119 数式与图形规律探究（八）　日历与数阵中的规律

C03-08·日历与数阵中的规律｜PAGE1专项练习C03-08·数式与图形规律探究（八）日历与数阵中的规律苏科版（2024）数学七年级上册第3章代数式·规律探究专项训练（日历与数阵）姓名：____________班级：____________日期：____________得分：__________答题说明本卷共10题，全部为解答题，满分100分，建议用时90分钟。难度按「中档3题+较难4题+压轴3题」编排，各题分值已标于题号后。本卷以日历与数阵为载体：日历中同一横排相邻两数相差1，同一竖列相邻两数相差7；数阵中第m行第n列的数按每行7个数递增排布。解答须写出设元、列式、解方程与框位检验的过程，只写答案不给分。压轴三题要求判断框位是否成立并求出全部可能情形。各题所配示意图均按2026年真实月历或题干数据绘制，图中字母只表示所设未知数，不是答案。1．（8分·中档）图1是2026年5月的月历。用一个2×2的方框框住相邻两行两列共四个日期（如图中红框），把方框左上角的日期记作x。图12026年5月月历（红框为2×2方框示例，左上角的数记作x）（1）用含x的式子表示方框中另外三个日期，并求当x=8时方框中四个日期之和。（3分）（2）设方框内四个日期之和为S，写出S与x之间的数量关系，并说明S一定是4的倍数。（3分）（3）若方框内四个日期之和为60，求这四个日期。（2分）2．（8分·中档）图2是2026年10月的月历。用一个十字形框框住五个日期（一个方格连同它上下左右紧邻的四个方格，共五格），把正中间的数记作c。图22026年10月月历（红框为十字形五格示例，最中间的数记作c）（1）用含c的式子表示框内另外四个日期，并求这五个日期之和。（3分）（2）若框内五个日期之和为85，求c以及框内五个日期。（3分）（3）框内五个日期之和能否为96？请说明理由。（2分）3．（8分·中档）图3是2026年12月的月历。用一个3×3的方框框住相邻三行三列共九个日期，把正中间的数记作m。图中红框框出的九个日期即为例示。图32026年12月月历（红框为3×3方框示例，最中间的数记作m）（1）用含m的式子表示框内九个日期，并求出九数之和与m的数量关系；再验证图中框出的九数之和是否满足该关系。（3分）（2）若框内九数之和为153，求m以及这九个日期。（3分）（3）框内九数之和能否为100？请说明理由。（2分）4．（10分·较难）图4是2026年4月的月历。用一个2×2的方框框住相邻两行两列共四个日期，把方框左上角的日期记作a。图42026年4月月历（红框为2×2方框示例，左上角的数记作a）（1）分别用含a的式子表示两条对角线上的两数之和，并判断这两个和的大小关系；再说明四个日期之和等于其中一条对角线上两数之和的几倍。（3分）（2）若方框内四个日期之和为96，求这四个日期，并写出检验框位的过程。（3分）（3）若方框内四个日期之和恰好等于方框中最大日期的3倍，求这四个日期。（4分）5．（10分·较难）图5是2026年11月的月历。在同一竖列中取连续三个日期（如图中绿框），把最上面的日期记作a。图52026年11月月历（绿框为同一列连续三数示例，最上面的数记作a）（1）用含a的式子表示下面两个日期；说明为什么竖列相邻两数相差7而横排相邻两数相差1；再求图中绿框内三数之和与a的关系。（3分）（2）若这三个日期之和为60，求这三个日期，并写出框位检验过程。（3分）（3）这三个日期之和能否为78？请说明理由。（4分）6．（10分·较难）图6是一个数阵：把正整数1、2、3、…依次排成若干行，每行7个数，第m行第n列的数记作a(m,n)。图6七列数阵（第m行第n列的数记为7(m−1)+n，相邻两行同列相差7）（1）用含m、n的式子表示a(m,n)；并求第10行第4列的数。（3分）（2）数100排在第几行第几列？请写出计算过程。（3分）（3）用2×2的方框框住数阵中相邻两行两列共四个数，若四数之和为124，求这四个数，并说明框位是否成立。