微积分（上册）（第3版）课件 第 4 章 微分中值定理与导数应用

一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理四、小结三、柯西中值定理第一节微分中值定理一、罗尔(Rolle)

中值定理在xOy平面上作一条连续曲线y=f(x),它除了端点外处处具有不垂直于x轴的切线,且两端的纵坐标相等,则不难发现,在该曲线上至少有一个点C,使得曲线在该点的切线平行于x轴.设点C的横坐标为ξ,则有例如,证注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,函数几何解释:AB例1证:由介值定理,可知即为方程的小于1的正实根.矛盾,二、拉格朗日中值定理在Rolle定理中,条件(3)往往不容易满足,若去掉它,只保留条件(1)和(2),会怎样?设曲线弧AB连续,除端点以外处处具有不垂直于x轴的切线,则至少存在一点,C在该点处曲线的切线平行于弦AB.设曲线为y=f(x),A(a,f(a)),B(b,f(b)),C(ξ,f(ξ)).则有几何解释:证分析:弦AB方程为作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论1作为拉格朗日中值定理的应用,我们考虑如下问题:证明推论2证明注:这个推论在第5章研究不定积分时会用到它.例2证自证:结论:欲证时只需证在

I

上例3证例4证三、柯西(Cauchy)中值定理几何解释:证作辅助函数例5证分析:结论可变形为四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意各定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.四、小结第二节洛必达(L’Hospital)法则例如,定义定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法称为洛必达法则.证不妨设则有例1解例2解注意：在多次使用洛必达法则时，一定要注意验证是否满足洛必达法则的条件．例3解注:在应用洛必达法则求极限时,可以综合应用各种求极限的方法,如重要极限、等价无穷小代换、极限运算法则等等，可以使计算简化.例4解.,,,00都有相应的洛必达法则时的未定式或以及时的未定式当¥¥¥®®¥®xx0xx定理例5解例6解例7解例8解注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但也并不是万能的,有时应与其它求极限方法结合使用,或采用其他方法求极限效果更好.例9解极限不存在洛必达法则失效.分析关键:步骤:例10解例11解步骤:步骤:例12解例13解例14解例15解四、小结洛必达法则一、泰勒公式的建立二、泰勒中值定理

第三节泰勒(Taylor)公式三、几个初等函数的麦克劳林公式四、小结一、泰勒公式的建立特点:几何:以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x

的一次多项式令则为了减少误差,提高精度,设用n次多项式Pn(x)在点x0附近来近似代替f(x).

1.求n次近似多项式,要求故令x=x0,则有上式称为函数f(x)在点x0处关于(x-x0)的n次(泰勒)多项式.令(称为n阶泰勒公式的余项)上式称为函数f(x)在点x0处展开的n阶泰勒展开式.其中2.余项估计上式称为f(x)在x0处具有拉格朗日型余项的泰勒公式.Rn(x)称为n

阶泰勒公式的拉格朗日(Lagrange)型余项

.(a,b)内具有n+1阶导数,则当时,有其中二、泰勒中值定理上式称为f(x)在x0处具有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式.注意到在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为特殊地(1)当n=0时,泰勒公式给出拉格朗日中值定理称为麦克劳林(Maclaurin)公式.(2)在泰勒公式中若有若在公式成立的区间上有由此得近似公式则三、几个初等函数的麦克劳林公式其中当|x|较小时,有若令x=1,则有其误差为当n=10时,可算出e=2.71828,其误差不超过其中类似可得其中其中其中四、小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.2.常用函数的麦克劳林公式

一、函数的单调性二、函数的极值第四节函数的单调性与极值三、小结1一、函数的单调性定理11．单调性的判别法2证应用拉氏定理,得3例2解例1解4除去x=0,例3解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用某一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．5例4解62．单调区间求法问题:如上几个例题，函数在定义区间上不是单调的，但在一些部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.

导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:7例5解单调区间为8注意:区间内某些点导数为零,不影响区间的单调性.例如,例6（等号仅在某些点成立！）解9例7证3．利用单调性证明不等式f(x)在[0,+∞)上连续,且在(0,+∞)可导,思路:构造辅助函数f(x),使得f(x)>0,往证10二、函数的极值1．函数极值的定义11定义

函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.122．函数极值的求法定理2(必要条件)证设函数f(x)在点x0处可导,x0为f(x)的极大值点(极小值点同理),则在x0的某邻域内,恒有因此由于13定义注意:例如,另外:导数不存在的点也可能是连续函数的极值点.例如,因此,我们将驻点和导数不存在的点统称为可能极值点.14定理3(第一充分条件)设函数f(x)在点x0处连续,在点x0的去心邻域内可导且f(x)在点x0处的导数为零或不存在,则15(不是极值点情形)(是极值点情形)16例8解列表讨论极大值极小值17图形如下18例9解列表讨论极小值0极大值1极小值019由表可见上述判别法是根据导数f’(x)在点x0附近的符号来判断的,如果函数f(x)在点x0附近不仅有一阶导数,而且在点x0处有二阶导数,则可用下述的极值存在的二阶充分条件判断.20定理4(第二充分条件)证同理可证(2).21例10解图形如下22注意:23求极值的步骤:24三、小

结

1.

单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.

应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.25

驻点和不可导点统称为临界点.

函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)2.

极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.26二、函数图形的描绘第五节函数的凸性与拐点一、曲线的凸性三、小结一、曲线的凸性问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方(向上弯曲)图形上任意弧段位于所张弦的下方(向下弯曲)定义1显然,若f(x)是上凸函数,则-f(x)是下凸函数,反之亦然.定理1123132如果函数有二阶导数,则可以得到函数的凸性判别法则.定理2++__︵︶例1解二、曲线的拐点①

拐点的定义②拐点的求法证求拐点的方法:另外,拐点也有可能出现在二阶导数不存在的点处.例2解上凸下凸下凸拐点无拐点三、小结1.曲线的弯曲方向——凸性,凸性的判定.2.改变弯曲方向的点——拐点,拐点的求法.一、函数的最值二、函数最值在经济分析中的应用举例三、小结第六节函数的最值及其在经济分析中的应用

经济问题中，经常有这样的问题，怎样才能使“产品最多”、“用料最少”、“成本最低”、“效益最高”等等．这样的问题在数学中大多都可归结为求某一函数（称为目标函数）的最大值或最小值问题．为了能用微分学的方法求得函数的最值，我们总假设所讨论的函数在[a,b]上连续,在(a,b)内可导或者除去个别点外可导．一、函数的最值由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理知，目标函数一定