构造应用12(1)

求点

O

到

△ABC

三边的距离和.解：连接

OC，(2)若

△ABC

的周长为

32，求

△ABC

的面积.MENABCPOD例2

如图，在∠ABC

的外角∠CAD

的平分线上任取一点

P，作

PE⊥DB，PF

上

AC，垂足分别为点

E，F

.试探索

BE+PF

与

PB

的大小关系.解：因为

AP

是∠CAD

的平分线，又

PE⊥DB，PF⊥AC,所以

PE

=

PF

.在

△EBP中,

BE+PE>

PB，因此

BE+PF

>PB.典例精析2.联系角平分线性质：距离面积周长1.应用角平分线的判定与性质：判定角平分线距离问题条件要点归纳图形已知条件结论PCPCOP

平分∠AOBPD⊥OA

于DPE⊥OB

于

EPD=PEOP平分

∠AOBPD=PEPD⊥OA于

DPE⊥OB

于

E角的平分线的判定角的平分线的性质1.如图，某个居民小区

C

附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在

MN

上建造一个大型超市，使得它到

OA，OB

的距离相等，请确定该超市的位置

P.小区CPAOBMN2.如图所示，已知

△ABC

中，PE∥AB交

BC于点

E，PF∥AC

交

BC

于点

F，点

P

是

AD

上一点，且点

D到

PE

的距离与到

PF

的距离相等，判断

AD

是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵

D到

PE的距离与到

PF

的距离相等，∴点

D

在∠EPF

的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．ABCEFD((((3412P

3.已知：如图，OD

平分∠POQ，在

OP，OQ

边上取OA＝OB，点

C

在

OD

上，CM⊥AD

于

M，CN⊥BD于

N.

求证：CM

＝

CN.证明：∵OD

平分∠POQ，∴∠AOD

=

∠BOD.在△AOD

与△BOD

中，∵OA

=

OB，∠AOD

=∠BOD，OD

=

OD，∴△AOD≌△BOD(SAS).∴∠ADO

=∠BDO.∵CM⊥AD，CN⊥BD，∴CM

=

CN.4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点

F，求证：点

F在∠DAE的平分线上．

证明：过点

F作

FG⊥AE于

G，FH⊥AD于

H，FM⊥BC于

M.∵

点

F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC，∴

FG＝

FM.又∵点

F在∠CBD的平分线上，

FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝

FH，∴FG＝

FH.∴点

F在∠DAE的平分线上.

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