1-5 经济学中常用的函数

第五节经济学中常用的函数一、需求函数

如果价格是决定需求量的最主要因素，可以认为商品的需求量Q是商品的价格P的函数.记作则Q称为需求函数.一般来说,需求量会随价格的上涨而减少.

因此,通常需求函数是价格的单调减少函数.经济学中常见的需求函数

(其中b,A

≥0)需求函数的反函数,是价格函数,记作：它也反映商品的需求量与价格的关系.(其中a,b,c

≥0)(其中a,b

≥0)例1设某商品的需求函数为解它表示价格为零时的需求量为b，称为饱和需求量；它表示价格为无人愿意购买此商品.二、供给函数(供应函数)

影响商品供给量的因素很多,如果我们只把价格认为是决定供给量的最主要因素，就可以认为商品的供给量S是商品价格P的函数,记作则S称为供给函数.一般来说,商品的供给量会随价格的上涨而增加.因此,通常供给函数S是价格P的单调增加函数.供给的含义

在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品．

一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替

线性函数：幂函数：指数函数：

在同一个坐标系中作出需求曲线D和供给曲线S

，两条曲线的交点称为供需平衡点，该点的横坐标称为均衡价格

.E供需平衡点均衡价格例2某商品的需求量、供给量与其价格P的关

解求均衡价格和数量,即解下列方程组系式分别为试求市场均衡价格和数量.解得显然无意义,所以均衡价格P=15个单位,均衡数量Q=S=6个单位.三、成本函数

成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本与可变成本两部分组成.支付固定生产要素的费用(如厂房、设备)支付可变生产要素的费用（如原料、能源）经济学中常见的总成本函数：只给出总成本不足以说明企业生产情况的好坏，通常我们用生产q个单位产品时的平均成本，即生产q个产品时，单位产品的成本来评价企业生产情况的好坏.解由题意，求产量为100时的总成本四、收益函数

总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入.用q表示出售的产品数量，R表示总收益,表示平均收益，则如果产品价格P

保持不变，则解平均收益函数为平均收益为五、利润函数

总利润是生产一定数量的产品的总收益与总成本之差。即

而平均利润是生产单位数量的产品的利润,即总利润与产品数量的比解当q=20时,总利润和平均利润分别为生产产品的总成本总是产量q的单调增加函数.但是,对产品的需求量q来说,由于受到价格及社会诸多因素的影响往往不总是增加的.对某种商品而言,销售的总收入R(q),有时增加显著,有时增长很缓慢,可能达到某个定点,继续销售,收入反而下降.因此利润函数L(q)出现了下面三种情况:无盈亏分析常用于企业经营管理和经济分析中各种产品定价和生产决策等方面.例6(1)求例5中经济活动的保本点;(2)设每年至少销售40件产品,为了不亏本,单价应定为多少?解

(1)所谓保本点即无盈亏点.令解得q1=1.15≈1,q2=34.85≈35.因为L(q)是二次函数,当q<q1或q>

q2时,都有L(q)<0,这时生产经营是亏损的;当q1<q<q2时,L(q)>0,生产经营是盈利的.因此,q=1件和q=35件是盈利的最低产量和最高产量,都可以是无盈亏点.

(2)设单价定为P(万元),销售40件的收入应为这时的成本为利润为为使生产经营不亏本,就必须使故得P≥22.5(万元).所以只有销售单价不低于22.5万元时才能不亏本.六、库存函数

我们讨论的库存函数(库存数学模型)只限于需求量确定,不允许缺货的简单情形.我们先举一个例题,然后总结一般的情形.例7某商店半年销售400件小器皿,均匀销售,为节约存费,分批进货.每批订货费用(订合同手续费、旅差费、运货费等)为60元,每件器皿的存储费为每月0.2元,试列出存储费和进货费之和与批量x之间的函数关系.解本例以半年为一个计划期进行核算.设批量为x(即每一批进货量为x件),货进店入库.由于均匀销售,库存货量由x件逐渐均匀减少到0件,平均库内存货量为x/2件.半年的储存费用记作E1,则每次进货x件,半年(6个月)需进货次数为400/x次.总的进货费用记作E2,则于是,总的费用E

表示为

企业在计划期T(通常一年为一个计划期)内，对某种货物总需求量为确定值Q.由于库存费用及资金占用等因素，显然一次进货是不划算的，考虑均匀的分n次进货，每批进货量为，进货周期为.假定每件货物储存单位时间的储存费用为，每批进货费用为常数.以匀速消耗储存的货物，则平均库存为.对于这样一个库存模型,实际上我们做了如下假设:在以上假定的条件下,在计划期

T内的总费用E

为总费用E的函数,根据不同的要求,可以选用不同的公式,如例7中E是进货批量x的函数,如果要求把E表示成进货批数n的函数,由于n=400/x,故有其他应用举例例8直线折旧问题.设一台机器的价值为v元,使用期限为n年,该机器使用寿命完结时的价值为c元(c称为残值),则可折旧的价值为v－c,平均每年的折旧费为若将x年后的折旧余额记为y,则例如,某汽车修理中心用5000元购进一台压缩机和升降机,使用寿命为15年,残值为200元,x年末的折旧余额为3年后机器价值为4040元,10年后机器价值为1800元.在折旧余额的公式中,令则公式变成这是线性函数,故将这种计算设备折旧的方法称为直线折旧法.例9在100km长的铁路线AB

旁C处有一工厂,与铁路垂直距离为20km,由铁路的B处向工厂提供原料,公路与铁路每吨公里的货物运价比为5:3.为节约运费,在铁路的D处修一个货物转运站,设AD距离为x(km),沿CD修一公路.试将每吨货物的总运费表示成x的函数.解设公路上每吨公里货物运价为a