（4分）7．（10分·较难）图7是2026年3月的月历。用一个2行3列的矩形框框住相邻两行三列共六个日期，把左上角的日期记作a。图72026年3月月历（红框为2行3列矩形框示例，左上角的数记作a）（1）用含a的式子表示框内另外五个日期，并求出六数之和与a的数量关系；再验证图中框出的六数之和是否满足该关系。（3分）（2）若框内六数之和为129，求这六个日期，并写出框位检验过程。（3分）（3）框内六数之和能否为117？请说明理由。（4分）8．（12分·压轴）图8是2026年11月的月历。用一个十字形框框住五个日期（一个方格连同它上下左右紧邻的四个方格），把正中间的数记作c。要求框的五个格子全部落在本月月历的日期格内。图82026年11月月历（红框为十字形五格示例，正中间的数记作c）（1）用含c的式子表示框内五个日期之和；并说明中心数c必须满足哪些条件，十字框才能完整放下。（3分）（2）若框内五个日期之和为80，判断这样的十字框是否存在，并说明理由。（4分）（3）若框内五个日期之和不超过100，求出所有可能的日期组合，并写出每种组合的五个日期。（5分）9．（12分·压轴）图9是2026年9月的月历。用3×3的方框框住相邻三行三列共九个日期，把正中间的数记作m。要求九格全部落在本月月历的日期格内。图92026年9月月历（红框为3×3方框示例，正中间的数记作m）（1）用含m的式子表示框内九个日期之和；并求图中红框九个日期之和，验证它符合该关系。（3分）（2）若框内九个日期之和为144，求这九个日期，并写出框位检验过程。（4分）（3）若框内九个日期之和分别为108、117、126、180，判断其中哪些能够成立；对能够成立的，求出这九个日期，对不能成立的，说明理由。（5分）10．（12分·压轴）图10是一个数阵：把正整数1、2、3、…依次排成若干行，每行7个数，第m行第n列的数记作a(m,n)。用2×2的方框框住数阵中相邻两行两列共四个数，把左上角的数记作a。数阵向下无限延伸。图10七列数阵（红框为2×2方框示例，框内四数左上角的数记作a）（1）用含m、n的式子表示a(m,n)；并求数2026排在第几行第几列。（3分）（2）若方框内四个数之和为2036，求这四个数，并写出框位检验过程。（4分）（3）若方框内四个数之和分别为2032与2024，判断其中哪个能够成立，对能够成立的求出这四个数，对不能成立的说明理由。（5分）—题目到此结束·参考答案与速解技巧见下页—

参考答案与速解技巧C03-08·日历与数阵中的规律｜苏科版（2024）七年级上册·第3章代数式第1题（8分·中档）【标准解答】（1）方框右上角为x+1，左下角为x+7，右下角为x+8。当x=8时四个日期为8、9、15、16，和为8+9+15+16=48。（2）S=x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=4x+16=4(x+4)。因为x是整数，所以x+4也是整数，故S一定是4的倍数。（3）由4x+16=60得4x=44，x=11。检验：11在2026年5月第3行第1列，右侧有12、下方有18、右下有19，框位成立。所以这四个日期是11、12、18、19。【速解技巧】①2×2框的四个日期总能写成a、a+1、a+7、a+8，和恒为4(a+4)，先记式子再代数。②「和是4的倍数」只是必要条件，求出a后必须回到月历查框位：a不能落在周日列（无右邻），且a+8不超过当月天数。③由和反求日期，固定动作是「先减16、再除以4」，一步到位。第2题（8分·中档）【标准解答】（1）十字框上方为c−7，下方为c+7，左方为c−1，右方为c+1。五数之和=(c−7)+(c−1)+c+(c+1)+(c+7)=5c。（2）由5c=85得c=17。五数为17−7=10、17−1=16、17、17+1=18、17+7=24。检验：17在2026年10月第3行第6列，同排左右与上下均有日期，框位成立。所以五个日期是10、16、17、18、24。