4-4 函数的单调性与极值_第1页
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文档简介

一、函数的单调性二、函数的极值第四节函数的单调性与极值三、小结1一、函数的单调性定理11．单调性的判别法2证应用拉氏定理,得3例2解例1解4除去x=0,例3解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用某一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．5例4解62．单调区间求法问题:如上几个例题，函数在定义区间上不是单调的，但在一些部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.

导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:7例5解单调区间为8注意:区间内某些点导数为零,不影响区间的单调性.例如,例6（等号仅在某些点成立！）解9例7证3．利用单调性证明不等式f(x)在[0,+∞)上连续,且在(0,+∞)可导,思路:构造辅助函数f(x),使得f(x)>0,往证10二、函数的极值1．函数极值的定义11定义

函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.122．函数极值的求法定理2(必要条件)证设函数f(x)在点x0处可导,x0为f(x)的极大值点(极小值点同理),则在x0的某邻域内,恒有因此由于13定义注意:例如,另外:导数不存在的点也可能是连续函数的极值点.例如,因此,我们将驻点和导数不存在的点统称为可能极值点.14定理3(第一充分条件)设函数f(x)在点x0处连续,在点x0的去心邻域内可导且f(x)在点x0处的导数为零或不存在,则15(不是极值点情形)(是极值点情形)16例8解列表讨论极大值极小值17图形如下18例9解列表讨论极小值0极大值1极小值019由表可见上述判别法是根据导数f’(x)在点x0附近的符号来判断的,如果函数f(x)在点x0附近不仅有一阶导数,而且在点x0处有二阶导数,则可用下述的极值存在的二阶充分条件判断.20定理4(第二充分条件)证同理可证(2).21例10解图形如下22注意:23求极值的步骤:24三、小

结

1.

单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.

应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.25

驻点和不可导点统称为临界点.

函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充

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