（3）若5c=96，则c=19.2。日期必须是正整数，c取不到整数值，所以和不能为96。（另外，即使c为整数，还须检验c不在周一、周日所在的边列，才可能完整放置。）【速解技巧】①十字五数和恒为中心数的5倍，「和÷5」一步得到中心，是这个题型最快的入口。②反向验证必须查两件事：中心是否在周一或周日所在列（那两列缺同排的左右邻），以及c−7≥1、c+7不超过当月天数。③商不是整数即可直接判否，不必逐个日期试算。第3题（8分·中档）【标准解答】（1）以中心m为准，九个日期依次为m−8、m−7、m−6、m−1、m、m+1、m+6、m+7、m+8。九数之和=9m+(−8−7−6−1+0+1+6+7+8)=9m+0=9m，即和恒为中心数的9倍。图中框出的九数为1、2、3、8、9、10、15、16、17，中心是9，和为81，而9×9=81，符合该关系。（2）由9m=153得m=17。九个日期为17−8=9、10、11、16、17、18、23、24、25。检验：9在2026年12月第2行第3列，向右两列、向下两行都不越界，框位成立。（3）由9m=100得m=100÷9，商不是整数。日期必须是正整数，m取不到整数值，所以和不能为100。【速解技巧】①3×3框九数和恒为中心数的9倍，是三个框型里倍数最大、也最容易算错的一个：先写9m再代入。②由和求中心只剩一次除法，得出m后向两侧推日期：m−8就是左上角。③得到中心后必做两步检验：中心列不是周一、周日的边列；中心上下各有一整行日期。第4题（10分·较难）【标准解答】（1）四个日期依次为a、a+1、a+7、a+8，两条对角线分别是a与a+8、a+1与a+7。左上+右下=a+(a+8)=2a+8；右上+左下=(a+1)+(a+7)=2a+8。两条对角线上的两数之和相等，都等于2a+8。四数之和S=4a+16=2(2a+8)，所以四个日期之和是任一条对角线两数之和的2倍。（2）由4a+16=96得4a=80，a=20。四个日期为20、21、27、28。检验：20在2026年4月第4行第1列，右侧有21，下方有27，右下有28，四格齐全且和20+21+27+28=96，框位成立。（3）方框中最大的日期是a+8，依题意4a+16=3(a+8)。去括号得4a+16=3a+24，解得a=8。四个日期为8、9、15、16，和为48，最大日期16的3倍也是48，符合题意。检验：8在2026年4月第2行第3列，右侧有9，下方有15，右下有16，框位成立。【速解技巧】①2×2框的两个对角和都等于2a+8，是同一式子的两种写法；抓住这一点，很多「和相等」「和成倍数」的题不必逐个代入。②求出的a必须同时满足三条：a不在周日列（需右邻）、a+8不超当月天数、a+7与a在同一行下方。三条缺一，答案作废。③出现「和等于最大数的k倍」这类条件，先把两边都写成含a的式子再解方程，比先猜日期快得多。第5题（10分·较难）【标准解答】（1）下面两个日期依次为a+7、a+14。日历每行排7个日期，同一横排从左到右依次加1，所以横排相邻两数差1；同一竖列上下相邻的两个日期正好相隔一整行，即7天，所以竖列相邻两数差7。绿框内三数为10、17、24，和为51；用式子算：a+(a+7)+(a+14)=3a+21=3(a+7)，当a=10时为3×17=51，与直接相加一致。即三数之和恒等于中间那个日期的3倍。（2）由3a+21=60得3a=39，a=13。三个日期为13、20、27。检验：13在2026年11月第3行第5列，同列下方依次为20、27，都在本月内（11月共30天），框位成立。（3）若3a+21=78，则3a=57，a=19。此时第三个日期是a+14=19+14=33，而2026年11月只有30天，33已经跨入12月，不可能出现在11月的月历中。所以这三个日期之和不能为78。【速解技巧】①竖列三数和恒为中间数的3倍，与2×2框的「4倍加16」、3×3框的「9倍」并列记忆，先记住倍数再算偏移。②竖列题的最大陷阱是月末：a+14一旦超过当月天数就无解，得到a后必须立刻核对当月天数。③横排差1、竖列差7这两句话是全部日历规律题的根，凡遇跨行、跨列一律回到这两句拆解。第6题（10分·较难）【标准解答】（1）第m行之前的m−1行共排了7(m−1)个数，本行再数到第n个，所以a(m,n)=7(m−1)+n。第10行第4列为7×(10−1)+4=63+4=67。（2）设100在第m行第n列，则7(m−1)+n=100，其中1≤n≤7。由100=7×14+2知m−1=14，n=2，即m=15、n=2。回代检验：7×14+2=100，且n=2在1至7之间，成立。所以100在第15行第2列。（3）设方框左上角的数为a，则四数为a、a+1、a+7、a+8，和为4a+16。由4a+16=124得4a=108，a=27。四个数为27、28、34、35，和27+28+34+35=124，符合。框位检验：a=27满足(27−1)÷7=3余5，即在第4行第6列；右邻第7列存在，下一行第6、7列分别为34、35，四格齐全，框位成立。【速解技巧】①每行k个数的数阵，第m行第n列恒为k(m−1)+n；本题k=7，正好与日历同构，日历就是它的特例。②反求行列用带余除法：商加1是行号，余数是列号（余数为0时，行号为商、列号为k），这是最容易错的一步。③框位是否成立只看一条：左上角的数所在列是否还有右邻（列号≤k−1）。数阵无月末问题，比日历简单。第7题（10分·较难）【标准解答】（1）第一行为a、a+1、a+2，第二行为a+7、a+8、a+9。六数之和=6a+(0+1+2+7+8+9)=6a+27。图中框出的六数为4、5、6、11、12、13，a=4，6×4+27=51；直接相加4+5+6+11+12+13=51，两者一致，符合该关系。（2）由6a+27=129得6a=102，a=17。六个日期为17、18、19、24、25、26。检验：17在2026年3月第4行第2列，向右两列有18、19，下一行的24、25、26也齐全，框位成立。（3）若6a+27=117，则6a=90，a=15。查月历，15在2026年3月第3行第7列，也就是周日那一列，它的右侧没有日期，无法向右再框两列，所以框位不成立。因此框内六数之和不能为117。（注意：和117本身满足6a+27的形式，卡住的是框位而不是整除。）【速解技巧】①2行3列六数框的和是6a+27，偏移量27由「同行加1、2，下行再加7、8、9」累加而得，可现场推一遍防记错。②判断题要分两层：先看和能否写成6a+27（整除且商为正），再看a能否真正放下框。两层都过才算存在。③需向右占三列的框，左上角必须在第1至第5列；周日列（第7列）起框必然越界。第8题（12分·压轴）【标准解答】（1）五数为c−7、c−1、c、c+1、c+7，和为5c。中心数c必须同时满足三个条件：①c所在列有左右邻，即c不在周一列、也不在周日列；②c−7≥1，即上一行有日期；③c+7≤30，即下一行有日期（2026年11月共30天）。（2）由5c=80得c=16。查图8，16在2026年11月第4行第1列，即周一那一列，它的左侧没有日期，十字框的左格无处安放，条件①不成立。所以和为80的十字框不存在。（3）和不超过100且必为5的倍数，故5c≤100，即c≤20；又c−7≥1，即c≥8。所以c只能在8至20之间取值。2026年11月的周一列日期为2、9、16、23、30，周日列日期为1、8、15、22、29，这两列缺左右邻，故c不能取8、9、15、16。剔除后c可取10、11、12、13、14、17、18、19、20，共9个值。所有可能的日期组合共9种：c=10：3、9、10、11、17；c=11：4、10、11、12、18；c=12：5、11、12、13、19；c=13：6、12、13、14、20；c=14：7、13、14、15、21；c=17：10、16、17、18、24；c=18：11、17、18、19、25；c=19：12、18、19、20、26；c=20：13、19、20、21、27。各组合之和依次为50、55、60、65、70、85、90、95、100，均不超过100。【速解技巧】①十字五数和恒为5c，所以「和必须是5的倍数」是第一道闸门；和除以5得中心，一步到位。②第二道闸门是框位：先剔除周一列与周日列（缺左右邻），再剔除首行上方与末行下方越界者。两闸都过才存在。③「求所有可能」先划定范围再剔除：由和的上界定出c的上界，由c−7≥1定出下界，区间内按两条列规则筛，比逐个试算快且不漏。④写出组合时按c从小到大排列，最后用「和=5c」逐条自查，可避免抄错日期。第9题（12分·压轴）【标准解答】（1）九数为m−8、m−7、m−6、m−1、m、m+1、m+6、m+7、m+8，和为9m。图中红框九数为7、8、9、14、15、16、21、22、23，中心m=15，和为135；而9×15=135，完全符合和等于中心数9倍这一关系。（2）由9m=144得m=16。九数为16−8=8、9、10、15、16、17、22、23、24。检验：8在2026年9月第2行第2列，向右两列有9、10，向下两行的15、16、17与22、23、24也都齐全，且和8+9+10+15+16+17+22+23+24=144，框位成立。（3）先看整除，再看框位。和为108时m=12，左上角为12−8=4。4在2026年9月第1行第5列，向右两列正好收在第7列，向下两行的11、12、13与18、19、20齐全，框位成立。九数为4、5、6、11、12、13、18、19、20，和108，成立。和为117时m=13，左上角为5。5在第1行第6列，向右再取两列需要第8列，已越出本行，框位不成立。和为126时m=14，左上角为6。6在第1行第7列（周日列），右侧没有日期，框位不成立。和为180时m=20，左上角为12。12在第2行第6列，向右再取两列同样越界，框位不成立。所以四个值中只有108能够成立，对应九个日期为4、5、6、11、12、13、18、19、20。【速解技巧】①3×3框九数和恒为9m，「和÷9=中心」；中心一定，左上角随之定为m−8，全部日期一次写出。②判断存在的顺序固定为「先整除、后框位」：整除不过直接判否，整除过了才查列与行，避免白算一遍日期。③框位只查左上角一格即可：它必须在第1至第5列（向右还有两列），且它向下还有两整行。④四个候选值并排比较时，先把左上角都算出来，一眼就能看出哪一个落在第6、7列而不成立。第10题（12分·压轴）【标准解答】（1）第m行之前共排了7(m−1)个数，故a(m,n)=7(m−1)+n。由2026=7×289+3，即7×(290−1)+3，得m=290、n=3。所以2026排在第290行第3列。（回代7×289+3=2023+3=2026，成立。）（2）四数为a、a+1、a+7、a+8，和为4a+16。由4a+16=2036得4a=2020，a=505。四数为505、506、512、513，和505+506+512+513=2036，符合。框位检验：a=505满足(505−1)÷7=72余0，即第73行第1列；右邻第2列存在，下一行第1、2列为512、513，四格齐全，框位成立。（3）两数之和都满足4a+16的形式，故先分别求出左上角，再查框位。和为2032时a=(2032−16)÷4=504。由504−1=503=7×71+6知504在第72行第7列，即每行最后一列，右侧没有数，无法向右框第二列，框位不成立，故2032不能成立。和为2024时a=(2024−16)÷4=502。由(502−1)÷7=71余4知502在第72行第5列，右侧有第6列，下一行第5、6列为509、510，四格齐全。四数为502、503、509、510，和502+503+509+510=2024，框位成立。所以两值中只有2024能够成立，对应四数为502、503、509、510。【速解技巧】①每行7个数的数阵，第m行第n列恒为7(m−1)+n；它能整除7加余数的结构，与日历完全同理。②反求行列用带余除法：商0余0时行号为商加1、列号为7（余数0要记成第7列，不能记成第0列），这是最高频